Kreisbogen – Einführung

Kurz nach dem Sonnenaufgang im Hotel Ibiza geht Herr Müller seine Tagesplanung durch. Seine Teuerste wünscht am Pool in der ersten Reihe zu sitzen! Ein Sechstel des Pools dürfte für die beiden wohl genügen. Müller grübelt aber noch, wie viele Handtücher er wohl braucht, um alles zu reservieren. Dafür berechnet er die Länge eines Kreisbogens. Beginnen wir erstmal mit den Grundbegriffen rund um den Kreis. eder Kreis hat einen Mittelpunkt u eine Kreislinie. Der Abstand dazwischen heißt Radius r, und dies ist der Durchmesser d. Er ist genau zweimal so lang wie der Radius. Mit dem Radius kannst du außerdem den Umfang U eines Kreises berechnen. Er gibt die Länge der Kreislinie an, und du rechnest dafür '2 mal die Kreiszahl Pi mal den Radius'. Während der Umfang den ganzen Kreis umfasst ist der Kreisbogen b nur ein Anteil davon. Er gibt die Länge dieses Bogens hier an und erinnert tatsächlich ein bisschen an Pfeil und Bogen. Schauen wir uns mal den entsprechnenden Kreismittelpunktswinkel Alpha an. Der Winkel Alpha kann dabei von Null bis zu 360 Grad erreichen. Also liegt Alpha immer zwischen Null und 360 Grad. Die Kreisbogenlänge reicht ihrerseits von Null bis zur vollen Länge des Umfangs, liegt also zwischen Null und der Umfanglänge. Fällt dir etwas auf? - Die Größen von Kreisbogen und Mittelpunktswinkel gehören fest zusammen. Denn der Kreisbogen verhält sich zum Kreisumfang genau so wie der Mittelpunktswinkel zu den vollen 360 Grad. Jetzt haben wir schon eine erste Formel! Um die Bogenlänge b berechnen zu können, multiplizieren wir noch auf beiden Seiten mit dem Umfang, damit die Bogenlänge isoliert vorliegt. Erinnerst du dich noch an den Ausdruck für den Umfang? Den können wir jetzt in unsere Formel einsetzen. Jetzt hast du die fertige Formel für die Bogenlänge. Zum Verwenden der Formel benötigst du den Kreismittelpunktswinkel Alpha und den Radius des Kreises. Zurück zu den Müllers: Der Radius ihres Hotel-Pools wurde ihnen mit fünf Metern angepriesen. Und der Kreismittelpunktswinkel Alpha? Ein Sechstel des Pools führt zu einem Sechstel von 360 Grad und das sind gekürzt 60 Grad. Winkel und Radius haben wir! Nun nehmen wir die Formel für die Bogenlänge eines Kreises und setzen die Werte für den Winkel und den Radius ein. Als allererstes kürzen wir den Bruch erstmal mit Zehn; dabei fällt jeweils eine Null hinten weg. 6 durch 36 kürzen wir noch mit 6! Aber jetzt stört immer noch die Grad-Einheit. Daher kürzen wir auch die, denn Kürzen geht auch mit Einheiten! Diese Faktoren können wir in den Zähler des Bruchs ziehen, den Faktor Eins müssen wir dabei nicht hinschreiben - also lassen wir ihn weg. Nun kürzen wir noch die Zwei mit der Sechs und erhalten eine Meterlänge von 5 Pi Dritteln. Wie lang der Kreisbogen des Pools also gerundet ist, verrät der Taschenrechner: Das sind Fünf Komma Zwei Vier Meter. Da braucht Herr Müller zum Reservieren auf jeden Fall mehrere Handtücher! Übrigens hätten wir die Rechnung vorhin auch ordentlich "abkürzen" können! Lass uns zum Verständnis dafür zurückspulen. Bevor wir gekürzt und alles zu einem Bruch zusammengefasst haben, stand da "ein Sechstel mal dieser Ausdruck". Dieses "ein Sechstel" ist ursprünglich "Alpha durch 360 Grad" gewesen - wir haben da nur Alpha eingesetzt und gekürzt. Die fünf Meter sind dabei einfach der gegebene Radius. Dies hier ist genau der Ausdruck für den Umfang. Also haben wir eigentlich nur "ein Sechstel... vom Umfang" berechnet! Das ist genau das ursprüngliche "ein Sechstel" vom Poolrand! Wenn du also statt Alpha direkt schon einen Bruch gegeben bekommst ... kannst du so abkürzen! Fassen wir das Gelernte zum Abschluss zusammen! Abhängig vom Kreismittelpunktswinkel Alpha kannst du die Kreisbogenlänge mit dieser Formel berechnen. Für den kleinstmöglich Winkel von Alpha, nämllich Null Grad, ist die zugehörige Kreisbogenlänge enstprechend Null. Für den größtmöglichen Winkel im Kreis von 360 Grad hat der zugehörige Kreisbogen eine Länge von zwei Pi mal dem Radius, was der Länge des vollen Umfangs des Kreises entspricht. Wernn dir aber die Größe eines Anteils des Kreises direkt als Bruch gegeben wird, kannst du auch den Anteil mit zwei Pi mal den Radius multiplizieren, also schnell Anteil mal Umfang rechnen und du erhältst ebenfalls den Kreisbogen! Die Müllers genießen mittlerweile ihren Tag am Pool - in der ersten Reihe! Aber war ist denn jetzt los?! Das geht ja gar nicht! Da sind die Müllers wohl in ein ganz besonderes Festival geraten! Ob es sie tröstet, dass sie wenigstens genug Handtücher haben?