Gegenseitige Lage Kreis-Kreis

Gegenseitige Lage Kreis-Kreis Übung

• Beschreibe, wie man die Lage zweier Kreise zueinander untersuchen kann.

  Tipps

  Schaue dir den Fall $d=r_1+r_2$ an.

  Entferne in diesem Beispiel die Mittelpunkte voneinander, also $d>r_1+r_2$.

  Lösung

  Hier sind zwei Kreise mit den Mittelpunkten $M_1$ und $M_2$ sowie den Radien $r_1$ sowie $r_2$ zu sehen.

  Zunächst wird der Abstand der Mittelpunkte berechnet:

  $d=d(M_1;M_2)$.

  Mit diesem Abstand kann die Lage der Kreise zueinander überprüft werden:

  • $d=r_1+r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise sich von außen berühren, also einen gemeinsamen Punkt haben.
  • $d=r_1-r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise sich von innen berühren, also einen gemeinsamen Punkt haben.
  • $d>r_1+r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise außerhalb voneinander liegen, also keine gemeinsamen Punkte haben.
  • $d<r_1-r_2$ bedeutet, dass der kleinere der beiden Kreise innerhalb des größeren liegt. Die beiden Kreise haben also keine gemeinsamen Punkte.

  Es bleibt nur noch ein Fall, in welchem die beiden Kreis sich in zwei Punkten schneiden: $r_1-r_2<d<r_1+r_2$.

• Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kreise.

  Tipps

  Zum Beispiel gilt für $k_1$:

  $(x-3)^2+(y-4)^2=2^2$.

  Forme diese Gleichung um.

  Dividiere die quadratische Gleichung erst einmal durch den Faktor vor dem $x^2$ und wende dann die p-q-Formel an:

  Die Gleichung $x^2+px+q=0$ wird gelöst durch

  $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Um die x-Koordinate der Schnittpunkte zu erhalten, setzt du den bekannten Wert für $y$ in der linearen Gleichung ein.

  Lösung

  Der Abstand der beiden Mittelpunkte ist

  $d=d(M_1;M_2)=\sqrt{(3-2)^2+(4-2)^2}=\sqrt 5$.

  • $r_1+r_2=3$ und
  • $r_1-r_2=1$,

  damit ist $r_1-r_2<d<r_1+r_2$. Die beiden Kreise schneiden sich also in zwei Punkten.

  Nun werden die Kreisgleichungen aufgestellt:

  $k_1:(x-3)^2+(y-4)^2=2^2$.

  Diese Gleichung kann ausmultipliziert werden zu

  $k_1:x^2-6x+9+y^2-8y+16=4$

  und umgeformt werden zu

  $k_1:x^2-6x+y^2-8y=-21$.

  Ebenso kann die Kreisgleichung $k_2:x^2-4x+y^2-4y=-7$ aufgestellt werden.

  Durch Subtraktion von $k_1$ von $k_2$ erhält man

  $2x+4y=14$.

  • Es wird $4y$ subtrahiert zu $2x=14-4y$ und
  • durch $2$ dividiert: $x=7-2y$.

  Dies ist die Gleichung einer Geraden. Nun wird dieses $x$ in einer der beiden Kreisgleichungen, zum Beispiel $k_2$, eingesetzt:

  $(7-2y)^2 -4(7-2y)+y^2-4y=-7$.

  Mit Hilfe einer binomischen Formel wird die linke Klammer aufgelöst:

  $49-28y+4y^2-28+8y+y^2-4y=-7$.

  Nun werden alle Terme zusammengefasst und auf die linke Seite gebracht:

  $5y^2-24y+28=0$.

  Division durch $5$ führt zu $y^2-4,8y+5,6=0$.

  Nun kann die p-q-Formel angewendet werden:

  $y_{1,2}=-\frac{4,8}2\pm\sqrt{\left(\frac{4,8}2\right)^2-5,6}$.

  Dies führt zu den beiden Lösungen $y_1=2,8$ und $y_2=2$.

  Damit können die zugehörigen x-Koordinaten berechnet werden:

  $x_1=7-2\cdot 2,8=1,4$ und $x_2=7-2\cdot 3=3$.

  Nun sind die Schnittpunkte berechnet:

  $S_1(1,4|2,8)$ und $S_2(2|3)$.

• Stelle die Kreisgleichungen auf.

  Tipps

  Multipliziere in der Gleichung $(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2$ aus zu

  $x^2-2m_1x+m_1^2+y^2-2m_2y+m_2^2=r^2$.

  Beachte: Die Hälfte des linearen Terms mit umgekehrtem Vorzeichen ist immer die entsprechende Mittelpunktkoordinate.

  Auf der rechten Seite steht immer $r^2-m_1^2-m_2^2$.

  Lösung

  Um die Lage von Kreisen zueinander zu untersuchen, müssen die jeweiligen Kreisgleichungen aufgestellt werden. Dies ist hier allgemein zu sehen: Gegeben sei der Mittelpunkt $M(m_1|m_2)$ sowie der Radius $r$.

  $k:(x-m_1)^2+(y.m_2)^2=r^2$.

  Nun werden die Klammern aufgelöst:

  $k:x^2-2m_1x+m_1^2+y^2-2m_2y+m_2^2=r^2$.

  Zuletzt wird $m_1^2+m_2^2$ subtrahiert zu

  $k:x^2-2m_1x+y^2-2m_2y=r^2-m_1^2-m_2^2$.

