Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung
Winkel sind wichtig in der Geometrie. Erfahre mehr über Winkelmaße wie das Grad- und Bogenmaß. Wir zeigen dir, wie man die Bogenlänge berechnet und wie man Grad- und Bogenmaß umrechnet. Neugierig geworden? Das und noch viel mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung
Winkel und Winkelmaße
Winkel sind ein wichtiges Thema in der Geometrie. Du kennst bestimmt schon verschiedene Winkel wie den rechten Winkel oder den Vollwinkel. Um die Größe eines Winkels anzugeben, werden sogenannte Winkelmaße verwendet. Wahrscheinlich kennst du schon das häufig verwendete Gradmaß, in dem du zum Beispiel auch mit einem Geodreieck Winkel abmessen kannst.
Hier siehst du einige Beispiele von Winkeln, deren Größe im Gradmaß gegeben ist. Wir wollen uns im Folgenden ein anderes Winkelmaß genauer anschauen, das sogenannte Bogenmaß.
Bogenlänge und Winkel
Um das Bogenmaß zu verstehen, betrachten wir einen beliebigen Kreisausschnitt. Dieser ist durch den Winkel $\alpha$ und den Kreisbogen $b$ gekennzeichnet.
Die Länge des Kreisbogens $b$, also die Bogenlänge, ist eine Teilstrecke des gesamten Umfangs $U$ des Kreises. Wie groß diese Teilstrecke ist, hängt von der Größe des Winkels $\alpha$ ab.
Definition
Die Bogenlänge des Kreisausschnitts ist die Länge des Kreisbogens $b$ an diesem Ausschnitt.
Die Bogenlänge ist also derjenige Anteil des Kreisumfangs $U$, der zum Kreisausschnitt gehört. Wir bezeichnen die Bogenlänge mit $b$.
Dabei hat die Bogenlänge $b$ den gleichen Anteil am Umfang $U$ wie der zugehörige Winkel $\alpha$ am Vollwinkel $360^\circ$.
Es gilt also folgende Verhältnisgleichung:
$\quad \dfrac{b}{U} = \dfrac{\alpha}{360^\circ}$
Bogenlänge – Formel
- Die Bogenlänge $b$ eines Kreisausschnitts ist die Länge des Kreisbogens, der zum Kreisausschnitt gehört.
- Wir erhalten eine Formel für die Bogenlänge $b$, indem wir die Verhältnisgleichung nach $b$ auflösen:
$b = \dfrac{\alpha \cdot U}{360^\circ}$
Bogenlänge und Winkel – Beispiele
Sehen wir uns anhand zweier Beispiele an, wie die Bogenlänge $b$ oder der Winkel $\alpha$ mithilfe der Verhältnisgleichung berechnet werden können.
Beispiel 1 – Bogenlänge berechnen
Wir wollen die Bogenlänge $b$ eines Kreisausschnitts mit Winkel $\alpha = 130^\circ$ bei einem Kreisumfang von $U=21~\text{cm}$ berechnen. Setzen wir diese Werte in die Formel für die Bogenlänge ein, erhalten wir:
$b = \dfrac{130^\circ \cdot 21~\text{cm}}{360^\circ} \approx 7{,}58~\text{cm}$
Die Länge des Kreisbogens $b$ am Kreisausschnitt beträgt also $7{,}58~\text{cm}$.
Beispiel 2 – Winkel berechnen
Sind der Umfang $U = 18~\text{cm}$ eines Kreises und die Bogenlänge $b = 12~\text{cm}$ eines Kreisausschnitts bekannt, können wir durch Umstellen der Formel nach $\alpha$ auch den Mittelpunktwinkel $\alpha$ des Kreisausschnitts berechnen:
$\alpha = \dfrac{b \cdot 360^\circ}{U} = \dfrac{12~\text{cm} \cdot 360^\circ}{18~\text{cm}} = 240^\circ$
Der Winkel $\alpha$ beträgt in diesem Fall also $240^\circ$.
