Komplexe Zahlen – Betrag, Multiplikation und Division

Komplexe Zahlen – Betrag, Multiplikation und Division Übung

• Vervollständige die Angaben zu komplexen Zahlen.

  Tipps

  Eine komplexe Zahl $z=a+bi$ besteht aus einem Realteil $a \in \mathbb R$, einem Imaginärteil $b \in \mathbb R$ und der imaginären Einheit $i$, mit $i^2=-1$.

  Wähle dir zwei komplexe Zahlen aus und berechne mit diesen Beispielen die Addition, Multiplikation und Division. Welche Formel erhältst du durch deine Umformungen?

  Die komplex konjugierte Zahl von $z=a+bi$ lautet $\bar z = a-bi$.

  Lösung

  Wir haben zuvor gelernt, dass eine komplexe Zahl $z=a+bi$ aus einem Realteil $a \in \mathbb R$, einem Imaginärteil $b \in \mathbb R$ und der imaginären Einheit $i$, mit $i^2=-1$, besteht.

  Will man nun zwei komplexe Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ addieren oder subtrahieren, so addiert man jeweils den Real- und den Imaginärteil miteinander:

  $z_1 \pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)\cdot i$.

  Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ wird das Distributivgesetz angewendet: $z_1 \cdot z_2=(a+bi)\cdot (c+di)= ac+bci + adi + bdi^2 = (ac -bd) +(ad+bc)\cdot i$.

  Möchte man zwei komplexe Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ dividieren, so erweitert man den Bruch mit der komplex konjugierten Zahl $\bar z_2=c-di$ des Nenners, um die dritte binomische Formel anwenden zu können:

  $\frac{z_1}{z_2} =\frac{(a+bi)\cdot (c-di)}{(c+di)\cdot (c-di)}= \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc+ad}{c^2+d^2}\cdot i$.

  Um den Abstand eines Punktes $z$ zum Nullpunkt zu berechnen, verwendet man den Betrag von $z$:

  $|z|= \sqrt{a^2+b^2}$.

• Berechne das Produkt $z_1 \cdot \overline{z_2}$ und den Quotienten $ \frac{z_1}{z_2}$ der komplexen Zahlen.

  Tipps

  Bei der Division von zwei komplexen Zahlen erweitert man den Bruch mit der komplex konjugierten Zahl des Nenners:

  Die komplex konjugierte Zahl von $z=a+bi$ ist $\overline z =a-bi$.

  Das Rechengesetz für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ lautet allgemein:

  Um $z_2 \cdot \overline z_2$ zu berechnen, kannst du einfach die dritte binomische Formel verwenden, sie lautet:

  Lösung

  Das Rechengesetz für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ lautet allgemein:

  $ z_1 \cdot z_2= (ac -bd)+(ad+bc)\cdot i$.

  Dieses Rechengesetz können wir bei der Multiplikation der komplexen Zahl $z_1=4+3i$ und der komplex konjugierten Zahl $\overline z_2 = 1-2i$ anwenden: $z_1 \cdot \overline{z_2} =(4+3i) \cdot (1-2i) = (4-(-6))+(-8+3)\cdot i=10-5i $

  Bei der Division zweier komplexer Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ multipliziert man den Zähler und den Nenner mit der komplex konjugierten Zahl des Nenners. Anschließend multipliziert man die Klammern aus bzw. verwendet die dritte binomische Formel:

  $\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2\cdot \overline{z_2} }= \frac{(a+bi) \cdot \overline{(c-di)}}{(c+di)\cdot (c-di) }= \frac{(ac -bd)+(bc+ad)\cdot i}{c^2+d^2} = \frac{ac-bd}{c^2+d^2}+\frac{bc+ad}{c^2+d^2} \cdot i$.

  Bezogen auf die Aufgabe erhalten wir folgendes Ergebnis:

  $\frac{4+3i}{1+2i}=\frac{(4+3i)\cdot (1-2i)}{(1+2i)\cdot (1-2i)}= \frac{10-5i}{5} =\frac{10}{5} - \frac{5}{5}i = 2-i $

• Ermittle jeweils das Produkt $z_1 \cdot z_2$ der komplexen Zahlen.

  Tipps

  Wende das Distributivgesetz an.

  Das Rechengesetz für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ lautet allgemein: $z_1 \cdot z_2=(ac -bd)+(ad+bc)\cdot i$.

  Lösung

  Man multipliziert zwei komplexe Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ miteinander, indem man das Distributivgesetz anwendet.

  Betrachten wir die erste Aufgabe:

  $z_1 \cdot z_2 =(2+3i) \cdot (4+i) = 2 \cdot 4 + 2\cdot i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot i = 8 - 3 +2i +12i = 5+ 14i$

  Alternativ kann man auch das allgemeine Rechengesetz für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ direkt verwenden:

  $z_1 \cdot z_2=(ac -bd)+(ad+bc)\cdot i$.

