Inverse Matrizen – Einführung

Hi und willkommen zu meinem Video: Wie invertiert man Matrizen. Nicht jede Matrix ist invertierbar. Die Matrix A muss eine quadratische Matrix sein, das bedeutet, sie muss genauso viele Zeilen wie auch Spalten haben. Und sehr wichtig: Die Determinante dieser Matrix darf nicht gleich 0 sein. Außerdem gilt noch: Eine Matrix A mal der inversen Matrix von A, A^-1 ist gleich die Einheitsmatrix. Okay. Genug geredet. Machen wir ein Beispiel. Wenn wir die Matrix 1 1 3 2 invertieren wollen, machen wir das mit dem sogenannten Gaußschen Eliminationsverfahren. Ihr wisst ja noch A×A^-1 war gleich die Einheitsmatrix. Was wir jetzt machen, ist, wir schreiben uns die Matrix ab, die Einheitsmatrix daneben. Jetzt bauen wir den ganzen Spaß so um, dass auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht und die Matrix, die dann hier steht, ist die invertierte Matrix. Im Gaußschen Eliminationsverfahren können wir die einzelnen Zeilen oder auch die einzelnen Gleichungen, so wie das manchmal auch läuft im linearen Gleichungssystem, mit Zahlen mal nehmen und auch das Additionsverfahren anwenden, also aufeinander addieren. Das heißt, die Zeile lassen wir fürs Erste stehen und in der 2. Zeile rechnen wir die 2. Zeile minus 3 mal der 1. Wir wollen nämlich auf so eine Stufenform kommen. Also hier erst einmal eine 0 haben und dann da oben auch. 3-3×1=0 2-3=-1 0-3=-3 1-3×0=1 Jetzt werde ich hierauf die 2. Zeile addieren. Gut, dann sind wir fast fertig. Damit das hier die Einheitsmatrix wird, müssen wir noch die Vorzeichen ändern. Also wir könnten schreiben: 2. Zeile mal -1, aber so geht es schneller. Dann ist also die inverse Matrix von A -2 1 3 -1. Das geht doch bestimmt besser. Da wir es hier mit einer 2x2 Matrix zu tun hatten, 2 Zeilen, 2 Spalten, war es eigentlich gar nicht nötig, das so kompliziert zu machen. Es war aber das allgemeine Verfahren, das wollte ich euch auch mal zeigen. Für 2x2 Matrizen gibt es ein schnelleres Verfahren. Wenn wir jetzt die Matrix haben mit den einzelnen Elementen a b c d, dann ist die inverse Matrix 1 durch die Determinante von B und jetzt vertauschen wir hier einmal schräg und diese beiden bekommen ein Minus davor. Die Determinante von B berechnen wir folgendermaßen: a×d-c×b und das dort einsetzen. Machen wir das alles einmal für A durch. Die Determinante wäre 1×2-3×1. Die Determinante wäre -1. Also muss A invertiert gleich 1 geteilt durch -1 mal die beiden vertauscht und die beiden bekommen ein Minus davor. Das hier ist ja gleich -1. Und wenn wir diese Matrix mal -1 nehmen, dann müssen wir überall das Vorzeichen ändern. Und die Ähnlichkeit ist schon verblüffend. Oder?