Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal: Strecken und Winkel übertragen

Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal: Strecken und Winkel übertragen Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Übertragen von Strecken.

  Tipps

  Hier siehst du ein Bild der Konstruktion.

  Der Zirkel hilft dir, die Länge der Strecke festzuhalten.

  Lösung

  Hier siehst du ein Bild der Konstruktion. Diese kann dir helfen zu entscheiden, welche Aussagen richtig sind. Wir erhalten, dass folgende Aussagen falsch sind:

  „Zum Übertragen von Strecken benötigst du unterschiedliche Ausrüstungen, wie ein Geodreieck und einen Computer.“

  • Zum Übertragen von Strecken und Winkeln benötigst du nur einen Zirkel und ein Lineal.

  „Hast du die Öffnung des Zirkels auf die Länge der Strecke eingestellt, musst du nicht darauf achten, dass diese fest eingestellt bleibt. Es macht keinen Unterschied, wenn die Länge beim Einzeichnen unterschiedlich ist.“

  • Beim Übertragen von Strecken ist es sehr wichtig, dass diese Strecke auf deinem Zirkel eingestellt bleibt. Bleibt sie das nicht, verfälschst du deine Zeichnung.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  „Um eine bekannte Strecke auf eine andere Gerade zu übertragen, stichst du zuerst mit dem Zirkel in einen Endpunkt ein und stellst anschließend die Öffnung des Zirkels auf die Länge der Strecke ein.“

  • Dies ist der erste Schritt der Konstruktion

  „Hast du die Länge der Strecke in deinem Zirkel eingestellt, stichst du den Zirkel in einem Punkt auf der Geraden ein und zeichnest einen Kreisbogen mit dem Radius der eingestellten Strecke. Dieser Bogen muss die Gerade schneiden.“

  „Der Einstichpunkt des Zirkels und der Punkt, wo sich Kreisbogen und Gerade schneiden, sind die Endpunkte der Strecke.“

  • So kannst du die Konstruktion abschließen.

• Beschreibe das Übertragen von Winkeln.

  Tipps

  Der Kreisbogen hilft uns, den Winkel zu übertragen. Deshalb zeichnen wir denselben Kreisbogen in beide Zeichnungen ein.

  Indem wir den Abstand der Schnittpunkte aus der ursprünglichen Zeichnung mit dem Kreisbogen übertragen, können wir einen zweiten Schnittpunkt in unsere Zeichnung eintragen.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich im Punkt $P$. Zwischen den Geraden liegt der Winkel $\alpha$. Um den Winkel zu übertragen, zeichnen wir zuerst eine Hilfsgerade $g'$ und zeichnen dort einen Punkt $P'$ ein.“

  • Um den Winkel zu übertragen, müssen wir zunächst eine Hilfsgerade zeichnen, zu der wir den Winkel übertragen.

  „Anschließend zeichnen wir mit dem Zirkel einen Kreisbogen um $P$, der die Geraden $g$ und $h$ schneidet. Die Schnittpunkte bezeichnen wir mit $S_1$ und $S_2$.

  Mit dem gleichen Radius wie bei der ursprünglichen Zeichnung zeichnen wir einen Kreisbogen um $P'$, der die Gerade $g'$ im Schnittpunkt $S_3$ schneidet.“

  • Dieser Kreisbogen hilft uns, den Winkel zu übertragen. Deshalb zeichnen wir denselben Kreisbogen in beide Zeichnungen ein.

  „Anschließend stellen wir den Zirkel auf den Abstand der Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ ein und zeichnen einen weiteren Kreisbogen um $S_3$. Dieser muss den zuvor gezeichneten Kreisbogen um $P'$ schneiden. Dieser Schnittpunkt heißt $S_4$.“

  • Indem wir den Abstand der Schnittpunkte aus der ursprünglichen Zeichnung mit dem Kreisbogen übertragen haben, konnten wir einen zweiten Schnittpunkt in unsere Zeichnung eintragen.

  „Zuletzt zeichnen wir eine Gerade durch $P'$ und $S_4$. Diese bezeichnen wir mit $h'$. Zwischen $g'$ und $h'$ liegt derselbe Winkel $\alpha$ wie zwischen den Geraden $g$ und $h$.“

  • Mit diesem Schnittpunkt können wir jetzt den zweiten Schenkel des Winkels einzeichnen.

• Erschließe die richtigen Konstruktionsschritte.

  Tipps

  Bei einem Winkel nennt man die beiden Geraden, die den Winkel bilden, Schenkel. Der Punkt, an dem sich die Geraden schneiden, wird Scheitelpunkt genannt.

