Hypothesentest – Signifikanz und Irrtumswahrscheinlichkeit

Hypothesentest – Signifikanz und Irrtumswahrscheinlichkeit Übung

• Gib die Ergebnisse des Hypothesentests wieder.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit bei Bernoulli-Versuchen wird wie folgt berechnet:

  • $p_k=p^k\cdot (1-p)^{n-k}\cdot \binom{n}{k}$

  Die Menge aller Kugeln stellt hier die sogenannte Grundgesamtheit dar. Die $10$ gezogenen Kugeln sind die Stichprobe.

  Der Erwartungswert für die Anzahl schwarzer Kugeln wird wie folgt berechnet:

  • $p_{\text{schwarz}}\cdot n$

  Dabei ist $n$ die Anzahl der Kugeln der Stichprobe.

  Lösung

  Wir gehen davon aus, dass sich in der Urne $50\%$ weiße und $50\%$ schwarze Kugeln befinden. Damit nehmen wir die folgenden Erfolgswahrscheinlichkeiten an:

  • $p_{\text{schwarz}}=0,5$
  • $p_{\text{weiß}}=0,5$

  Der Erwartungswert für die Anzahl schwarzer Kugeln entspricht dem Produkt aus der Erfolgswahrscheinlichkeit und der Anzahl der Kugeln der Stichprobe:

  • $p_{\text{schwarz}}\cdot n=0,5\cdot 10=5$

  Das erwartete Ergebnis ist also: $5$ schwarze und $5$ weiße Kugeln

  Es werden jedoch $4$ schwarze und $6$ weiße Kugeln gezogen. Wie ist dieses Ergebnis zu bewerten? Sind die Kugeln doch eher im Verhältnis $60$ zu $40$ verteilt?

  Hierzu wird die Trefferwahrscheinlichkeit dafür, dass genau $6$ Kugeln einer Farbe gezogen werden, berechnet:

  • Die Wahrscheinlichkeit bei Bernoulli-Versuchen wird wie folgt berechnet:

  • $p_6=0,5^6\cdot (1-0,5)^{10-6}\cdot \binom{10}{6}\approx 0,205$

  Die Wahrscheinlichkeit dafür, genau den Erwartungswert zu ziehen, beträgt:

  • $p_5=0,5^5\cdot (1-0,5)^{10-5}\cdot \binom{10}{5}\approx 0,246$

  Diese Wahrscheinlichkeit ist nur wenig größer.

  Eine sichere Aussage über die Verteilung der Kugeln in der Urne ist damit nicht möglich. Um ein schärferes Ergebnis zu erhalten, muss die Stichgruppe vergrößert werden.

• Definiere die Begriffe zu Hypothesentests.

  Tipps

  Wenn aus einer Urne $100$ mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen wird, so beschreibt die $100$ die Stichprobe.

  Die Anzahl aller Kugeln in der Urne ist die Grundgesamtheit.

  Lösung

  Es soll in Erfahrung gebracht werden, wie viele Menschen in Deutschland ein neu entwickeltes Smartphone kaufen würden. Natürlich können dazu nicht Millionen Menschen befragt werden. Also werden nur $3000$ ausgewählte Personen angerufen.

  • „Die Menge aller möglichen Käufer ist die Grundgesamtheit.“ Das könnten zum Beispiel alle volljährigen Einwohner Deutschlands sein.

  • „Die $3000$ Personen, die angerufen werden, sind die Stichprobe.“ Je mehr Personen angerufen werden, desto besser kann man von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen.

  • „Wenn wir mit einer Wahrscheinlichkeit von $95,4\%$ davon ausgehen können, dass unsere Hypothese stimmt, dann sind $4,6\%$ die Irrtumswahrscheinlichkeit.“ Wenn wir mit einer Wahrscheinlichkeit von $95,4\%$ davon ausgehen können, dass unsere Hypothese stimmt, dann würden wir uns in $4,6\%$ der Fälle irren. Darum nennt man diesen Anteil Irrtumswahrscheinlichkeit.

