Was ist eine Funktionsgleichung?

Was ist eine Funktionsgleichung? Übung

• Beschreibe den Umgang mit Funktionsgleichungen.

  Tipps

  Die unabhängige Variable ist die, für die du Werte in den Funktionsterm einsetzen kannst.

  $2x + 3$ ist keine Funktionsgleichung, denn es kommt gar kein Gleichheitszeichen vor.

  Setze $x=6$ in den Funktionsterm $-2x + 20$ ein und berechne das Ergebnis.

  Lösung

  Eine Funktion ist immer eine eindeutige Zuordnung. Die Zuordnung bezieht sich auf die Variablen $x$ und $y$: Jedem Wert der Variablen $x$ wird ein eindeutig bestimmter Funktionswert $f(x)$ zugeordnet. Das bedeutet, dass zu einem Wert von $x$ aus dem Defintionsbereich nicht zwei verschiedene Werte aus dem Wertebereich gehören. Umgekehrt kann aber ein Wert für $f(x)$ zu mehreren Werten für $x$ gehören.

  Statt $f(x)$ schreibt man auch oft $y$. In der Schreibweise $y=f(x)$ heißt $y$ die abhängige Variable und $x$ die unabhängige Variable, denn für $x$ können beliebige Werte aus dem Definitionsbereich eingesetzt werden. Die zugehörigen Werte für $y=f(x)$ sind dann eindeutig bestimmt und abhängig von den eingesetzten Werten für $x$.

  Ein durch die Funktion definiertes Paar von Werten $x$ und $y= f(x)$ heißt ein Wertepaar. Das Wertepaar aus $x$ und $y=f(x)$ lässt sich im Koordinatensystem durch den Punkt $P(x|f(x))=P(x|y)$ darstellen.

  Betrachten wir ein konkretes Beispiel einer Funktion: Brennt eine Kerze in jeder Stunde um $2~\text{cm}$ herunter und ist die Kerze zu Beginn $20~\text{cm}$ lang, so lässt sich der Verlauf der Kerzenlänge in $\text{cm}$ durch eine Funktion darstellen. Die Funktionsgleichung lautet:

  $f(x) =-2x + 20$

  Die $20$ steht dabei für die Länge zu Beginn, der Koeffizient $2$ für die stündlich verbrennende Länge. Man nennt die rechte Seite der Funktionsgleichung den Funktionsterm.

  Die Länge der Kerze nach einer Brenndauer von $6$ Stunden kannst du ausrechnen, indem du für die Variable $x$, die der Brenndauer entspricht, den Wert $6$ einsetzt. Für die Funktionsgleichung erhältst du dann:

  $f(6) = -2 \cdot 6 + 20 = -12 + 20 = 8$

• Bestimme die Punkte des Funktionsgraphen.

  Tipps

  $P(x|y)$ gehört zum Funktionsgraphen der Funkion $f$, falls $y = f(x)$.

  Setze den $x$-Wert des Wertepaares in die Funktion $f$ ein und vergleiche den Funktionswert $f(x)$ mit dem Wert $y$.

  $P(1|19)$ gehört zum Funktionsgraphen, da für $x=1$ der Funktionswert $f(1) = -2 \cdot 1 + 20 = 19$ mit dem Wert $y=19$ übereinstimmt.

  $P(x|y) = P(4|6)$ gehört nicht zum Funktionsgraphen, da für $x=4$ der Funktionswert $f(4) = -2 \cdot 4 + 20 = 12$ nicht mit dem Wert $y=6$ übereinstimmt.

  Lösung

  Die Punkte des Funktionsgraphen der Funktion $f$ sind alle Punkte $P(x|y)$, für die gilt:

  $y= f(x)$

  Für jede Funktion $f$ gilt: Zu jedem Wert $x$ gehört ein eindeutig bestimmter Wert $f(x)$. Mache die Punktprobe und überprüfe, ob für die gegebenen Punkte $P(x|y)$ der Wert von $y$ mit dem Funktionswert $f(x)$ übereinstimmt, also ob gilt:

  $y = -2 \cdot x + 20$

  Folgende Punkte gehören zum Funktionsgraphen von $f(x) = -2x+20$:

  • $P(2|16)$

  Denn das Einsetzen von $x=2$ in den Funktionsterm liefert den Funktionswert $f(4) = -2 \cdot 2 + 20 = -4 + 20 = 16$.

