Geradenscharen – Berechnungen

Geradenscharen – Berechnungen Übung

• Gib die Gleichung der Geraden an, welche durch die beiden Punkte $A$ und $B$ verläuft.

  Tipps

  Eine Geradengleichung hat die Form:

  $g:\vec x=\vec a+t\cdot\vec v$.

  Dabei ist

  • $\vec a$ der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden und
  • $\vec v$ ist der Richtungsvektor.

  Wenn zwei Punkte gegeben sind, kann der Ortsvektor eines beliebigen dieser beiden Punkte als Stützvektor gewählt werden.

  Da die beiden Punkte auf der Geraden liegen, ist die Richtung dieser Geraden gegeben durch den Weg von $A$ nach $B$ oder umgekehrt.

  Lösung

  Es sind die beiden Punkte $A(3+a|2+2a|1-2a)$ und $B(a+2|2a+2|2-2a)$ gegeben.

  Die gesuchte Zweipunktgleichung der Geraden ist gegeben durch den Ortsvektor des Punktes $A$, es könnte auch $B$ gewählt werden, und den Verbindungsvektor der beiden Punkte $\vec{AB}$ als Richtungsvektor:

  $g_a:\vec x=\begin{pmatrix} 3+a \\ 2+2a\\ 1-2a \end{pmatrix}+t\cdot \vec{AB}$.

  Der Verbindungsvektor berechnet sich als die Differenz des Ortsvektors von $B$ und dem des Punktes $A$.

  $\vec{AB}=\begin{pmatrix} a+2-(3+a) \\ 2a+2-(2+2a)\\ 2-2a-(1-2a) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$.

  Gesamt ist die Geradengleichung gegeben durch:

  $g_a:\vec x=\begin{pmatrix} 3+a \\ 2+2a\\ 1-2a \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$.

• Bestimme die Parameter, zu denen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen existieren.

  Tipps

  Ein beliebiger Punkt

  • der x-Achse lautet $S_X(?|0|0)$,
  • der y-Achse lautet $S_Y(0|?|0)$ und
  • der z-Achse lautet $S_Z(0|0|?)$.

  Wenn geprüft werden soll, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, führt dies zu einem linearen Gleichungssystem.

  Jedes der Gleichungssysteme besteht aus drei Gleichungen in drei Unbekannten.

  Lösung

  Um die Achsenschnittpunkte zu berechnen, müssen jeweils lineare Gleichungssysteme gelöst werden.

  1. Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet $S_X(?|0|0)$. Dies führt zu dem Gleichungssystem: \begin{align*} &\text{I}&x &=3+a-t \\ &\text{II}&0 &=2+2a \\ &\text{III}&0 &=1-2a+t. \end{align*}

  Die zweite Gleichung liefert durch Subtraktion von $2$ und anschließende Division durch $2$ den Wert für $a=-1$.

  Dieser Wert kann in der dritten Gleichung eingesetzt werden:

  \begin{align*} 0 &=1-2\cdot(-1)+t&|&-3\\ -3&=t. \end{align*}

  Nun müssen sowohl $a=-1$ als auch $t=-3$ in der ersten Gleichung eingesetzt werden: $x=3+(-1)-(-3)=5$.

  Der Schnittpunkt lautet: $S_X(5|0|0)$.

  Ebenso können die beiden anderen Schnittpunkte berechnet werden:

  2. Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet $S_Y(0|?|0)$. Dies führt zu dem Gleichungssystem: \begin{align*} &\text{I}&0 &=3+a-t \\ &\text{II}&y &=2+2a \\ &\text{III}&0 &=1-2a+t. \end{align*}

  Wenn man das zweifache der ersten Gleichung zur dritten addiert, erhält man

  $0=7-t$, also $t=7$. Mit diesem $t$ kann $a$ berechnet werden, zum Beispiel durch Einsetzen in der ersten Gleichung:

  $0 =3+a-7$. Durch Addition von $4$ kommt man zu $a=4$.

  Nun muss $a=4$ in der zweiten Gleichung eingesetzt werden: $y =2+2\cdot 4=10$.

  Der Schnittpunkt lautet: $S_Y(0|10|0)$.

