Lineare Substitution – Exponentialfunktionen

Lineare Substitution – Exponentialfunktionen Übung

• Gib die lineare Substitutionsregel der Integration an.

  Tipps

  Du kannst $F(ax+b)$ mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

  Multipliziere auf beiden Seiten mit $a$ und integriere dann.

  Beachte

  $\int~F'(x)~dx=F(x)$.

  Lösung

  Um Exponentialfunktionen mit linearer innerer Funktion zu integrieren, benötigt man die lineare Substitutionsregel der Integration.

  $\int~f(ax+b)~dx=\frac 1a \cdot F(ax+b)$.

  Dabei ist $F$ Stammfunktion von $f$, das heißt $F'(x)=f(x)$.

  Man muss also eine Stammfunktion von $f$ kennen. Diese wird an der inneren Funktion betrachtet und multipliziert mit dem Reziproken der Ableitung der inneren Funktion, also dem Faktor vor dem $x$: Dies ist hier $\frac1{a}$.

• Bestimme die Stammfunktion der gegebenen Funktion.

  Tipps

  Verwende die lineare Substitution der Integration.

  Bei komplizierteren Funktionen kann man innere und äußere Funktionen unterscheiden; diese sind dann verkettet.

  Die innere Funktion erkennst du daran, dass diese vor der äußeren die Variable $x$ beeinflusst. Bei dem hier abgebildeten Beispiel ist $x + 2$ die innere und $x^2$ die äußere Funktion.

  Geht es um die lineare Substitutionsregel, so muss die innere Funktion auch eine lineare Funktion sein.

  Die Ableitung einer linearen Funktion ist der Faktor vor dem $x$.

  Ein Witz: Ein paar Funktionen feiern ein Fest. Alle haben riesig Spaß; nur die e-Funktion sitzt in der Ecke und langweilt sich.

  Eine quadratische Funktion versucht sie ein wenig aufzuheitern und sagt: „Versuch' dich doch mal zu integrieren!“

  „Bringt ja auch nichts“, sagt die e-Funktion.

  Lösung

  Um die Stammfunktion dieser Funktion zu bestimmen, macht man sich zunächst klar, was die innere und was die äußere Funktion ist.

  • Die innere Funktion ist $2x-3$ und deren Ableitung ist $2$, der Faktor vor dem $x$.
  • Die äußere Funktion ist $e^x$ und deren Stammfunktion ist $e^x+c$.

  Nun kann die lineare Substitutionsregel der Integration angewendet werden:

  $\int~f(ax+b)~dx=\frac 1a \cdot F(ax+b)$.

  Dabei ist $F$ Stammfunktion von $f$, das heißt $F'(x)=f(x)$.

  Somit ist

  $G(x)=\frac12\cdot e^{2x-3}+c$

  die Stammfunktion von $g(x)$. $c$ ist die sogenannte Integrationskonstante.

• Ermittle eine allgemeine Formel zur Bestimmung der Stammfunktion einer Exponentialfunktion $f(x)=e^{ax+b}$ mit linearer innerer Funktion.

  Tipps

  Der Faktor vor dem $x$ taucht reziprok als Faktor in der Stammfunktion auf.

  Der reziproke Wert zu $x$ ist $\frac1x$. Allgemein ist das Produkt einer Zahl und seines Reziproken $1$: $x \cdot \frac1x=1$

  Leite die jeweilige Stammfunktion zur Kontrolle ab. Du musst dann wieder zu $f(x)$ kommen.

  Beachte, dass sowohl beim Differenzieren als auch beim Integrieren der Exponentialterm erhalten bleibt.

  Verwende die lineare Substitutionsregel der Integration:

  $\int~f(ax+b)~dx=\frac 1a \cdot F(ax+b)$.

  Lösung

  Um eine Exponentialfunktion

  $f(x)=e^{ax+b}$

  mit linearer innerer Funktion zu integrieren, ist es sinnvoll, eine Integrationsregel für diese Funktionsklasse anzugeben.

  Dabei kann die lineare Substitutionsregel verwendet werden:

  $\int~f(ax+b)~dx=\frac 1a \cdot F(ax+b)$.

  Hier ist $f(x)=e^x$ und $F(x)=e^x+c$.

  Damit erhält man die nebenstehende Formel für die Stammfunktion von Exponentialfunktionen mit linearer innerer Funktion.

• Leite zu den gegebenen Funktionen jeweils eine Stammfunktion her.

  Tipps

  Verwende die hier abgebildete Stammfunktion von

  $f(x)=e^{ax+b}$.

  Beachte, dass $a$ der Faktor vor dem $x$ ist.

  Leite jeweils die Stammfunktion ab. Du erhältst dann die Funktion, die integriert wurde.

  Lösung

  Ganz allgemein ist zu

  $f(x)=e^{ax+b}$

  eine Stammfunktion gegeben durch

  $F(x)=\frac 1a e^{ax+b}+c$.

  Man muss sich also jeweils überlegen, wie der Faktor vor dem $x$ lautet:

  1. $f(x)=e^{3-2x}$. Hier ist $a=-2$ und somit $F(x)=-\frac12\cdot e^{3-2x}+c$.
  2. $g(x)=e^{3x-2}$. Hier ist $a=3$ und somit $G(x)=\frac13\cdot e^{3x-2}+c$.
  3. $h(x)=e^{-x+1}$. Hier ist $a=-1$ und somit $H(x)=-e^{-x+1}+c$.
  4. $k(x)=e^{2x-3}$. Hier ist $a=2$ und somit $K(x)=\frac12\cdot e^{2x-3}+c$.

• Berechne den Flächeninhalt.

  Tipps

  Achte auf die Reihenfolge bei der Differenz.

  Es ist $e^1=e\approx 2,71828$ die Euler'sche Zahl.

  Lösung

  Da die Stammfunktion von $g(x)=e^{2x-3}$ mit

  $G(x)=\frac12\cdot e^{2x-3}$

  bereits bekannt ist, kann diese (ohne die Integrationskonstante, diese fällt bei der bestimmten Integration raus) verwendet werden für den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

  $\int\limits_a^b~g(x)~dx=G(b)-G(a)$.

  Damit erhält man

  $\begin{array}{rcl} \int\limits_1^2~e^{2x-3}~dx&=&\left[\frac12\cdot e^{2x-3}\right]_1^2\\ &=&\frac12\cdot e^{4-3}-\frac12\cdot e^{2-3}\\ &=&\frac12(e-e^{-1})\\ &\approx&1,1752~[\text{FE}] \end{array}$

• Bestimme den Flächeninhalt.

  Tipps

  Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\quad~~~\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

  Beachte die Reihenfolge bei der Differenz.

  Lösung

  Zunächst benötigen wir eine Stammfunktion von $f(x)$. Diese ist gegeben durch

  $\begin{array}{rcl} F(x)&=&2\cdot\frac14\cdot e^{4x+1}+c\\ &=&\frac12\cdot e^{4x+1}+c \end{array}$

  Nun wird diese im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

  verwendet:

  $\begin{array}{rcl} \int\limits_0^1~2\cdot e^{4x+1}~dx&=&\left[\frac12\cdot e^{4x+1}\right]_0^1\\ &=&\frac12\cdot e^{5}-\frac12\cdot e^{1}\\ &\approx&72,85~[\text{FE}] \end{array}$