  • $P(0|20)$

  Denn $f(0) = -2 \cdot 0 + 20 = 20$.

  • $P(6|8)$

  Denn $f(6) = -2 \cdot 6 + 20 = -12 + 20 = 8$.

  • $P(7|6)$

  Denn $f(7) = -2 \cdot 7 + 20 = -14 + 20 = 6$.

  Folgende Punkte gehören nicht zum Funktionsgraphen von $f(x) = -2x+20$:

  • $P(3|15)$

  Denn $f(3) = -2 \cdot 3 + 20 = 14$, aber $y = 15$ gilt.

  • $P(6|7)$

  Denn $P(6|8)$ ist bereits ein Punkt des Funktionsgraphen. Es gibt aber nie zwei Punkte auf dem Funktionsgraphen mit demselben $x$-Wert und verschiedenen $y$-Werten.

  • $P(1|16)$

  Denn $f(1) = -2 \cdot 1 + 20 = 18 \neq 16$.

• Ordne die Wertepaare zu.

  Tipps

  Setze den gegebenen Wert für $x$ in die Funktion ein und vergleiche das Ergebnis mit dem gegebenen Wert für $y$.

  Der Wert $x=0$, $y= 2$ gehört zu jeder Funktion der Form $f(x) = m \cdot x + 2$. Denn durch Einsetzen von $x=0$ in den Funktionsterm erhältst du:

  $f(0) = m \cdot 0 + 2 = 2$

  Lösung

  In eine Funktion $f$ kannst du beliebige Werte $x$ aus dem Definitionsbereich einsetzen. Heraus kommt der Funktionswert $f(x)$. Wie du den Funktionswert genau berechnest, beschreibt der Funktionsterm. Die durch die Funktion bestimmten Wertepaare von $x$ und $y$ sind genau die, für die $y = f(x)$ ist. Du kannst die Zugehörigkeit der Wertepaare zu den Funktionen daher überprüfen, indem du den Wert für $x$ in die verschiedenen Funktionen einsetzt und das Ergebnis mit dem gegebenen Wert für $y$ vergleichst.

  Wählst du z. B. das Wertepaar $x= 3$, $y = 1$, so kannst du die gegebenen Funktionsterme alle mit $x=3$ auswerten. Du erhältst dabei folgende Rechnungen:

  Für $f(x) = x-2$ ist $f(3) = 3-2 = 1 = y$. Das heißt, zu dieser Funktion passt das Wertepaar.
  Für $f(x) x+4$ ist $f(3) = 3+4 = 7 \neq 1 =y$. Daher passt das Wertepaar nicht zu dieser Funktion.
  Gleiches gilt für die Funktionen $f(x) = 7x -4$ und $f(x) = 5x -2$.

  Ist der Wert der Variablen $0$, so ist die passende Funktion leichter zu finden:

  Zu dem Wertepaar $x= 0$ und $y=-4$ passt nur die Funktion $f(x) = 7x -4$. Denn bei allen anderen Funktionen ist $f(0) \neq -4$.

  Du erhältst schließlich folgende Zuordnungen:

  • $f(x) = x-2$ bestimmt das Wertepaar $x= 3$, $y = 1$, denn $f(3) = 3-2 = 1$.

  • $f(x) = x+4$ passt zu dem Wertepaar $x=-4$, $y=0$, denn hier ist $f(-4) = -4+4 =0$.

  • $f(x) = 7x-4$ enthält das Wertepaar $x=0$, $y=-4$, denn $f(0) = 7\cdot 0-4 = -4$.

  • $f(x) = 5x-2$ passt zu dem Wertepaar $x=-1$, $y=-7$, denn hier ist $f(-1) = 5 \cdot (-1) -2 = -7$.

• Werte die Funktion aus.

