Logarithmus – Negative Zahlen und Brüche als Exponenten

Logarithmus – Negative Zahlen und Brüche als Exponenten Übung

• Gib den Wert des Logarithmus mithilfe des Potenzgesetzes für Brüche an.

  Tipps

  Allgemein gilt:

  $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$

  Beispiel:

  $4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}$

  Lösung

  Mit dem Logarithmus kannst du eine Potenzgleichung nach dem Exponenten auflösen. Dabei gilt:

  $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$

  Wir können den Logarithmus ebenfalls auf Brüche anwenden. Wir betrachten dazu ein Beispiel:

  Gesucht ist die Zahl $x$:

  $x= \log_{2}{\dfrac{1}{8}}$

  Wir können dies auch schreiben als:

  $2^x = \color{#00CC99}{\dfrac{1}{8}}$

  Um diese Gleichung zu lösen, hilft uns das Potenzgesetz für Brüche. Es lautet:

  $\dfrac{1}{a^n}= \color{#00CC99}{a^{-n}}$

  Wir können damit also ebenso schreiben:

  $2^x = \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3} = \color{#00CC99}{2^{-3}}$

  Kurz gefasst:

  $2^x = 2^{-3}$

  Wir erkennen demnach:

  $x= \color{#00CC99}{-3}$

  Damit ergibt sich:

  $\log_{2}{\dfrac{1}{8}} = \color{#00CC99}{-3}$

• Forme die Logarithmusgleichung um.

  Tipps

  $x= \log_{a}{b}$

  Wir sprechen dabei von:

  • $a$: Basis
  • $b$: Potenzwert
  • $x$: Exponent

  Es ist nur eine Umformung richtig.

  Lösung

  Mithilfe des Logarithmus können wir Potenzgleichungen umformen. Dabei gilt allgemein:

  $x= \log_{a}{b} \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b $

  Wir sprechen dabei von:

  • $a$: Basis
  • $b$: Potenzwert
  • $x$: Exponent

  Da in den gegebenen Gleichungen außerdem Wurzeln vorkommen, erinnern wir uns auch an das Potenzgesetz für Wurzeln:

  $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

  Wir betrachten somit die gegebenen Gleichungen und ordnen zu:

  Erste Gleichung:

  $\log_{2}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad 2^{\sqrt{2}}= \dfrac{1}{2}$

  $\mapsto$ Falsch: Exponent und Potenzwert nicht richtig zugeordnet.

  Zweite Gleichung:

  $\log_{2}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad 2^{\frac{1}{2}}= \sqrt{2}$

  $\mapsto$ Richtig: Basis = $2$; Potenzwert = $\sqrt{2}$; Exponent = $\dfrac{1}{2}$.

  Dritte Gleichung:

  $\log_{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad 2^{\frac{1}{2}}= \sqrt{2}$

  $\mapsto$ Falsch: Exponent und Potenzwert nicht richtig zugeordnet.

  Vierte Gleichung:

  $\log_{2}{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{2} \quad \Leftrightarrow \quad 2^{\frac{1}{2}}= \sqrt{2}$

  $\mapsto$ Falsch: Exponent und Potenzwert nicht richtig zugeordnet.

• Bestimme den Wert des Logarithmus.

  Tipps

  Potenzgesetz für Wurzeln:

  $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

  Schreibe den Logarithmus als Potenzgleichung um. Wende dann das Potenzgesetz für Wurzeln oder für Brüche an.

