Matrizen – Nachweis der Nichtgültigkeit des Kommutativgesetzes

Matrizen – Nachweis der Nichtgültigkeit des Kommutativgesetzes Übung

• Gib an, was bei der Matrix-Multiplikation zu beachten ist.

  Tipps

  Wenn du zwei Matrizen

  • $A$ mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten und
  • $B$ mit $n$ Zeilen und $m$ Spalten multiplizierst,
  • erhältst du eine Matrix mit $m$ Zeilen und $m$ Spalten.

  Wenn du zwei Matrizen

  • $B$ mit $n$ Zeilen und $m$ Spalten und
  • $A$ mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten multiplizierst,
  • erhältst du eine Matrix mit $n$ Zeilen und $n$ Spalten.

  Bei der Matrixmultiplikation multiplizierst du immer eine Zeile der linken Matrix mit einer Spalte der rechten. Das bedeutet, dass diese gleich viele Elemente haben müssen.

  Lösung

  Um zwei Matrizen miteinander zu multiplizieren, multipliziert man die Zeilen der linken Matrix mit den Spalten der rechten. Dies ist hier zu sehen:

  $1\cdot 2+3\cdot 1+1\cdot 1=6$.

  Daran kann man bereits erkennen, dass die linke Matrix eben so viele Spalten haben muss wie die rechte Zeilen. Die Anzahl der Zeilen der Ergebnismatrix ist $4$ und die der Spalten $2$.

  Allgemein gilt: Für $A\cdot B=C$ mit

  • $A$ eine $[m\times n]$ Matrix und
  • $B$ eine $[n\times k]$ Matrix
  • ist $C$ eine $[m\times k]$ Matrix.

  Nun ist bereits klar, dass die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ sein kann, da sie ja nur definiert ist, wenn die Spaltenzahl der linken Matrix mit der Zeilenzahl der rechten übereinstimmt. Das bedeutet, dass für das nebenstehende Beispiel die Multiplikation beim Vertauschen der Reihenfolge noch nicht einmal definiert ist.

  Übrigens: Wenn man zwei Matrizen

  • $A$ mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten und
  • $B$ mit $n$ Zeilen und $m$ Spalten multipliziert,
  • erhält man eine Matrix mit $m$ Zeilen und $m$ Spalten.

  Umgekehrt erhält man eine $[n\times n]$-Matrix. Das bedeutet, dass die Matrixmultiplikation nur dann kommutativ sein kann, wenn die beiden Matrizen, die miteinander multipliziert werden, quadratisch sind.

• Berechne das jeweilige Matrixprodukt.

  Tipps

  Rechne jeweils eine Zeile der linken Matrix mal eine Spalte der rechten.

  Schaue dir dieses Beispiel an. Ebenso berechnest du die übrigen Elemente.

  Beachte, dass die Ergebnismatrix jeweils eine $[2\times 2]$-Matrix ist.

  Es gilt übrigens $A\cdot B\neq B\cdot A$.

  Lösung

  Es wird jeweils eine Zeile der linken Matrix mit einer Spalte der rechten multipliziert.

  • $2\cdot 3+1\cdot 4=10$ sowie $2\cdot 2+1\cdot (-1)=3$ und
  • $3\cdot 3+3\cdot 4=21$ sowie $3\cdot 2+3\cdot (-1)=3$.

  Ebenso wird das Produkt

  $\begin{pmatrix} 3&2 \\ 4&-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2&1 \\ 3&3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12&9 \\ 5&1 \end{pmatrix}$

  berechnet.

  Das bedeutet, dass beim Multiplizieren zweier quadratischer Matrizen das Vertauschen zwar definiert ist, die Ergebnisse jedoch nicht überein stimmen.

  Man kann damit folgern, dass im Allgemeinen die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist.

• Prüfe, bei welchen der Multiplikationen die Reihenfolge vertauscht werden kann.

  Tipps

  Berechne jeweils links und rechts das Matrixprodukt.

  Multipliziere hierfür jeweils eine Zeile der linken Matrix mit einer Spalte der rechten.

  Es ist nur eine Vertauschung korrekt.

  Hier siehst du allgemein die Multiplikation zweier Diagonalmatrizen.

  Multipliziere die beiden Matrizen

  $\begin{pmatrix} c&0 \\ 0&d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a&0 \\ 0&b \end{pmatrix}$

  und vergleiche.

  Lösung

  Wenn man zwei Diagonalmatrizen miteinander multipliziert, darf man die Reihenfolge vertauschen.

  Dabei müssen beide Matrizen auf den Hauptdiagonalen, von oben links nach unten rechts, Elemente haben, die $0$ oder ungleich $0$ sind. Alle übrigen Elemente müssen $0$ sein.

  Sobald in einer (oder beiden) der Matrizen die Anordnung vertauscht wird, gilt nicht mehr, dass die Multiplikation kommutativ ist.