  Lösung

  So kannst du die Konstruktionsschritte verbinden:

  Übertragen einer Strecke: Stelle deinen Zirkel auf die Länge der gewünschten Strecke ein. Stich in einen Punkt der Geraden ein und zeichne einen Kreisbogen, der die Gerade schneidet.

  • Der Punkt, in den du eingestochen hast, sowie der konstruierte Schnittpunkt sind Anfangs- und Endpunkt der gewünschten Strecke.

  Konstruktion zweier Punkte auf den Schenkeln, die denselben Abstand vom Scheitelpunkt des Winkels haben: Zeichne einen Kreisbogen um den Scheitelpunkt des Winkels, der die Schenkel des Winkels schneidet.

  • Die Schnittpunkte des Kreisbogens mit den beiden Geraden sind die gewünschten Punkte. Beide haben jeweils denselben Abstand zum Scheitelpunkt. Der exakte Abstand war hierbei nicht gegeben.

  Zwei Winkel miteinander vergleichen: Konstruiere $4$ Punkte auf den Schenkeln im gleichem Abstand zum jeweiligen Scheitelpunkt. Miss den Abstand der Punktpaare mithilfe des Zirkels.

  • Wir haben zwei Scheitelpunkte $P$ und $P'$. Von diesen gehen jeweils die Schenkel ab: $g$ und $h$ von $P$ und $g'$ und $h'$ von $P'$. Wir können nun den Zirkel beliebig einstellen und anschließend zwei Kreisbogen (einen um $P$ und einen um $P'$) ziehen, die denselben Radius haben. Die Schnittpunkte mit den jeweiligen Schenkeln können wir mit $S_1$, $S_2$ (auf $g$ und $h$) und $S_3$ und $S_4$ (auf $g'$ und $h'$) bezeichnen. Die Schnittpunkte haben durch die Konstruktion alle denselben Abstand zum jeweiligen Scheitelpunkt. Nun müssen nur noch die Abstände von $S_1$ zu $S_2$ mit $S_3$ zu $S_4$ verglichen werden. Dies ist am leichtesten, wenn du den Zirkel in $S_1$ stichst, den Abstand zu $S_2$ dann beim Zirkel feststellst und anschließend den Zirkel bei $S_3$ einstichst und überprüfst, ob der Abstand zu $S_4$ größer oder kleiner ist als die Zirkeleinstellung. So kannst du die Winkel miteinander vergleichen.

  Übertragen eines Winkels mithilfe zweier Punkte $S_1$ und $S_2$, die denselben Abstand vom Scheitelpunkt haben: Übertrage den Abstand zwischen Scheitelpunkt und $S_1$ und den Abstand zwischen $S_1$ und $S_2$ auf den neuen Winkel. Die Kreisbögen schneiden sich.

• Ermittle, wo die übertragenen Strecken enden.

  Tipps

  Du kannst die Punkte bestimmen, indem du die Strecken überträgst.

  Zeichne die Koordinatensysteme in dein Heft und stelle deinen Zirkel auf die Länge der Strecke ein. Stich dann den Zirkel in den Punkt $A'$ und zeichne einen Kreisbogen, der die Gerade, auf der der Punkt $A'$ liegt, im positiven Bereich schneidet.

  In einem Koordinatensystem gibst du Punkte immer folgendermaßen an: Der $x$-Wert wird zuerst genannt, anschließend der $y$-Wert. Dazwischen befindet sich ein vertikaler Strich. Hast du also den Punkt $P(3 \vert 1)$ gegeben, dann gehst du zuerst vom Koordinatenursprung $(0 \vert 0)$ drei Schritte in $x$-Richtung nach rechts. Anschließend gehst du einen Schritt in $y$-Richtung nach oben. Dann befindest du dich am Punkt $P$

  Lösung

  Du kannst die Punkte bestimmen, indem du die Strecken überträgst. Dazu zeichnest du die Koordinatensysteme in dein Heft und stellst deinen Zirkel auf die Länge der Strecke ein. Dann stichst du den Zirkel in den Punkt $A'$ und zeichnest einen Kreisbogen, der die Gerade $g$ im positiven Bereich schneidet. Am Schnittpunkt befindet sich der Punkt $B'$. So erhältst du folgende Endpunkte:

  • Erster Punkt: $B'(9\vert7)$

  • Zweiter Punkt: $B'(4\vert7)$

  • Dritter Punkt: $B'(7\vert 9)$

• Gib die richtige Reihenfolge der Konstruktionsschritte an.

  Tipps

  Alle Punkte oder Geraden, die einen Strich in ihrer Bezeichnung tragen (z. B. $P'$ oder $g'$), gehören zu der von uns konstruierten Zeichnung.