  Lösung

  Mithilfe des Logarithmus können wir eine Potenzgleichung umschreiben:

  $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$

  Wir sprechen dabei von:

  • $a$: Basis
  • $b$: Potenzwert
  • $x$: Exponent

  Um den Logarithmus auf Brüche anzuwenden, hilft uns das Potenzgesetz für Brüche:

  $\dfrac{1}{a^n}= a^{-n}$

  Um ihn auf Wurzeln anzuwenden, verwenden wir das Potenzgesetz für Wurzeln:

  $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

  Wir können somit die Logarithmen wie folgt berechnen:

  Erster Logarithmus: $\log_{3}{\dfrac{1}{9}}$

  Wir versuchen $\dfrac{1}{9}$ als Potenz mit Basis $3$ zu schreiben:

  $\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3^2}= 3^{-2}$

  $\Rightarrow \quad \log_{3}{\dfrac{1}{9}} = \color{#00CC99}{-2}$

  Zweiter Logarithmus: $\log_{10}{0{,}1}$

  Wir schreiben $0{,}1$ als Potenz mit Basis $10$:

  $ 0{,}1 = \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{10^1} = 10^{-1}$

  $\Rightarrow \quad \log_{10}{0{,}1} = \color{#00CC99}{-1}$

  Dritter Logarithmus: $\log_{4}{2}$

  Wir schreiben $2$ als Potenz mit Basis $4$:

  $2 = \sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}} $

  $\Rightarrow \quad \log_{4}{2} = \dfrac{1}{2} = \color{#00CC99}{0{,}5}$

  Vierter Logarithmus: $\log_{0{,}125}{0{,}5}$

  Wir schreiben $0{,}5$ als Potenz mit Basis $0{,}125$:

  $0{,}5 = \sqrt[3]{0{,}125} = 0{,}125^{\frac{1}{3}}$

  $\Rightarrow \quad \log_{0{,}125}{0{,}5} = \color{#00CC99}{\dfrac{1}{3}}$

• Berechne den Logarithmus.

  Tipps

  Potenzgesetz für Brüche:

  $\dfrac{1}{a^n}= a^{-n}$

  Potenzgesetz für Wurzeln:

  $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

  Beispiel:

  $\log_{10}{0{,}1}$

  Wir schreiben $0{,}1$ als Potenz mit Basis $10$:

  $ 0{,}1 = \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{10^1} = 10^{-1}$

  $\Rightarrow \quad \log_{10}{0{,}1} = -1$

  Lösung

  Um die Logarithmen bestimmen zu können, benötigen wir die diese Zusammenhänge:

  • Definition des Logarithmus: $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$
  • Potenzgesetz für Brüche: $\dfrac{1}{a^n}= a^{-n}$
  • Potenzgesetz für Wurzeln: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

  Wir können somit die Logarithmen wie folgt berechnen:

  Erste Aufgabe: $~\log_{4}{0{,}5} $

  Wir schreiben $0{,}5$ als Potenz mit Basis $4$:

  $ 0{,}5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4^{0{,}5}} = 4^{-0{,}5}$

  $\Rightarrow \quad \log_{4}{0{,}5} = \color{#00CC99}{-0{,}5}$

  Zweite Aufgabe: $~\log_{5}{0{,}04}$

  Wir schreiben $0{,}04$ als Potenz mit Basis $5$:

  $0{,}04 = \dfrac{1}{25} =\dfrac{1}{5^{2}} =5^{-2}$

  $\Rightarrow \quad \log_{5}{0{,}04} = \color{#00CC99}{-2}$

  Dritte Aufgabe: $~\log_{16}{0{,}5}$

  Wir schreiben $0{,}5$ als Potenz mit Basis $16$:

  $0{,}5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{16}} = \dfrac{1}{16^{0{,}25}} = 16^{-0{,}25}$

  $\Rightarrow \quad \log_{16}{0{,}5} = \color{#00CC99}{-0{,}25}$

• Formuliere jeweils die passende Potenzgleichung.

  Tipps

  Beispiel:

  $\log_{5}{125}=3 \quad \Leftrightarrow \quad 5^3=125$

  Lösung

  Der Logarithmus ist eine andere Schreibweise für eine Potenzgleichung. Dabei gilt:

  $ \log_{a}{b}=x \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b$

  Wir sprechen dabei von:

  • $a$: Basis
  • $b$: Potenzwert
  • $x$: Exponent

  Wir können somit folgende Zusammenhänge bilden:

  • $ \log_{2}{16}=4 \quad \Leftrightarrow \quad 2^4=16$
  • $ \log_{5}{5}=1 \quad \Leftrightarrow \quad 5^1=5$
  • $ \log_{3}{9}=2 \quad \Leftrightarrow \quad 3^2=9$
  • $ \log_{10}{1 000}=3 \quad \Leftrightarrow \quad 10^3=1 000$

• Ordne die Logarithmen der Größe nach.