  Bezogen auf die erste Aufgabe entspricht $a=2$, $b=3$, $c=4$ und $d=1$. Diese Werte setzen wir nun in die Formel ein und erhalten:

  $z_1 \cdot z_2=(2\cdot 4 - 3 \cdot 1)+(2\cdot 1+3 \cdot 4)\cdot i =5+ 14i$.

• Bestimme die Fehler bei der Berechnung mit komplexen Zahlen.

  Tipps

  Berechne die Aufgaben selbstständig Schritt für Schritt und vergleiche anschließend mit den gegebenen Werten.

  Nicht in jeder Rechnung sind Fehler enthalten.

  Die allgemeine Formel zur Berechnung des Betrages einer komplexen Zahl $z=a+bi$ lautet:

  Prüfe alle Terme, auch wenn sie keine imaginäre Einheit $i$ enthalten.

  Lösung

  Wir berechnen schrittweise die Aufgaben und vergleichen anschließend die Rechenschritte miteinander, um so den Fehler zu finden:

  1. $|(5+2i)|=\sqrt{5^2 + 2^2}= \sqrt 29 \approx 5,4$
  2. $(2-3i)\cdot(4+i)=(2\cdot 4 - (-3)\cdot 1)+(2\cdot 1 + (-3)\cdot(4))i=11-10i$
  3. $\frac{2+4i}{5+3i}=\frac{(2 + 4i) \cdot (5-3i)}{(5+3i) \cdot (5-3i)}=\frac{2 \cdot 5 +4\cdot 3}{5^2 + 3^2} + \frac{4 \cdot 5 + 2 \cdot (-3)}{5^2 + 3^2}i=\frac{22}{34}+\frac{14}{34}i$
  4. $|12+9i|=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$

• Gib den Betrag von $z=4+3i$ an.

  Tipps

  Der Betrag einer komplexen Zahl $z$ wird berechnet durch: $|z|=\sqrt{z\cdot \overline z}$

  Die komplex konjugierte Zahl von $z=a+bi$ ist $\bar z= a-bi$.

  Anhand der Zeichnung kannst du erkennen, dass der gesuchte Betrag von z der Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck entspricht. Welche Formel können wir dann alternativ anwenden?

  Der Satz des Pythagoras lautet: $a^2+b^2=c^2$, wobei c die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ist.

  Lösung

  Wir können die Formel für den Betrag von komplexen Zahlen anwenden, welche lautet:

  $|z|=\sqrt{z\cdot \overline z}$.

  Die komplex konjugierte Zahl von $z=4+3i$ ist $\overline z=4-3i$

  Wir setzen dies in die Formel ein und berechnen den Betrag durch die Anwendung der dritten binomischen Formel:

  $|z|=\sqrt{(4+3i) \cdot (4-3i)}=\sqrt{16-(-9)}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}= 5$.

  Der Abstand von $z=4+3i$ zum Nullpunkt beträgt also 5 LE.

• Berechne und zeichne die Summe $z_1 + z_2$, die Differenz $z_1 - z_2$, das Produkt $z_1 \cdot z_2$ und den Quotienten von $z_1/z_2$.

  Tipps

  Berechne als erstes $z_1 + z_2$, $z_1 - z_2$, $z_1 \cdot z_2$ und $\frac{z_1}{z_2}$ mit den dir bekannten Rechengesetzen. Fertige anschließend eine Zeichnung deiner Ergebnisse in der Gauß'schen Ebene an und vergleiche diese mit den gegebenen.

  An der horizontalen Achse der Gauß'schen Ebene liest man den Realteil von $z$ ab.

  Lösung

  Gegeben sind zwei komplexe Zahlen $z_1= 1-i$ und $z_2= -2+i$.

  Mithilfe des Rechengesetzes $z_1 \pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)\cdot i$ berechnen wir die Summe und die Differenz:

  $z_1 + z_2 = (1+(-2))+(-1+1)i = -1$

  $z_1 - z_2 = (1-(-2))+(-1-1)i = 3-2i$

  Für die Multiplikation komplexer Zahlen verwenden wir die Formel $z_1 \cdot z_2=(ac -bd)+(ad+bc)\cdot i$, um das Produkt zu erhalten:

  $z_1 \cdot z_2 = (-2-(-1))+(1+2)i=-1+3i$

  Abschließend berechnen wir den Quotienten mithilfe der Formel $\frac{z_1}{z_2} =\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2} \cdot i$:

  $\frac{z_1}{z_2}=\frac{-2-1}{5}+\frac{2-1}{5}i = -\frac{3}{5}+\frac{1}{5} i = -0,6+0,2i$.

  Unsere Ergebnisse können wir in der Gauß'schen Ebene darstellen. An der vertikalen Achse lesen wir den Realteil ab, an der horizontalen Achse den Imaginärteil.

  Die Summe ergab $-1$, somit zeigt der Zeiger in der Gauß'schen Ebene auf (-1|0). Als Differenz haben wir $3-2i$ erhalten, daher zeigt der Zeiger auf (3|-2). Auf dieselbe Weise setzen wir das Einzeichnen fort.