  So sieht die fertige Konstruktion aus.

  Lösung

  So sieht die fertige Konstruktion aus. Die Schritte gehören in diese Reihenfolge:

  „Zeichne eine Hilfsgerade $g'$ und markiere den Punkt $P'$.“

  • Zuerst benötigen wir eine Gerade, auf die wir den Winkel übertragen.

  „Zeichne einen Kreisbogen um $P$, der die beiden Geraden $g$ und $h$ schneidet. Zeichne einen weiteren Kreisbogen mit demselben Radius um $P'$, der die Gerade $g'$ im Punkt $S_3$ schneidet.“

  • Anschließend zeichnen wir auf der ursprünglichen Zeichnung und auf unserer Übertragung denselben Kreisbogen ein.

  „Die Schnittpunkte der Geraden $g$ und $h$ mit dem Kreisbogen nennen wir $S_1$ und $S_2$. Stelle den Zirkel auf den Abstand dieser beiden Schnittpunkte ein.“

  „Behalte die Öffnung deines Zirkels bei und zeichne einen weiteren Kreisbogen um den Schnittpunkt $S_3$, der auf der Geraden $g'$ liegt.“

  • Mit dem Abstand der Schnittpunkte in der ursprünglichen Zeichnung konstruieren wir einen zweiten Schnittpunkt in unserer Zeichnung.

  „Wo sich die beiden Kreisbögen unserer Zeichnung schneiden, befindet sich der Schnittpunkt $S_4$. Zeichnest du eine Gerade durch $P'$ und $S_4$, hast du den Winkel übertragen.“

• Erläutere, warum das Übertragen von Strecken und Winkeln so funktioniert.

  Tipps

  So sieht die fertige Übertragung eines Winkels aus.

  Lösung

  Diese Aussage ist falsch:

  „Beim Übertragen von Winkeln verändert sich der Wert des Winkels.“

  • Dabei darf sich der Wert des Winkels nicht verändern. Sonst hast du den Winkel nicht übertragen, sondern einen neuen Winkel gezeichnet.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Eine Strecke hat eine feste Länge. Willst du sie übertragen, muss diese Länge erhalten bleiben. Deshalb misst du mit dem Zirkel die Länge der Strecke aus und darfst diese nicht verändern, bis du die Strecke übertragen hast.“

  • Ein Zirkel ist ein gutes Werkzeug, um Längen zu übertragen.

  „Alle Punkte auf einem Kreis haben denselben Abstand zum Mittelpunkt. Zeichnest du also einen Kreisbogen um den Scheitelpunkt, der die Schenkel des Winkels schneidet, dann findest du zwei Punkte, die jeweils den gleichen Abstand vom Scheitelpunkt haben.“

  • Da wir beim Übertragen von Winkeln Punkte konstruieren wollen, die denselben Abstand vom Scheitelpunkt haben, wenden wir dieses Vorgehen an.

  „Möchtest du einen Punkt finden, der den gleichen Abstand von den Punkten $A$ und $B$ hat, dann kannst du jeweils einen Kreis mit gleichem Radius um die beiden Punkte zeichnen. Die Schnittpunkte der Kreise haben den gleichen Abstand voneinander.“

  „Beim Übertragen von Winkeln konstruierst du drei Punkte. Mit diesen Punkten kannst du den Winkel zeichnen.“

  • Die drei zu konstruierenden Punkte heißen bei uns $S_3$, $S_4$ und $P'$. Willst du einen Winkel übertragen, so setzt du einen beliebigen Punkt $P'$. Anschließend ziehst du zuerst einen Kreisbogen mit einem beliebigen Winkel um den Scheitelpunkt des ursprünglichen Winkels. Der Kreisbogen schneidet die beiden Schenkel jeweils einmal, weshalb die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ entstehen. Mit demselben Radius zeichnest du nun auch einen Kreisbogen um $P'$. Nun zeichnest du eine Gerade durch $P'$ und einem beliebigen Punkt $S_3$ auf deinem zweiten konstruierten Kreisbogen. Anschließend stellst du den Abstand von $S_1$ und $S_2$ auf deinem Zirkel ein. Mit dieser Einstellung stichst du den Zirkel in $S_3$ und ziehst einen Kreisbogen, welcher den Kreisbogen um den Scheitelpunkt $P'$ schneidet. Dieser Schnittpunkt ist der dritte zu konstruierende Punkt $S_4$. Nun musst du nur noch $S_4$ mit $P'$ verbinden. Der Winkel wurde nun übertragen.