Bogenmaß – Definition
Um nun die Bedeutung des Bogenmaßes zu erklären, betrachten wir einen Kreis vom Radius $r=1$. Man nennt einen solchen Kreis auch Einheitskreis.
Das Bogenmaß ist ein Winkelmaß, bei dem die Größe des Winkels $\left( \alpha \right)$ durch die Bogenlänge $\left( b \right)$ des Kreisausschnitts im entsprechenden Einheitskreis $\left( r = 1 \right)$ angegeben wird.
Betrachten wir den Umfang des Einheitskreises:
$U_{\text{Einheitskreis}} = 2 \cdot r \cdot \pi = 2 \cdot 1 \cdot \pi = 2\,\pi$
Der gesamte Umfang des Einheitskreises entspricht also einer Bogenlänge $b = 2\,\pi$. In diesem Fall ist der Mittelpunktwinkel $\alpha$ der Vollwinkel, also $\alpha = 360^\circ $.
Im Bogenmaß wird nun einfach der Winkel in Form einer Bogenlänge am Einheitskreis angegeben, das heißt:
$\alpha \text{~im~Bogenmaß} = b \text{~am~Einheitskreis}$
Für $\alpha = 360^\circ$ gilt also $b = 2\,\pi$. Demnach können wir schreiben:
$360^\circ = 2\,\pi~\text{rad}$
Die Abkürzung $\text{rad}$ steht für radiant. Dieser Zusatz wird manchmal ergänzt, um anzuzeigen, dass es sich um eine Winkelangabe im Bogenmaß handelt. Oft wird dieser Zusatz aber auch einfach weggelassen, denn sobald die Kreiszahl $\pi$ auftaucht, ist meist klar, dass im Bogenmaß gerechnet werden muss.
Wusstest du schon?
In der Astronomie wird oft das Bogenmaß verwendet, um die Positionen der Sterne und Planeten am Nachthimmel anzugeben. Ein kleiner Winkel genügt, um riesige Entfernungen im All zu beschreiben.
Wenn du also das nächste Mal in den Nachthimmel schaust, denk daran, dass Astronominnen und Astronomen Winkel nutzen, um das Universum besser zu verstehen!
Gradmaß und Bogenmaß
Aus der Tatsache, dass $360^\circ = 2\,\pi~\text{rad}$ ist, ergeben sich weitere einfache Umrechnungen typischer Winkel ins Bogenmaß:
Das Gradmaß und das Bogenmaß sind zwei verschiedene Maße für die Winkelgröße eines Kreisausschnitts.
In der letzten Zeile der Tabelle siehst du die Größe eines rechten Winkels im Gradmaß $\left( 90^\circ \right)$ und im Bogenmaß $\left( \frac{\pi}{2} \right)$. Da es sich dabei um ein Viertel des Vollwinkels handelt, gilt:
$360^\circ : 4 = 90^\circ \quad$ bzw. $\quad 2\,\pi : 4 = \dfrac{\pi}{2}$
Am Einheitskreis sieht das folgendermaßen aus:
Aus dem immer gleichen Verhältnis zum Vollwinkel ergibt sich wieder die Verhältnisgleichung, die wir schon kennen, nur dass eben $U = 2\,\pi$ ist. Demnach können wir einen Winkel im Gradmaß $\left( \alpha \right)$ ins Bogenmaß umrechnen, indem wir die Verhältnisgleichung nach $b$ auflösen:
$\begin{array}{lcccl} & \dfrac{b}{2\pi} &=& \dfrac{\alpha}{360^\circ} & \Big\vert \cdot 2\,\pi \\ \\ \Leftrightarrow & b &=& \alpha \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} \end{array}$
Im Gradmaß umfasst der Vollwinkel $360^\circ$. Die Winkelgröße jedes anderen Winkels kannst du bestimmen, indem du den Winkel mit dem Vollwinkel vergleichst.