  3. Der Schnittpunkt mit der z-Achse lautet $S_Z(0|0|?)$. Dies führt zu dem Gleichungssystem: \begin{align*} &\text{I}&0 &=3+a-t \\ &\text{II}&0 &=2+2a \\ &\text{III}&z &=1-2a+t. \end{align*}

  Die zweite Gleichung liefert durch Subtraktion von $2$ und anschließende Division durch $2$ den Wert für $a=-1$.

  Dieser Wert kann in der ersten Gleichung eingesetzt werden:

  $0=3+(-1)-t$, also $t=2$.

  Nun werden $a=-1$ und $t=2$ in der dritten Gleichung eingesetzt: $z=1-2\cdot(-1)+2=5$.

  Der Schnittpunkt lautet: $S_Z(0|0|5)$.

• Entscheide, ob eine Gerade der Geradenschar parallel zu einer der Koordinatenachsen liegt.

  Tipps

  Ein beliebiger Punkt der $x$-Achse lautet $(x|0|0)$. Wie kann dieser Punkt als Gerade dargestellt werden und wie lautet der Richtungsvektor der Geraden?

  Zwei Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ heißen kollinear, wenn ein Zahl $r\in\mathbb{R}$ existiert, dass folgendes gilt

  $\vec u= r\cdot \vec v$.

  Wenn bei einem Vektor eine Koordinate $0$ ist, so muss die entsprechende Koordinate auch bei einem kollinearen Vektor $0$ sein.

  Lösung

  Wenn man überprüfen will, ob eine Gerade parallel zu einer der Koordinatenachsen ist, muss der Richtungsvektor auf Kollinearität zu

  1. $\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$ für die Parallelität zur $x$-Achse. Dies führt zu der Gleichung $b=0$, $a$ kann beliebig gewählt werden. Das bedeutet, dass jede Gerade $g_{a;0}$ parallel zur $x$-Achse verläuft.

  2. $\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$ für die Parallelität zur $y$-Achse. Dies führt zu der Gleichung $0=1$, eine falsche Aussage. Das bedeutet, dass keine Gerade der Geradenschar parallel zur $y$-Achse verläuft.

  3. $\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ für die Parallelität zur $z$-Achse. Dies führt zu der Gleichung $a=0$. $b$ kann beliebig gewählt werden. Das bedeutet, dass jede Gerade $g_{0;b}$ parallel zur $z$-Achse verläuft.

• Untersuche, ob ein Punkt der Punkteschar auf der Geraden liegt.

  Tipps

  Setze den Ortsvektor von $P_a$ für $\vec x$ in der Geradengleichung ein.

  Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten $a$ und $t$.

  Es genügen zwei Gleichungen, um dieses Gleichungssystem zu lösen. Um zu überprüfen, ob die Lösungen auch das ganze Gleichungssystem lösen, müssen sie noch in der verbleibenden Gleichung eingesetzt werden.

  Wenn die Gleichung erfüllt ist, dann liegt der Punkt auf der Geraden. Wenn die Gleichung nicht erfüllt ist, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

  Lösung

  Gegeben sind die Gerade $g$ und die Punkteschar $P_a$:

  \begin{align*} &g:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ -1\\ 4 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ -2 \end{pmatrix}\\ &P_a(a|2a|6) \end{align*}

  Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, wird der Ortsvektor des Punktes für $\vec x$ in der Geradengleichung eingesetzt. So erhält man ein lineares Gleichungssystem:

  \begin{align*} &\text{I}&a &=3+t \\ &\text{II}&2a &=-1+t \\ &\text{III}&6 &=4-2t. \end{align*}

  Die dritte Gleichung kann äquivalent umgeformt werden zu $t=-1$. Wenn man dieses $t$ in der zweiten Gleichung einsetzt, erhält man $2a =-1-1$, welche wiederum äquivalent ist zu $a=-1$.

  Es muss nun noch geprüft werden, ob diese beiden Lösungen auch die verbleibende Gleichung, also die erste, lösen: $-1=3-1$. Dies ist eine falsche Aussage. Das heißt, dass es keinen Punkt der Punkteschar gibt, der auch auf der Geraden $g$ liegt.

• Beschreibe, welche Gleichungen gelöst werden müssen, um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geradenschar liegt.

  Tipps

  Setze den Ortsvektor des Punktes für $\vec x$ in der Geradengleichung ein.

  Du erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten.

  Zum Lösen dieses Gleichungssystems benötigst du zwei Gleichungen.

  Die gefundene Lösung muss in die noch nicht verwendete Gleichung eingesetzt werden.