  Tipps

  Der Punkt $P(x|y)$ beschreibt ein Wertepaar der Funktion $f$, falls gilt:

  $y = f(x)$

  Setze die $x$-Komponente eines Punktes in den Funktionsterm ein und vergleiche das Ergebnis mit der $y$-Komponente des Punktes.

  $P(3|3)$ ist kein Punkt des Funktionsgraphen von $f(x) = 3 \cdot x$. Denn durch Einsetzen von $x=3$ in den Funktionsterm erhältst du:

  $f(3) = 3 \cdot 3 = 9 \neq y$

  Lösung

  Die Wertepaare aus $x$ und $y$ sind durch die Funktion $f$ bestimmt, wenn $y = f(x)$ ist. Genau in diesem Fall ist der Punkt $P(xy)$ ein Punkt des Funktionsgraphen der Funktion $f$. Ob ein Wertepaar aus $x$ und $y$ zu der Funktion $f$ gehört bzw. ob der Punkt $P(xy)$ zu dem Funktionsgraphen von $f$ gehört, findest du durch die Punktprobe heraus: Du überprüfst, ob die Gleichung $y = f(x)$ für das vorgegebene $x$ und $y$ erfüllt ist.

  Hier erhältst du folgende Zuordnungen:

  $f(x) = 2x+3$

  • $P(0|3)$ ist ein Punkt des Funktionsgraphen, denn $f(0) = 2 \cdot 0 +3 = 3$.

  • $P(1|5)$ liegt auf dem Funktionsgraphen, denn die Punktprobe ergibt $f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.

  • $P(2|7)$ gehört ebenfalls zum Funktionsgraphen, denn $f(2) = 2 \cdot 2 +3 = 7$.

  $f(x) = -3x+7$

  • $P(0|7)$ ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen, denn es gilt $f(0) = (-3) \cdot 0 + 7 = 7$.

  • $P(1|4)$ liegt ebenfalls auf dem Funktionsgraphen, denn die Punktprobe ergibt $f(1) = (-3) \cdot 1 + 7 = -3 + 7 = 4$.

  • $P(2|1)$ gehört auch zu dem Funktionsgraphen, da $f(2) = -3 \cdot 2 + 7 = 1$.

  $f(x) = 3x$

  • $P(0|0)$ ist der Ursprung. Er gehört zu diesem Funktionsgraphen, da $f(0) = 3 \cdot 0 = 0$.

  • $P(2|6)$ beschreibt auch ein Wertepaar der Funktion, denn $f(2) = 3 \cdot 2 = 6$.

  $f(x) = -x+4$

  • $P(0|4)$ gehört zu diesem Funktionsgraphen, denn es gilt $f(0) = -0 +4 = 4$.

  • $P(2|2)$ ist ebenfalls ein Punkt des Funktionsgraphen, da $f(-1) = -2 -+4=2$.

  • $P(3|1)$ ist auch ein Punkt dieses Funktionsgraphen, denn es gilt hier: $f(3) = -3 +4 = 1$.

• Definiere die Begriffe.

  Tipps

  Ist eine Zuordnung der Werte $y$ zu den Variablen $x$ nicht eindeutig, so ist die Zuordnung keine Funktion.

  Bei einer Gleichung der Form $y = f(x)$ ist $y$ von $x$ abhängig.

  In der Gleichung $f(x) = -20 \cdot x + 2$ ist die linke Seite der Funktionswert zu der Variablen $x$, die rechte Seite der Funktionsterm, der beschreibt, wie du den Funktionswert berechnen kannst.

  Lösung

  Jede Funktion beschreibt eine eindeutige Zuordnung. Nicht jede Zuordnung ist eindeutig, daher kann nicht jede Zuordnung durch eine Funktion beschrieben werden. Ordnest du z. B. dem Wert $x=1$ alle Lösungen der Gleichung $y^2 = 1$ zu, so ist diese Zuordnung nicht eindeutig. Denn sowohl $y =1$ als auch $y=-1$ sind Lösungen.