Ein Viertel des Vollwinkels z. B. ist der rechte Winkel mit der Winkelgröße ${90^\circ = 360^\circ : 4}$.
Auf einem Taschenrechner erscheint das Gradmaß meistens mit der Abkürzung DEG. Das kommt vom englischen Wort degree für Gradmaß.
Im Bogenmaß hat der Vollwinkel die Winkelgröße $2\,\pi$. Das entspricht genau dem Umfang des Einheitskreises. Der Umfang wiederum ist genau die Bogenlänge des Kreisausschnitts, der zum Vollwinkel gehört. Die Winkelgröße jedes anderen Winkels kannst du wieder durch den Vergleich des Winkels mit dem Vollwinkel bestimmen.
Der rechte Winkel, der einem Viertel des Vollwinkels entspricht, hat im Bogenmaß z. B. die Winkelgröße $\frac{\pi}{2} = 2\,\pi : 4$.
Auf einem Taschenrechner erscheint das Bogenmaß mit der Abkürzung RAD. Das kommt vom englischen Wort radiant für Bogenmaß.
Wenn wir die Verhältnisgleichung nach dem Winkel im Grad‑ oder Bogenmaß umstellen, erhalten wir eine Gleichung zur Umrechnung zwischen den beiden Winkelmaßen.
Hier siehst du eine Übersicht der wichtigsten Winkel im Grad‑ und Bogenmaß und die Formeln zur Umrechnung zwischen beiden Maßen.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal beobachtet, wie die Zeiger einer Uhr im Kreis wandern. Diese Bewegungen lassen sich anhand der Zahlen $1$ bis $12$ auf der Uhr ablesen, aber du könntest sie auch im Gradmaß oder im Bogenmaß angeben. Ein voller Umlauf eines Zeigers entspricht $360$ Grad – oder $2\,\pi$ im Bogenmaß.
Indem du das verstehst, kannst du besser nachvollziehen, wie Winkel und Kreisbewegungen allgemein beschrieben werden können.
Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung
Wir können Winkelgrößen vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen – und umgekehrt. Dazu verwenden wir die aus der Verhältnisgleichung abgeleiteten Formeln. Sehen wir uns zwei Beispiele an.
Beispiel 1 – ins Gradmaß umrechnen
Wir betrachten einen Winkel mit der Winkelgröße $b=2$ im Bogenmaß. Um das zugehörige Gradmaß zu bestimmen, setzen wir den Wert $b=2$ in die nach $\alpha$ aufgelöste Gleichung ein:
$\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi} = \dfrac{2 \cdot 180^\circ}{\pi} \approx 114{,}59^\circ$
Die Winkelgröße $b=2~\left(\text{rad}\right)$ entspricht also im Gradmaß einem Winkel von $114{,}59^\circ$.
Beispiel 2 – ins Bogenmaß umrechnen
Umgekehrt können wir eine Winkelgröße auch vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen. Dazu setzen wir die Winkelgröße $\alpha = 45^\circ$ im Gradmaß in die nach $b$ aufgelöste Formel ein:
$b = \dfrac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ} = \dfrac{45^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}79$
Der Winkel $\alpha = 45^\circ$ hat also im Bogenmaß einen Wert von $0{,}79~\left(\text{rad}\right)$.
Fehleralarm
Es kommt häufig vor, dass angenommen wird, die Kreiszahl $\pi$ entspräche $360$ Grad. In Wirklichkeit entspricht $\pi$ aber nur der Hälfte eines Vollkreises, also $180$ Grad.
Ausblick – das lernst du nach Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung
Mach dich bereit, in die komplexe Welt der trigonometrischen Funktionen einzutauchen. Vertiefe dein Wissen über den Sinus, die Sinusfunktion sowie Cosinus und Tangens.