  $\begin{array}{rcl}\begin{pmatrix} a&0 \\ 0&b \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} c&0 \\ 0&d \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} ac&0 \\ 0&bd \end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} c&0 \\ 0&d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a&0 \\ 0&b \end{pmatrix} \end{array}$

  Dies kann man sich an einem der oberen Beispiele anschauen:

  $\begin{pmatrix} 0&1 \\ 2&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0&3 \\ 4&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4&0 \\ 0&6 \end{pmatrix}$

  aber

  $\begin{pmatrix} 0&3 \\ 4&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&6 \\ 4&0 \end{pmatrix}$.

• Untersuche, ob die Multiplikation mit der entsprechenden Matrix kommutativ ist.

  Tipps

  Beachte: Wenn die Matrixmultiplikation kommutativ sein soll, dann müssen beide Matrizen quadratisch sein.

  So sieht eine allgemeine Diagonalmatrix aus. Die Diagonalelemente müssen nicht unbedingt ungleich $0$ sein.

  So sieht ein Vielfaches der Einheitsmatrix aus.

  Hier siehst du eine obere Dreiecksmatrix.

  Lösung

  Die $[m\times m]$-Einheitsmatrix $I$ ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation. Das bedeutet, dass für jede beliebige $[m\times m]$-Matrix $A$ gilt

  $I\cdot A=A$.

  • Dies gilt auch umgekehrt $A\cdot I=A$ und
  • auch für jedes Vielfache von $I$: $k\cdot I\cdot A=k\cdot A=A\cdot k\cdot I$.

  Natürlich muss die Matrix $A$ dafür quadratisch sein, sonst wären nicht beide Multiplikationen definiert.

  $\begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots &0\\ 0 &1& \ddots &\vdots\\ \vdots& \ddots&\ddots&0\\ 0&\dots&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2}& \ddots &\vdots\\ \vdots& \ddots&\ddots&a_{n-1,n}\\ a_{n,1}&\dots&a_{n,n-1}&a_{n,n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots &a_{1,n}\\ a_{2,1} &a_{2,2}& \ddots &\vdots\\ \vdots& \ddots&\ddots&a_{n-1,n}\\ a_{n,1}&\dots&a_{n,n-1}&a_{n,n} \end{pmatrix}$

• Beschreibe das Kommutativgesetz.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz gilt für die Multiplikation: $a\cdot b=b\cdot a$.

  Beim Multiplizieren ist die Reihenfolge der Multiplikation egal.

  Überlege dir: Gilt $4-3=3-4$?

  „Commutare“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet übersetzt „vertauschen“.

  Lösung

  Das Kommutativgesetz bezüglich einer Operation $\circ$ besagt, dass die Reihenfolge bei dieser Operation vertauscht werden darf:

  $a\circ b=b\circ a$.

  Dieses Gesetz ist aus dem Bereich der reellen Zahlen bekannt. Es gilt für die Addition sowie die Multiplikation:

  • $a+b=b+a$
  • $a\cdot b=b\cdot a$

  Dieses Gesetz gilt jedoch nicht für die Subtraktion oder Division, was man sich an einfachen Beispielen klarmachen kann:

  • $2-1=1\neq -1=1-2$
  • $2:1=2\ne 0,5=1:2$

• Weise nach, für welche Matrizen die Multiplikation kommutativ ist.

  Tipps

  Wenn du glaubst, dass Kommutativität nicht gilt, wähle ein Gegenbeispiel, zum Beispiel für $[2\times 2]$-Matrizen.

  Bei einer symmetrischen Matrix sind die Elemente $a_{i,j}$ sowie $a_{j,i}$ identisch.

  Hier siehst du ein Beispiel für eine symmetrische $[2\times 2]$-Matrix.

  Die beiden Matrizen $A$ und $B$ sind invertierbar. Das bedeutet, dass es zu jeder dieser Matrizen eine Matrix, am Beispiel $A$, $A^{-1}$ gibt, so dass

  $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I$

  gilt.

  Lösung

  Die Matrixmultiplikation ist kommutativ, wenn

  • entweder beide Matrizen Diagonalmatrizen sind
  • oder eine der beiden Matrizen eine Einheitsmatrix oder deren Vielfaches ist.

  In allen anderen Fällen liegt, im allgemeinen, keine Kommutativität vor. Für jeden dieser Fälle ist hier ein Gegenbeispiel zu sehen:

  symmetrische Matrizen

  $\begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&3 \\ 2&3 \end{pmatrix}$

  aber

  $\begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&2 \\ 3&3 \end{pmatrix}$.

  Obere Dreiecksmatrix

  $\begin{pmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&1 \\ 0&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&3 \\ 0&2 \end{pmatrix}$

  aber

  $\begin{pmatrix} 1&1 \\ 0&2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2 \\ 0&2 \end{pmatrix}$.

  Für untere Dreiecksmatrizen ist dies ebenso zu zeigen.

  Invertierbare Matrizen

  $\begin{pmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&1 \\ 2&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3&2 \\ 2&1 \end{pmatrix}$

  aber

  $\begin{pmatrix} 1&1 \\ 2&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&3 \end{pmatrix}$.