  • $M_1(1|1)$, $r_1=2$, $k_1:x^2-2x+y^2-2y=2$
  • $M_2(1|2)$, $r_2=2$, $k_2:x^2-2x+y^2-4y=-1$
  • $M_3(-1|1)$, $r_3=3$, $k_3:x^2+2x+y^2-2y=7$
  • $M_4(1|-2)$, $r_4=4$, $k_4:x^2-2x+y^2+4y=11$

• Untersuche die Kreise auf ihre Lage zueinander.

  Tipps

  Berechne jeweils den Abstand der Mittelpunkte zueinander sowie die Differenz und die Summe der Radien.

  Bei der Differenz ziehst du von dem größeren Radius den kleineren ab.

  Untersuche nun die folgenden Fälle für $r_1\ge r_2$:

  • $d=r_1+r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise sich von außen berühren, also einen gemeinsamen Punkt haben.
  • $d=r_1-r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise sich von innen berühren, also einen gemeinsamen Punkt haben.
  • $d>r_1+r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise außerhalb voneinander liegen, also keine gemeinsamen Punkte haben.
  • $d<r_1-r_2$ bedeutet, dass der kleinere der beiden Kreise innerhalb des größeren liegt. Die beiden Kreise haben also keine gemeinsamen Punkte.

  Ist die Differenz der Radien $r_1$ und $r_2$ kleiner als der Abstand $d$ und der Abstand $d$ ist gleichzeitig kleiner als die Summe der Radien $r_1$ und $r_2$, so haben die Kreise zwei gemeinsame Punkte.

  • $\vert r_1 - r_2 \vert < d < r_1 + r_2 $

  Lösung

  Zunächst können die Abstände der Mittelpunkte berechnet werden:

  • $d_1=d(M_1;M_2)=\sqrt{1}=1$
  • $d_2=d(M_1;M_3)=\sqrt{4}=2$
  • $d_3=d(M_2;M_3)=\sqrt{5}$

  Nun gehts los:

  • $r_1+r_2=5$ und $r_2-r_1=3$: $1=d_1<r_2-r_1$. Das bedeutet, dass die Kreise $k_1$ und $k_2$ keine gemeinsamen Punkte haben.
  • $r_1+r_3=2$ und $r_3-r_1=0$: $2=d_2=r_1+r_3$. Das bedeutet, dass die Kreise $k_1$ und $k_3$ einen gemeinsamen Punkt haben.
  • $r_2+r_3=5$ und $r_2-r_3=3$: $\sqrt{5}=d_3<r_2-r_3$. Das bedeutet, dass die Kreise $k_1$ und $k_2$ keine gemeinsamen Punkte haben.

• Gib an, wie viele gemeinsame Punkte zwei nicht identische Kreise haben können.

  Tipps

  Betrachte die folgenden beiden Fälle:

  • $d=r_1+r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise sich von außen berühren.
  • $d=r_1-r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise sich von innen berühren.

  Hier siehst du einen Fall.

  Lösung

  Wenn man zwei Kreis betrachtet, können diese entweder

  • $0$ (keine) gemeinsame Punkte haben: Das bedeutet, dass sie außerhalb oder der kleinere Kreis innerhalb des größeren liegt.
  • $1$ (einen) gemeinsamen Punkt haben: Das bedeutet, dass die Kreise sich von innen oder außen berühren.
  • $2$ (zwei) gemeinsame Punkte haben. Das bedeutet, dass die Kreise sich schneiden.

  Zwei identische Kreise mit dem gleichen Mittelpunkt hätten natürlich $\infty$ viele gemeinsame Punkte.

  Nach der Definition, dass alle Punkte des Kreises vom Mittelpunkt den gleichen Abstand $r$ haben, zählt natürlich der Mittelpunkt des Kreises nicht als Punkt des Kreises.

• Prüfe, wie die beiden Kreise zueinander liegen und gib gegebenenfalls die Schnittpunkte an.

  Tipps

  Die Kreisgleichungen lauten

  • $k_1:x^2-2x+y^2-2y=2$ sowie
  • $k_2:x^2-2x+y^2+4y=11$.

  Subtrahiere von der Gleichung zu $k_2$ die zu $k_1$.

  Dann steht $y$ alleine.

  Die y-Koordinaten sind bei beiden Punkten gleich.

  Wenn du die y-Koordinate in einer der Kreisgleichungen einsetzt, erhältst du eine quadratische Gleichung in $x$, welche du mit der p-q-Formel lösen kannst.

  Lösung

  Zuerst prüft man, welche Lage die Kreise zueinander haben:

  • $d=d(M_1;M_2)=\sqrt9=3$,
  • $r_1+r_2=6$ und
  • $r_2-r_1=2$.

  Da $r_2-r_1<d<r_1+r_2$ ist, schneiden sich die Kreise in zwei Punkten. Diese können bestimmt werden, indem man die Differenz der beiden Kreisgleichungen bildet. Diese sind:

  • $k_1:x^2-2x+y^2-2y=2$ sowie
  • $k_2:x^2-2x+y^2+4y=11$.

  Subtraktion der Gleichung zu $k_1$ von der zu $k_2$ führt zu $6y=9$.

  Nun wird durch $6$ dividiert und man erhält $y=1,5$.

  Dieses $y$ wird in einer der beiden Kreisgleichungen eingesetzt und man erhält

  $x^2-2x+1,5^2-3=2$.

  Diese Gleichung kann umgeformt werden zu

  $x^2-2x-2,75=0$.

  Nun wird die p-q-Formel angewendet:

  $x_{1,2}=1\pm\sqrt{1+2,75}$,

  also

  $x_1=1+\sqrt{3,75}\approx2,9$

  und

  $x_2=1-\sqrt{3,75}\approx-0,9$.

  Die gesuchten Schnittpunkte sind somit $S_1(-0,9|1,5)$ sowie $S_2(2,9|1,5)$.