  • „Der Bereich, in dem die Treffer erwartet werden dürfen, hängt von der Stichprobengröße und Streuung ab. Die Maßzahl für die Streuung ist die Standardabweichung.“

• Zeige die Formeln, mit denen der Bereich ermittelt wird, in dem die Treffer liegen dürfen, um der jeweiligen Hypothese mit $5\%$ Irrtumswahrscheinlichkeit zuzustimmen.

  Tipps

  Bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\%$ ist der Bereich, in dem wir die Hypothese akzeptieren, das „$2\sigma$“-Intervall um den Erwartungswert herum.

  Lösung

  Bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\%$ ist der Bereich, in dem wir die Hypothese akzeptieren, folglich das „$2\sigma$“-Intervall um den Erwartungswert herum.

  Wenn $\mu$ der Erwartungswert und $\sigma$ die Standardabweichung ist, dann können wir die Grenzen dieses Bereiches wie folgt berechnen:

  • untere Grenze: $\mu-2\sigma$
  • obere Grenze: $\mu+2\sigma$

  Liegen alle Ergebnisse innerhalb des Bereiches von $\mu-2\sigma$ bis $\mu+2\sigma$, so können wir mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\%$ der Hypothese zustimmen.

• Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit und die daraus folgende Irrtumswahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Addiere alle Einzelwahrscheinlichkeiten von $p_{95}$ bis $p_{105}$ auf.

  Die Irrtumswahrscheinlichkeit erhältst du, wenn du die Trefferwahrscheinlichkeit von $100\%$ abziehst.

  Mit folgender Formel berechnest du die Einzelwahrscheinlichkeiten:

  • $p_k=p^k\cdot (1-p)^{n-k}\cdot \binom{n}{k}$

  Lösung

  Wir müssen alle Einzelwahrscheinlichkeiten von $p_{95}$ bis $p_{105}$ aufaddieren.

  Mit folgender Formel berechnen wir die Einzelwahrscheinlichkeiten:

  • $p_k=p^k\cdot (1-p)^{n-k}\cdot \binom{n}{k}$

  Mit $p=0,5$ und $n=200$ folgt:

  • $p_{95}= 0,5 ^{95}\cdot (1-0,5)^{200-95}\cdot \binom{200}{95}\approx 0,0439$
  • $p_{96}= 0,5 ^{96}\cdot (1-0,5)^{200-96}\cdot \binom{200}{96}\approx 0,0481$
  • $p_{97}= 0,5 ^{97}\cdot (1-0,5)^{200-97}\cdot \binom{200}{97}\approx 0,0515$
  • $p_{98}= 0,5 ^{98}\cdot (1-0,5)^{200-98}\cdot \binom{200}{98}\approx 0,0541$
  • $p_{99}= 0,5 ^{99}\cdot (1-0,5)^{200-99}\cdot \binom{200}{99}\approx 0,0558$
  • $p_{100}= 0,5 ^{100}\cdot (1-0,5)^{200-100}\cdot \binom{200}{100}\approx 0,0563$
  • $p_{101}= 0,5 ^{101}\cdot (1-0,5)^{200-101}\cdot \binom{200}{101}\approx 0,0558$
  • $p_{102}= 0,5 ^{102}\cdot (1-0,5)^{200-102}\cdot \binom{200}{102}\approx 0,0541$
  • $p_{103}= 0,5 ^{103}\cdot (1-0,5)^{200-103}\cdot \binom{200}{103}\approx 0,0515$
  • $p_{104}= 0,5 ^{104}\cdot (1-0,5)^{200-104}\cdot \binom{200}{104}\approx 0,0481$
  • $p_{105}= 0,5 ^{105}\cdot (1-0,5)^{200-105}\cdot \binom{200}{105}\approx 0,0439$

  Die Summe beträgt: $~0,5632=56,32\%$

  Damit erhalten wir folgende Irrtumswahrscheinlichkeit: $~100\%-56,32\%= 43,68\%$

• Beschrifte die Graphen zum Signifikanztest.

  Tipps

  Je schmaler der Signifikanztrichter ist, desto kleiner ist die Standardabweichung.