  Nur wenn diese Gleichung erfüllt ist, ist das Gleichungssystem lösbar.

  Lösung

  Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, wird der Ortsvektor des Punktes für $\vec x$ in der Geradengleichung eingesetzt. Dadurch erhält man ein lineares Gleichungssystem:

  \begin{align*} &g_a:\vec x=\begin{pmatrix} 18 \\ 12\\ a \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1-a\\ 3a-2 \end{pmatrix}\\ \\ &P(14|17|-10) \\ &\\ \end{align*}

  \begin{align*} &\text{I}&14 &=18-4t \\ &\text{II}&17 &=12+t(1-a) \\ &\text{III}&-10 &=-a+t(3a-2). \end{align*}

  Die erste Gleichung ist äquivalent zu $t=1$. Dieses $t$ kann in den beiden anderen Gleichungen eingesetzt werden:

  \begin{align*} &\text{II}&17 &=12+1-a &|&-13\\ &&4&=-a&|&\cdot(-1)\\ &&-4&=a. \end{align*}

  Nun müssen $t=1$ und $a=-4$ noch zur Probe in der dritten Gleichung eingesetzt werden:

  $-10 =-(-4)+3\cdot (-4)-2~\surd$.

  Das bedeutet für $a=-4$ liegt der Punkt $P(14|17|-10)$ auf der Geraden $g_{-4}$ der Geradenschar.

• Prüfe, für welchen Paramater $a$ die Geraden parallel und für welchen Parameter $b$ sogar identisch sind.

  Tipps

  Zwei Geraden sind parallel oder identisch zueinander, wenn die Richtungsvektoren kollinear sind.

  Zwei Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ heißen kollinear, wenn eine Zahl $r\in\mathbb{R}$ existiert, so dass

  $\vec u=r\cdot \vec v$

  ist.

  Um zu überprüfen, ob zwei parallele Geraden identisch sind, muss man prüfen, ob ein Punkt der einen Geraden auch auf der anderen liegt.

  Lösung

  Gegeben sind die beiden Geraden

  \begin{align} g_a:\vec x&=\begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ -1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1+a \\ 3a\\ 3 \end{pmatrix}\\ h_b:\vec x&=\begin{pmatrix} 2b+1 \\ 3b+3\\ 2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \end{align}

  Zunächst werden die Richtungsvektoren auf Kollinearität überprüft: Es muss eine Zahl $r\in\mathbb{R}$ existieren, sodass

  $\begin{pmatrix} 1+a \\ 3a\\ 3 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$

  gilt. Dies führt zu dem Gleichungssystem

  \begin{align*} &\text{I}&1+a &=r \\ &\text{II}&3a &=2r \\ &\text{III}&3 &=r. \end{align*}

  In der dritten Gleichung ist $r=3$ bereits gegeben. Dieses $r$ kann in der ersten oder zweiten Gleichung eingesetzt werden. In der ersten eingesetzt ergibt sich $1+a=3$. Dies ist äquivalent zu $a=2$. Nun werden $a=2$ und $r=3$ in der zweiten Gleichung eingesetzt: $3\cdot2=2\cdot3~\surd$.

  Für $a=2$ sind die Geradenscharen parallel zueinander. Wenn nun ein Punkt der einen Geraden auf der anderen liegt, dann sind die beiden Geraden identisch.

  Man kann nun prüfen, ob der Ortsvektor der Geraden $h_b$ auf der Geraden $g_2$ liegt. Dies führt zu einem weiteren Gleichungssystem:

  \begin{align*} &\text{I}&2b+1 &=2+3t \\ &\text{II}&3b+3 &=3+6t \\ &\text{III}&2 &=-1+3t. \end{align*}

  Die dritte Gleichung ist äquivalent zu $t=1$. Dieses $t=1$ kann in der ersten Gleichung eingesetzt werden:

  \begin{align*} 2b+1 &=2+3&|&-1\\ 2b&=4&|&:2\\ b&=2. \end{align*}

  $t=1$ und $b=2$ müssen zur Probe in die zweite Gleichung eingesetzt werden:

  $3\cdot 2+3 =3+6~\surd$.

  Für $b=2$ liegt der Punkt $P(5|9|2)$ auf der Geraden $g_2$.

  Gemeinsam mit der Parallelität der beiden Geraden folgt, dass die Geraden identisch sind.