Potenzen – Produkte gleicher Faktoren

Potenzen – Produkte gleicher Faktoren Übung

• Gib an, wie du die hinzukommenden Views nach vier Minuten mathematisch ausdrücken kannst.

  Tipps

  Die Anzahl der Views verändert sich in jeder Minute um denselben Faktor.

  Man kann die Anzahl der hinzukommenden Views auch als Potenz schreiben.

  Lösung

  Nach der ersten Minute haben ihre drei Freunde das Video gesehen. Das wären dann also drei Views.

  Nachdem diese drei es mit jeweils drei Freunden geteilt haben, wären das neun weitere Views, denn $3\cdot3 = 3^2 =9$.

  Und wenn diese Personen es dann jeweils mit drei weiteren Personen teilen, wären das 27 weitere Views, denn $3\cdot3\cdot3 = 3^3 = 27$

  In Minute vier teilen diese 27 Personen es jeweils mit drei ihrer Freunde, wodurch 81 weitere Views hinzukommen, denn $3\cdot3\cdot3\cdot3 = 3^4 = 81$.

  In der vierten Minute kommen also $3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$ Views hinzu.

  Hier sind die richtigen Lösungen also $3^4$ sowie $3\cdot3\cdot3\cdot3$.

• Ergänze den Text mit den passenden Begriffen.

  Tipps

  Teilt Lilly das Video zum Beispiel mit $2$ Freunden und diese teilen es dann wieder mit $2$ Freunden, kommen in der zweiten Minute $2\cdot2 = 4$ Views hinzu.

  $3\cdot3\cdot3\cdot3$ kann man zum Beispiel als $3^4$ schreiben.

  Lösung

  Wenn wir $5$ insgesamt $10$-mal mit sich selbst multiplizieren, ist das das Gleiche wie $5$ hoch $10$.

  Ein Bestandteil der Potenz ist die Basis, also die Zahl, die immer wieder mit sich selbst multipliziert wird. Dies ist in unserem Beispiel also $5$.

  Der zweite Bestandteil der Potenz heißt Hochzahl, auch Exponent genannt. Dies ist gerade die Zahl, die angibt, wie oft wir die Basis mit sich selbst multiplizieren. In unserem Beispiel ist dies die Zahl $10$.

  Aber wie viele Views kommen denn jetzt in Minute $10$ hinzu?

  Rechnen wir einmal zusammen:

  $5^{10}$ $= 5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5 = 9.765.625$

  Wow! Ganz schön viele!

• Vergleiche die Potenzen miteinander.

  Tipps

  Du kannst Potenzen vergleichen, wenn sie die gleiche Basis haben. Dann ist der Ausdruck mit dem höheren Exponenten größer.

  Ist der Exponent bei zwei Potenzen gleich, so ist der Wert mit der höheren Basis größer.

  Sind weder Basis noch Exponent gleich, kannst du die Potenzen auch ausrechnen, um sie miteinander vergleichen zu können.

  Lösung

  Du kannst zunächst die Potenzen miteinander vergleichen, die eine gleiche Basis haben:

  In diesem Fall sind das $7^4$ und $7^5$. $7^4$ ist kleiner, da man die $7$ einmal weniger als Faktor hat.

  Nun kannst du die Potenzen vergleichen, die den gleichen Exponenten haben:

  Hier sind dies die Potenzen mit dem Exponenten $4$, also $7^4$, $3^4$ und $4^4$.

  Die Potenz mit der kleinsten Basis hat hier den kleinsten Wert und die Potenz mit der größten Basis hat den größten Wert.

  Also ist $3^4$ kleiner als $4^4$, und dies ist wiederum kleiner als $7^4$.

  Die übrig gebliebenen Potenzen haben weder die gleiche Basis mit den anderen Potenzen, noch einen gleichen Exponenten. Um diese einzuordnen, müssen wir sie also ausrechnen.

  $5^2 = 5\cdot5 = 25$.

  Ist dies kleiner als der Wert, den wir bisher als kleinsten Wert ermittelt haben, also $3^4$?

  Rechnen wir einmal den Wert für $3^4$ aus:

  $3^4 = 3\cdot3\cdot3\cdot = 9\cdot3\cdot3 = 27\cdot3 = 81$

  $5^2 = 25$ ist also kleiner als dieser Wert.

  Nun berechnen wir noch die letzte Potenz:

  $2^3 = 2\cdot2\cdot2 = 4\cdot2 = 8$

  Dies ist also insgesamt der kleinste Wert.

• Bestimme den Wert der folgenden Potenzen.

  Tipps

  Eine Potenz wird dazu verwendet, eine wiederholte Multiplikation desselben Faktors zusammenzufassen.