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Zusammenfassung – Gradmaß und Bogenmaß
- Die Größe eines Winkels wird üblicherweise im Gradmaß mit der Einheit Grad $\left( ^\circ \right)$ angegeben – oder im Bogenmaß mit der Einheit Radiant $\left( \text{rad} \right)$.
- Die Einheit Radiant bezieht sich auf die Bogenlänge $b$ am Einheitskreis, die über die Verhältnisgleichung in direktem Zusammenhang mit der Größe des Winkels $\alpha$ in Grad steht. Es gilt:
$\dfrac{b}{2\,\pi} = \dfrac{\alpha}{360^\circ}$ - Mithilfe der Verhältnisgleichung lassen sich Winkelangaben vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen und umgekehrt. Es gilt:
$b = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \quad$ und $\quad \alpha = b \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$ - Auf dem Taschenrechner kannst du mit den Tasten DEG bzw. RAD zwischen Gradmaß und Bogenmaß umstellen – je nachdem, mit welchem der beiden Winkelmaße du rechnen möchtest.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Gradmaß und Bogenmaß
Transkript Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung
Warum drehen wir uns, wenn wir uns einmal im Kreis drehen, eigentlich genau um dreihundertsechzig Grad? Warum nicht um einhundert Grad? Oder eintausend? Das hat tatsächlich historische Gründe! Die Einteilung des Kreises in dreihundertsechzig Einheiten geht höchstwahrscheinlich auf die babylonische Kultur zurück, die sich vor circa fünftausend Jahren entwickelte. Da das Zahlensystem der Babylonier aus insgesamt sechzig Ziffern bestand, lag es nahe, auch den Kreis in ein Vielfaches von sechzig einzuteilen. Übrigens kann – aus dem gleichen Grund – auch die Einteilung der Stunde in sechzig Minuten auf die babylonische Kultur zurückgeführt werden. Sowohl die Einteilung von Stunden, Minuten und Sekunden, als auch die Einteilung des Kreises in dreihundertsechzig Grad, haben wir also vermutlich den alten Babyloniern zu verdanken. Was du sonst noch über Gradmaß, Bogenmaß und die Umrechnung zwischen diesen beiden Maßen wissen solltest, erfährst du in diesem Video. Gradmaß – manchmal auch Winkelmaß genannt – und Bogenmaß sind zwei verschiedene Maße, die das Gleiche messen. Wir nutzen sie, um die Größe von Winkel zu beschreiben. Schauen wir uns das zunächst im Gradmaß an. Hier sehen wir einen fünfundvierzig-Grad-Winkel. Die Gradzahl wird mit einem kleinen Kringel, dem Grad-Zeichen, gekennzeichnet. Das hat aber nichts mit der Temperatur zu tun. Es geht um Winkel, nicht verwechseln! Hier nochmal ein kleiner Winkel-Crash-Kurs: Bei fünfundvierzig Grad handelt es sich um einen spitzen Winkel. Einen rechter Winkel, sprich einen neunzig-Grad-Winkel, kennen wir auch schon. Ein gestreckter Winkel hat einhundertachtzig Grad, und der Vollwinkel schließlich dreihundertsechzig Grad. Warum der Vollwinkel genau dreihundertsechzig Grad groß ist, wissen wir ja jetzt auch. Doch wir können eine Winkelgröße nicht nur im Gradmaß angeben. Das Bogenmaß ist ein alternatives Maß, in dem Winkel gemessen werden können. Das kannst du dir in etwa so vorstellen, wie den Unterschied zwischen den Einheiten Kilometer und Meile. Die Entfernung zwischen New York City beträgt für uns Europäer circa dreihundertdreißig Kilometer. Die US-Amerikaner geben für die gleiche Strecke hingegen circa zweihundertundvier Meilen an. Auch hier wird die gleiche Größe, nämlich die Länge einer Strecke, mit unterschiedlichen Maßeinheiten gemessen. Doch worin genau besteht der Unterschied zwischen Grad- und Bogenmaß? Für das Bogenmaß werfen einen Blick auf den Einheitskreis. Also auf einen Kreis mit dem Radius eins. Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet „zwei mal der Kreiszahl Pi mal dem Radius r“. Da r in unserem Fall gleich eins ist, ist der Umfang also gleich zwei Pi. In anderen Worten: Wenn wir diesen Kreis einmal entlanglaufen, ist die Länge der zurückgelegten Strecke genau zwei Pi. Um das Bogenmaß zu erhalten, müssen wir noch durch die Länge des Radius teilen. Im Einheitskreis teilen wir durch eins, dadurch ändert sich nichts. Zwei Pi entspricht somit der Größe des Vollwinkels im Bogenmaß. Da sich, wenn wir Umfang durch Radius teilen, die Länge des Radius immer wegkürzt, gilt das nicht nur für den Einheitskreis sondern allgemein. Wir beschreiben im Bogenmaß also die Größe des Winkels mit dem Verhältnis von Bogenlänge zu Radius. Bei diesem Winkel ergibt sich zum Beispiel die Bogenlänge Eins, die hier genau dem Radius entspricht. Das Verhältnis - sprich die Größe des Winkels im Bogenmaß – ist also auch gleich eins. Im Bogenmaß ist der Vollwinkel also gleich zwei Pi. Im Gradmaß waren das dreihundertsechzig Grad. Die Hälfte, also einhundertachtzig Grad im Gradmaß, entsprechen somit genau einmal Pi im Bogenmaß. Und nochmal die Hälfte, sprich neunzig Grad, sind „Pi Halbe“ im Bogenmaß. Aufgepasst! Winkel im Gradmaß werden mit dem Gradzeichen gekennzeichnet, da sie in der Einheit Grad gemessen werden. Winkel im Bogenmaß, die in der Einheit Radiant gemessen werden, aber nicht. Es handelt sich um zwei verschiedene Einheiten. Die Einheit Radiant lässt man meistens einfach weg. Aus der mittleren Zeile unserer Tabelle können wir uns eine einfache Formel herleiten, mit der wir zwischen den beiden Maßen umrechnen können. Für die Umwandlung von Grad- ins Bogenmaß lautet diese: „b gleich Alpha mal Pi durch Einhundertachtzig Grad.“ b steht hier für die Winkelgröße im Bogenmaß, Alpha für die Winkelgröße im Gradmaß. Andersherum hilft uns die umgestellte Formel „Alpha gleich b mal einhundertachtzig Grad durch Pi.“ Ein Beispiel: Wir wollen fünfundvierzig Grad ins Bogenmaß umrechnen. Wir setzen den Wert in unsere Formel für Alpha ein und müssen nur noch kürzen. Fünfundvierzig Grad im Gradmaß entsprechen also „Pi Viertel“ im Bogenmaß. Ob wir einen Winkel im Grad- oder Bogenmaß angeben, ist grundsätzlich egal. Wir können zwei Winkelgrößen allerdings nur direkt vergleichen, wenn sie im gleichen Winkelmaß angegeben sind. Darauf müssen wir insbesondere auch achten, wenn wir mit dem Taschenrechner arbeiten. Bei den meisten Taschenrechnern wird hier zwischen den Einstellungen „D-E-G“ – das ist Englisch für degree, also Grad beziehungsweise Gradmaß – und „R-A-D“ unterschieden. Das steht für radian, also Radiant, der Einheit im Bogenmaß. Alles klar, jetzt haben wir den Dreh raus. Zeit für eine Zusammenfassung. Winkelgrößen können wir im Grad- oder Bogenmaß angeben. Hier siehst du die wichtigsten Kennwerte im Vergleich. Diese beiden Formeln helfen uns außerdem, wenn wir von dem einen Maß in das andere umrechnen wollen. Auf dem Taschenrechner ist das Gradmaß meist durch D-E-G und das Bogenmaß durch R-A-D gekennzeichnet. Den hatten die Babylonier nicht zur Hand, wenn sie mit Winkeln am Kreis rechneten. Umso beeindruckender, wozu die Menschen vor so langer Zeit schon fähig waren!
Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung Übung
-
Beschreibe die Bedeutung des Grad- und des Bogenmaßes.
TippsGrad heißt im Englischen degree.
$b = \dfrac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$
$\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$
LösungUm einen Winkel anzugeben, können wir das Gradmaß oder das Bogenmaß verwenden.
Wir überprüfen die Aussagen:
- Grad- und Bogenmaß sind unterschiedliche Einheiten für einen Winkel. Diese Aussage ist richtig.
- Jeder Winkel kann im Gradmaß und im Bogenmaß angegeben werden. Diese Aussage ist richtig.
- Das Gradmaß wird in der Einheit $^\circ$ angegeben. Diese Aussage ist richtig.
- Das Bogenmaß wird in $\text{cm}$ angegeben. Diese Aussage ist falsch. Das Bogenmaß ist keine Länge, sondern eine rationale Zahl.
- Am Taschenrechner müssen wir beim Rechnen mit dem Gradmaß die Einstellung rad wählen. Diese Aussage ist falsch. Beim Rechnen mit dem Gradmaß wählen wir die Einstellung deg und beim Rechnen mit dem Bogenmaß die Einstellung rad.
-
Gib die Herleitung zur Bestimmung des Vollwinkels im Bogenmaß wieder.
TippsEin Winkel im Bogenmaß wird meist mit $b$ abgekürzt, ein Winkel im Gradmaß mit $\alpha$.
Das Bogenmaß entspricht der Länge des zu einem Winkel gehörenden Kreisbogens am Einheitskreis.
LösungUm die Größe des Vollwinkels $360^\circ$ im Bogenmaß herzuleiten, verwenden wir den Einheitskreis:
Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius $r=1$.
Der Umfang eines Kreises kann mit der Formel $U=2\pi r$ bestimmt werden.
Im Einheitskreis ist der Umfang somit $U=2 \pi \cdot 1 = 2 \pi$. Dies entspricht der Größe des Vollwinkels im Bogenmaß. Wir schreiben: $b=2\pi$
Allgemein teilen wir zur Bestimmung des Bogenmaßes den Umfang durch den Radius.
Da $\frac{U}{r} = \frac{2 \pi r}{r} = 2 \pi$ gilt, gilt dies auch allgemein.Für den Vollwinkel gilt also:
Gradmaß: $\alpha = 360^\circ$ $\quad$ Bogenmaß: $b=2\pi$ -
Bestimme für jeden Winkel die Angabe im Grad- und im Bogenmaß.
TippsDu kannst entweder die Winkel im Gradmaß ins Bogenmaß umwandeln oder umgekehrt.
Um einen Winkel vom Gradmaß $\alpha$ ins Bogenmaß $b$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:
$b = \frac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$
Der Winkel $360^\circ$ entspricht im Bogenmaß $2\pi$.
LösungUm einen Winkel vom Gradmaß $\alpha$ ins Bogenmaß $b$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:
$b = \frac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$
Wir können somit die gegebenen Winkel umwandeln:
- Winkel $\alpha=20^\circ$: $b = \frac{20^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{9}$
- Winkel $\alpha=60^\circ$: $b = \frac{60^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}$
- Winkel $\alpha=160^\circ$: $b = \frac{160^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{8}{9} \pi$
- Winkel $\alpha=67,5^\circ$: $b = \frac{67,5^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{3}{8} \pi$
- Winkel $\alpha=36^\circ$: $b = \frac{36^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{5}$
-
Ermittle die fehlenden Winkelangaben.
TippsUm einen Winkel vom Bogenmaß $b$ ins Gradmaß $\alpha$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:
$\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$
$b = \dfrac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$
LösungWinkel können wir im Gradmaß oder im Bogenmaß angeben.