  Eine Funktion ist durch eine Funktionsgleichung definiert. Man schreibt die Funktionsgleichung z. B. so auf:

  $f(x) = -2 \cdot x + 20$

  Auf der linken Seite steht der Funktionswert $f(x)$ an der Stelle $x$. Auf der rechten Seite steht, wie du den Funktionswert berechnen kannst. Die Vorschrift zur Berechnung heißt Funktionsterm. Du erhältst dann z. B. den Funktionswert $f(6)$, indem du $x=6$ in den Funktionsterm einsetzt und das Ergebnis ausrechnest:

  $f(6) = -2 \dot 6 + 20 = -12 + 20 = 8$

  Oft schreibt man die Wertepaare von $x$ und $f(x)$ auch als Paare von $x$ und $y$. In diesem Fall ist $y = f(x)$. Daher heißt $y$ die abhängige Variable. Die Variable $x$ heißt unabhängig, denn du kannst für $x$ jeden beliebigen Wert aus dem Definitionsbereich einsetzen.

  Mit diesen Überlegungen findest du folgende richtigen Definitionen:

  • Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.

  • Die abhängige Variable einer Funktion $y=f(x)$ ist $y$.

  • Die unabhängige Variable einer Funktion $y=f(x)$ ist $x$.

  • Der Funktionswert ist die linke Seite der Gleichung $f(x) = -2x + 20$.

  • Der Funktionsterm ist die rechte Seite der Gleichung $f(x) = -2x + 20$.

• Zeige die Punkte des Funktionsgraphen.

  Tipps

  Setze den Wert für $x$ in den Funktionsterm ein und bestimme damit $y$. Suche dann den Punkt $P(x\vert y)$ im Koordinatensystem.

  Alternativ kannst du so vorgehen:

  Um die richtigen Punkte zu finden, kannst du für jeden der gegebenen Punkte $P(x|y)$ den Wert der Variablen $x$ in den Funktionsterm $1,5 \cdot x -1$ einsetzen. Stimmt das Ergebnis mit dem Wert der Variablen $y$ überein, gehört der Punkt $P(x|y)$ zu dem Funktionsgraphen von $f$. Anderenfalls gehört er nicht zu dem Funktionsgraphen.

  Lösung

  Die Punkte des Funktionsgraphen der Funktion $f(x) = 1,5\cdot x -1$ sind genau diejenigen Punkte $P(x|y)$, für die die Funktionsgleichung $y=f(x)$ erfüllt ist. Um die richtigen Punkte zu finden, kannst du für jeden der gegebenen Punkte $P(x|y)$ den Wert der Variablen $x$ in den Funktionsterm $1,5 \cdot x -1$ einsetzen. Stimmt das Ergebnis mit dem Wert der Variablen $y$ überein, gehört der Punkt $P(x|y)$ zum Funktionsgraphen von $f$. Anderenfalls gehört er nicht zu dem Funktionsgraphen.

  Folgende Punkte gehören zum Funktionsgraphen und sind demnach zu markieren:

  • $P(-1|-2,5)$

  Denn $f(-1) = 1,5 \cdot (-1) -1 = -2,5$.

  • $P(0|-1)$

  Denn $f(0) = 1,5 \cdot 0 -1 = -1$.

  • $P(1|0,5)$

  Denn $f(1) = 1,5 \cdot 1 -1 = 0,5$.

  • $P(2|2)$

  Denn $f(2) = 1,5 \cdot 2 -1 = 3-1 = 2$.

  • $P(3|3,5)$

  Denn $f(3) = 1,5 \cdot 3 -1 = 4,5-1 = 3,5$.

  Alle anderen Punkte gehören nicht zum Funktionsgraphen. Das kannst du entweder nachrechnen, indem du den Funktionswert mit dem Wert der Variablen vergleichst: Für $P(x|y) = P(2|1)$ ist z. B. der Funktionswert $f(2) = 1,5 \cdot 2 -1 = 3-1 = 2 \neq 1=y$. Daher gehört $P(21)$ nicht zum Funktionsgraphen dieser Funktion.
  Du kannst aber auch die Eindeutigkeit der Funktionswerte als Argument verwenden: Wir haben bereits ausgerechnet, dass $f(2) = 2$ richtig ist. Daher kann nicht gleichzeitig oder zusätzlich $f(2) = 1$ richtig sein.