  Ein sehr signifikanter Test hat eine größere Standardabweichung als ein hochsignifikanter Test.

  Einen Hypothesentest mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\%$ nennt man signifikant.

  Lösung

  Einen Hypothesentest mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\%$ nennt man signifikant. Wird dieses Intervall in Abhängigkeit von der Größe der Stichprobe grafisch dargestellt, zeigt sich, wie sich das Intervall mit zunehmender Größe der Stichprobe immer mehr verengt.

  Die beiden gelben Kurven bilden den $95\%$-Signifikanztrichter. Bei diesem signifikanten Test beträgt die Standardabweichung $5\%$.

  In der statistischen Praxis gibt es noch weitere Standard-Irrtumswahrscheinlichkeiten. Zum Beispiel $1\%$ Prozent für sogenannte sehr signifikante Tests (grüne Kurven) und $0,1\%$ für hochsignifikante Tests (blaue Kurven). In diesen Fällen sind die Signifikanztrichter schmaler.

• Bestimme die Grenzen der jeweiligen Bereiche.

  Tipps

  Bei $n$ Bernoulli-Versuchen mit der Trefferwahrscheinlichkeit $0,5$ liegen $95\%$ der Treffer in einem „$2\sigma$“ großen Intervall, jeweils rechts und links vom Erwartungswert.

  Es gilt: $~\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

  Den Erwartungswert erhältst du, indem du die Erfolgswahrscheinlichkeit mit $n$ multiplizierst.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  • $n=300$
  • $\mu-2\sigma=150-2\cdot 0,5\cdot \sqrt{300}\approx 133$
  • $\mu+2\sigma=150+2\cdot 0,5\cdot \sqrt{300}\approx 167$

  Lösung

  Bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\%$ ist der Bereich, in dem wir die Hypothese akzeptieren, folglich das „$2\sigma$“-Intervall um den Erwartungswert herum.

  Wenn $\mu$ der Erwartungswert und $\sigma$ die Standardabweichung ist, dann können wir die Grenzen dieses Bereiches wie folgt berechnen:

  • untere Grenze: $\mu-2\sigma$
  • obere Grenze: $\mu+2\sigma$

  Liegen alle Ergebnisse innerhalb des Bereiches von $\mu-2\sigma$ bis $\mu+2\sigma$, so können wir mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\%$ der Hypothese zustimmen.

  Für den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ gilt:

  • $\mu=n\cdot p$
  • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

  Dabei ist $n$ die Anzahl der Kugeln einer Stichprobe und $p=0,5$ die Erfolgswahrscheinlichkeit. Wir erhalten hier die folgenden Bereiche:

  Stichprobe $n=200$

  • untere Grenze: $\mu-2\sigma=200\cdot 0,5-2\sqrt{200\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}=100- \sqrt{200}\approx 86$
  • obere Grenze: $\mu+2\sigma=200\cdot 0,5+2\sqrt{200\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}=100+ \sqrt{200}\approx 114$

  Stichprobe $n=220$

  • untere Grenze: $\mu-2\sigma=220\cdot 0,5-2\sqrt{220\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}=110- \sqrt{220}\approx 95$
  • obere Grenze: $\mu+2\sigma=220\cdot 0,5+2\sqrt{220\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}=110+ \sqrt{220}\approx 125$

  Stichprobe $n=190$

  • untere Grenze: $\mu-2\sigma=190\cdot 0,5-2\sqrt{190\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}=95- \sqrt{190}\approx 81$
  • obere Grenze: $\mu+2\sigma=190\cdot 0,5+2\sqrt{190\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}=95+ \sqrt{190}\approx 109$

  Stichprobe $n=210$

  • untere Grenze: $\mu-2\sigma=210\cdot 0,5-2\sqrt{210\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}=105- \sqrt{210}\approx 91$
  • obere Grenze: $\mu+2\sigma=210\cdot 0,5+2\sqrt{210\cdot 0,5\cdot (1-0,5)}=105+ \sqrt{210}\approx 119$