  Der Exponent zeigt dir, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss.

  Zum Beispiel ist

  $2^3 = 2\cdot2\cdot2 = 8$

  Lösung

  Eine Potenz wird dazu verwendet, eine wiederholende Multiplikation desselben Faktors zusammenzufassen. Dabei gibt der Exponent an, wie oft wir die Basis mit sich selbst multiplizieren.

  Schreiben wir also die Potenzen, die wir gegeben haben, in eine Multiplikation um und rechnen diese dann aus, erhalten wir folgende Ergebnisse:

  $4^4 = 4\cdot4\cdot4\cdot4 = 16\cdot4\cdot4 = 64\cdot4 = 256$ $\\$

  $5^3 = 5\cdot5\cdot5 = 25\cdot5 = 125$ $\\$

  $7^3 = 7\cdot7\cdot7 = 49\cdot7 = 343$ $\\$

  $2^5 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 4\cdot2\cdot2\cdot2 = 8\cdot2\cdot2 = 16\cdot2 = 32$

• Bestimme, welche Multiplikation zu welcher Potenz gehört.

  Tipps

  Folgendes Beispiel kann dir hier helfen:

  $2\cdot2\cdot2\cdot2 = 2^4$

  Die Anzahl der Faktoren hilft dir dabei, die passende Potenz zu finden.

  Lösung

  Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, heißt Basis. So kannst du also erkennen, welche Zahl die zugehörige Basis ist.

  Der Exponent gibt an, wie oft wir die Zahl mit sich selbst multiplizieren. Wir können also die Anzahl der Faktoren zählen und wissen somit, welcher Exponent gewählt werden soll.

  Daher ergeben sich folgende Paare:

  $\mathbf{1)}$ $5^4 = 5\cdot5\cdot5\cdot5$

  $\mathbf{2)}$ $10^3 = 10\cdot10\cdot10$

  $\mathbf{3)}$ $3^7 = 3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3$

  $\mathbf{4)}$ $7^6 = 7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7$

  $6\cdot7$ und $3\cdot10$ können natürlich keiner Potenz zugeordnet werden, da hier die Faktoren unterschiedlich sind.

• Ordne die Ergebnisse den passenden Basen zu.

  Tipps

  Berechne am besten ein paar Werte mit den jeweiligen Basen und möglichen Exponenten.

  Die Quadratzahlen kennst du bestimmt schon und kannst sie dadurch sehr einfach zuordnen.

  Auch die Teilbarkeitsregeln können dir bei der Zuordnung helfen.

  Lösung

  Zur Lösung dieser Aufgabe können wir sehr gut die Teilbarkeitsregeln verwenden.

  So können wir zum Beispiel direkt erkennen, dass die Zahlen $9$, $27$, $81$ und $243$ weder durch $2$ noch durch $5$ teilbar sind. Sie können also nur der Basis $3$ zugeordnet werden.

  Aber stimmt dies nun wirklich? Gehen wir die Dreierpotenzen einmal durch:

  $3^1 = 3$

  $3^2 = 3\cdot3 = 9$

  $3^3 = 3\cdot3\cdot3 = 27$

  $3^4 = 3\cdot3\cdot3\cdot3 = 81$

  $3^5 = 3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot 3 = 243$

  Wir sehen also, dass diese Zahlen tatsächlich nur die $3$ als ihre Basis haben können.

  Schauen wir uns nun die Zahlen $25$, $125$ und $625$ an, erkennen wir, dass diese Zahlen alle $5$ als gemeinsamen Teiler haben.

  Bedeutet das also, dass sie der Basis $5$ zugeordnet werden können? Schauen wir uns dazu die Fünferpotenzen an:

  $5^1 = 5$

  $5^2 = 5\cdot5 = 25$

  $5^3 = 5\cdot5\cdot5 = 125$

  $5^4 = 5\cdot5\cdot5\cdot5 = 625$

  Wir sehen also, dass diese Zahlen tatsächlich nur $5$ als ihre Basis haben können.

  Nun können wir also daraus schließen, dass die restlichen Zahlen alle der Basis $2$ zugeordnet werden müssen; sie sind ja auch alle gerade Zahlen und somit durch $2$ teilbar. Aber gehören sie denn wirklich alle zu den Zweierpotenzen?

  Überprüfen wir dies besser noch einmal.

  $2^1 = 2$

  $2^2 = 2\cdot2 = 4$

  $2^3 = 2\cdot2\cdot2 = 8$

  $5^4 = 2\cdot2\cdot2\cdot2 = 16$

  $2^5 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 32$

  $2^6 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 64$

  Wir sehen also, dass diese Zahlen tatsächlich $2$ als ihre Basis haben können.