Matrix-Matrix-Multiplikation

Die Matrizenmultiplikation

Matrizen sind ein sehr grundlegendes und nützliches Konzept in der Mathematik. Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie man zwei Matrizen miteinander multipliziert. Wir wissen dazu bereits, wie eine Matrix in der Mathematik definiert ist und was die Ordnung einer Matrix ist.

Wie multipliziert man Matrizen? – Beispiel

Wir erinnern uns zunächst an die Definition einer Matrix. Unter einer Matrix versteht man in der Mathematik ein rechteckiges Schema, das mit Elementen, meistens Zahlen, gefüllt ist:

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$

Die Ordnung einer Matrix wird in der Form $(m \times n)$ angegeben, wobei $m$ die Anzahl der Zeilen beschreibt und $n$ die Anzahl der Spalten. Die Beispielmatrix hat also die Ordnung $(3 \times 3)$.

Nachdem wir die Definition der Matrix wiederholt haben, wollen wir die folgenden Matrizen $A$ mit der Ordnung $(m_A \times n_A)$ und $B$ mit der Ordnung $(m_B \times n_B)$ miteinander multiplizieren:

$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

$ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

Bevor wir mit der Matrix-Matrix-Multiplikation beginnen, müssen wir uns die Frage stellen, ob wir die vorliegenden Matrizen überhaupt miteinander multiplizieren können. Es können nämlich nicht beliebige Matrizen miteinander multipliziert werden. Damit die Multiplikation zweier Matrizen möglich ist, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen.

Die Matrix $A$ hat die Ordnung $(2 \times 3)$, also drei Spalten, und die Matrix $B$ hat die Ordnung $(3 \times 2)$, also drei Zeilen. Wir können diese beiden Matrizen also miteinander multiplizieren. Das Ergebnis einer Matrixmultiplikation ist wieder eine Matrix, und zwar mit der neuen Ordnung $(m_A \times n_B)$. Die neue Matrix hat also so viele Zeilen wie der erste Faktor des Matrixprodukts und so viele Spalten wie der zweite Faktor im Matrixprodukt. In unserem Beispiel hat die neue Matrix also die Ordnung $(2 \times 2)$.

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = C $

Die Multiplikation der Matrizen verläuft nach dem Prinzip Zeile mal Spalte und ähnelt dem Vorgehen beim Skalarprodukt zweier Vektoren. Dabei setzt sich die erste Zeile der neuen Matrix $C$ aus der Multiplikation der ersten Zeile der Matrix $A$ mit den jeweiligen Spalten der Matrix $B$ zusammen.

Den Wert für den Eintrag $a$ in der ersten Zeile und ersten Spalte der Matrix $C$ erhalten wir, indem wir die Einträge der ersten Zeile der Matrix $A$ mit den Einträgen der ersten Spalte der Matrix $B$ multiplizieren und die Ergebnisse aufsummieren – ganz analog zum Skalarprodukt zweier Vektoren. Für den zweiten Eintrag in der ersten Zeile, also $b$, multiplizieren wir die Einträge der ersten Zeile der Matrix $A$ mit den Einträgen der zweiten Spalte der Matrix $B$ und summieren auch diese auf. So gehen wir Schritt für Schritt vor, bis wir die Matrix $C$ bestimmt haben. Das Vorgehen können wir grafisch folgendermaßen veranschaulichen:

Das klingt kompliziert, ist aber eigentlich ganz einfach. Wir gehen das Verfahren an unserem Beispiel Schritt für Schritt durch, um es anschaulicher zu machen.

Die erste Zeile der Matrix $A$ ist:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $

Und die erste Spalte der Matrix $B$ ist:

$ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} $

Damit berechnet sich $a$ wie folgt:

$\color{red}{a} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 2 = 2 + 0 + 6 = \color{red}{8}$

Wir haben also den ersten Eintrag berechnet:

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{8} & b \\ c & d \end{pmatrix} = C $

Für den Eintrag $b$ müssen wir wieder die erste Zeile der Matrix $A$ nutzen, aber die zweite Spalte der Matrix $B$. Die Berechnung von $b$ sieht also folgendermaßen aus:

$\color{orange}{b} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot (-1) = 1 + 14 -3 = \color{orange}{12}$

Damit haben wir den zweiten Eintrag der Matrix $C$ und damit die gesamte erste Zeile berechnet:

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & \color{orange}{12} \\ c & d \end{pmatrix} = C $

Um die Einträge in der zweiten Zeile der Matrix $C$ zu berechnen, multiplizieren wir die zweite Zeile der Matrix $A$ mit den Spalten der Matrix $B$ nach dem gleichen Muster wie bisher. Wir beginnen mit dem Eintrag $c$. Dafür multiplizieren wir die Einträge der zweiten Zeile der Matrix $A$ mit den Einträgen der ersten Spalte der Matrix $B$ und bilden die Summe:

$\color{green}{c} = 4 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 6 \cdot 2 = 8 + 0 + 12 = \color{green}{20}$

Und für den Eintrag $d$ multiplizieren wir die Einträge der zweiten Zeile der Matrix $A$ mit den Einträgen der zweiten Spalte der Matrix $B$ und summieren auf:

$\color{blue}{d} = 4 \cdot 1 + 0 \cdot 7 + 6 \cdot ( -1 ) = 4 + 0 -6 =\color{blue}{-2} $

Damit erhalten wir als endgültiges Ergebnis der Matrixmultiplikation:

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{8} & \color{orange}{12} \\ \color{green}{20} & \color{blue}{-2} \end{pmatrix} = C $

Ausblick – das lernst du nach Matrix-Matrix-Multiplikation

Vertiefe dein Wissen über Determinanten und Inversen Matrizen! Sie bilden eine wichtige Grundlage in der linearen Algebra und stehen in direkter Verbindung zur Matrix-Multiplikation.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Matrizenmultiplikation