  Tipps

  Bestimme zunächst den Wert aller Logarithmen.

  $\log_{a}{1} = 0 ~\Leftrightarrow~ a^0 = 1$

  Beispiel:

  $\log_{4}{0{,}5}$

  Wir schreiben $0{,}5$ als Potenz mit Basis $4$:

  $ 0{,}5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4^{0{,}5}} = 4^{-0{,}5}$

  $\Rightarrow \quad \log_{4}{0{,}5} = -0{,}5$

  Lösung

  Um die Logarithmen ordnen zu können, bestimmen wir zunächst ihren jeweiligen Wert. Dazu benötigen wir die diese Zusammenhänge:

  • Definition des Logarithmus: $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$
  • Potenzgesetz für Brüche: $\dfrac{1}{a^n}= a^{-n}$
  • Potenzgesetz für Wurzeln: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

  $\,$

  Damit ergeben sich die folgenden Werte:

  Erster Logarithmus: $\log_{64}{0{,}25}$

  Wir schreiben $0{,}25$ als Potenz mit Basis $64$:

  $ 0{,}25 = 0{,}5^2 =\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{8}}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{\sqrt[6]{64}}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{64^\frac{1}{6}}\right)^2 =64^{-\frac{2}{6}} = 64^{-\frac{1}{3}}$

  $\Rightarrow \quad \log_{64}{0{,}25} = -\dfrac{1}{3} $

  Zweiter Logarithmus: $\log_{0{,}1}{1}$

  Wir schreiben $1$ als Potenz mit Basis $0{,}1$:

  $0{,}1^0 =1 \quad$ (Jede Zahl hoch $0$ ergibt $1$)

  $\Rightarrow \quad \log_{0{,}1}{1} = 0$

  Dritter Logarithmus: $\log_{0{,}2}{125}$

  Wir schreiben $125$ als Potenz mit Basis $0{,}2$:

  $ 125 = 5^3 = \dfrac{1}{\left(\frac{1}{5}\right)^3} = \dfrac{1}{0{,}2^3} =0{,}2^{-3}$

  $\Rightarrow \quad \log_{0{,}2}{125} = -3$

  Vierter Logarithmus: $\log_{9}{\frac{1}{3}}$

  Wir schreiben $\frac{1}{3}$ als Potenz mit Basis $9$:

  $\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{9}} =9^{-0{,}5} $

  $\Rightarrow \quad \log_{9}{\frac{1}{3}} = -0{,}5$

  Fünfter Logarithmus: $\log_{0{,}01}{0{,}001}$

  Wir schreiben $0{,}001$ als Potenz mit Basis $0{,}01$:

  $ 0{,}001 = 0{,}1^3= (\sqrt{0{,}01})^3 = (0{,}01^{\frac{1}{2}})^3 =0{,}01^\frac{3}{2}$

  $\Rightarrow \quad \log_{0{,}01}{0{,}001} = \dfrac{3}{2}$

  Sechster Logarithmus: $\log_{10}{10\,000}$

  Wir schreiben $10\,000$ als Potenz mit Basis $10$:

  $10\,000 = 10^4$

  $\Rightarrow \quad \log_{10}{10\,000} = 4$

  $\,$

  Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

  $-3 \quad < \quad -0{,}5 \quad < \quad -\dfrac{1}{3} \quad < \quad 0 \quad < \quad \dfrac{3}{2} \quad < \quad 4$

  Beziehungsweise:

  $\log_{0{,}2}{125} \quad < \quad \log_{9}{\frac{1}{3}} \quad < \quad \log_{64}{0{,}25} \quad < \quad \log_{0{,}1}{1} \quad < \quad \log_{0{,}01}{0{,}001} \quad < \quad \log_{10}{10\,000}$