Um einen Winkel vom Gradmaß $\alpha$ ins Bogenmaß $b$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:
$b = \dfrac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$
Wir können somit die gegebenen Winkel umwandeln:
$b = \frac{270^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{3}{2} \pi = 1,5 \pi$
$b = \frac{108^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{3}{5} \pi = 0,6 \pi$Um einen Winkel vom Bogenmaß $b$ ins Gradmaß $\alpha$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:
$\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$
Wir können somit die gegebenen Winkel umwandeln:
$\alpha = \frac{0,75 \pi \cdot 180^\circ}{\pi} = 135^\circ$
$\alpha = \frac{5 \pi \cdot 180^\circ}{\pi} = 900^\circ$ -
Vervollständige die Tabelle zu den wichtigsten Winkeln im Grad- und Bogenmaß.
TippsEine Angabe im Gradmaß trägt immer die Einheit $^\circ$.
Der Winkel $\alpha=45^\circ$ beträgt im Bogenmaß $b=\frac{\pi}{4}$.
LösungWir können einen Winkel immer im Gradmaß oder im Bogenmaß angeben.
Der Vollwinkel:
Da im Einheitskreis der Umfang $2 \pi$ beträgt, entspricht der Vollwinkel $360^\circ$ im Bogenmaß $2 \pi$.Der gestreckte Winkel:
Da $180^\circ$ die Hälfte des Vollwinkels ist, beträgt das zugehörige Bogenmaß $\pi$.Der rechte Winkel:
Halbieren wir den gestreckten Winkel noch einmal, so erhalten wir im Gradmaß den $90^\circ$-Winkel, welcher im Bogenmaß $\frac{\pi}{2}$ entspricht. -
Stelle die Winkelangaben der Größe nach geordnet dar.
TippsWandle zunächst alle Winkel ins Gradmaß oder alle Winkel ins Bogenmaß um.
Achtung: Jede Angabe ohne das Gradzeichen, ist ein Winkel im Bogenmaß, so zum Beispiel auch $b=45$. Jede Angabe mit Gradzeichen ist hingegen ein Winkel im Gradmaß, so zum Beispiel auch $\alpha = \pi^\circ$.
$b = \dfrac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$
$\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$
LösungWinkel können wir im Gradmaß oder im Bogenmaß angeben. Um die Winkel sortieren zu können, wandeln wir sie alle ins Gradmaß um.
Hinweis: Wir könnten auch alle Winkel ins Bogenmaß umwandeln.
Um einen Winkel vom Bogenmaß $b$ ins Gradmaß $\alpha$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:
$\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$
Wir können somit die im Bogenmaß gegebenen Winkel umwandeln:
$\alpha = \frac{\frac{5}{36} \pi \cdot 180^\circ}{\pi} = 25^\circ$
$\alpha = \frac{\frac{11}{45} \pi \cdot 180^\circ}{\pi} = 44^\circ$
$\alpha = \frac{\frac{\pi}{5} \cdot 180^\circ}{\pi} = 36^\circ$
$\alpha = \frac{45 \cdot 180^\circ}{\pi} \approx 2578,3^\circ$Hinweis: Jede Angabe ohne das Gradzeichen, ist ein Winkel im Bogenmaß, so zum Beispiel auch $b=45$. Jede Angabe mit Gradzeichen ist hingegen ein Winkel im Gradmaß, so zum Beispiel auch $\alpha = \pi^\circ$. Hierfür gilt: $\alpha = \pi^\circ \approx 3,14^\circ$.
Wir können nun die Winkel der Größe nach sortieren:
$3,14^\circ < 15^\circ < 18^\circ < 25^\circ < 36^\circ < 40^\circ < 44^\circ < 2578,3^\circ$
bzw.
$\pi^\circ < 15^\circ < 18^\circ < \frac{5}{36} \pi < \frac{\pi}{5} < 40^\circ < \frac{11}{45} \pi < 45$
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