Rekonstruktion von Beständen – Beispiel zurückgelegter Weg

Rekonstruktion von Beständen – Beispiel zurückgelegter Weg Übung

• Berechne den zurückgelegten Weg nach zwei Stunden.

  Tipps

  Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

  wobei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist.

  Zur Bestimmung der Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion verwendest du die Potenzregel der Integration

  $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$ für $n\neq -1$.

  Beim bestimmten Integrieren kannst du die Integrationskonstante weglassen.

  Eine Stammfunktion von $f(x)$ ist

  $F(x)=-\frac1{40}x^5+\frac38x^3$.

  Lösung

  Diese Änderungsrate ist gegeben. Um zu dem zugehörigen Bestand, hier der zurückgelegte Weg, zu gelangen, muss man integrieren.

  Dieser Weg nach zwei Stunden lässt sich mit Hilfe des bestimmten Integrals berechnen. Das bedeutet, die biquadratische Funktion, die die Änderungsrate beschreibt, muss integriert werden.

  Eine Stammfunktion dieser Funktion ist

  $F(x)=-\frac1{40}x^5+\frac38x^3$.

  Zur Berechnung des bestimmten Integrals wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

  verwendet.

  Nach zwei Stunden ist der Ballon bereits so weit geflogen:

  $\begin{array}{rcl} W(2)&=&\int\limits_0^2~\left(-\frac1{8}x^4+\frac98x^2\right)~dx\\ &=&\left[-\frac1{50}x^5+\frac38x^3\right]_0^2\\ &=&-\frac1{50}2^5+\frac382^3\\ &=&2,2 \end{array}$

  Nach zwei Stunden ist der Ballon $2,2~km$ weit geflogen.

• Bestimme die Bestandsfunktion zu der gegebenen Änderungsrate.

  Tipps

  Hier siehst du die Berechnung für den zurückgelegten Weg nach zwei Stunden.

  Ersetze in der Berechnung die obere Grenze durch $t$.

  Verwende für das bestimmte Integral den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

  Lösung

  Für einen Ballonflug ist durch $f(x)$ die Änderungsrate gegeben.

  Es soll die zugehörige Bestandsfunktion $W(t)$ bestimmt werden. Hierfür muss die Funktion der Änderungsrate integriert werden.

  Das bedeutet: Für ein $t$ kann die Funktion $W(t)$ für den zurückgelegten Weg nach $t$ Stunden mit Hilfe des bestimmten Integrals berechnet werden.

  Eine Stammfunktion von $f(x)$ ist gegeben durch

  $F(x)=-\frac1{40}x^5+\frac38x^3$.

  Zur Berechnung des bestimmten Integrals wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

  verwendet.

  Nach $t$ Stunden beträgt die Füllhöhe

  $\begin{array}{rcl} W(t)&=&\int\limits_0^t~\left(-\frac1{8}x^4+\frac98x^2\right)~dx\\ &=&\left[-\frac1{50}x^5+\frac38x^3\right]_0^t\\ &=&-\frac1{50}t^5+\frac38t^3 \end{array}$

• Berechne, wo der Ballon nach vier Stunden befindet und wann er wieder an seinem Ausgangspunkt ist.

  Tipps

  Es sind durchaus negative Werte für den zurückgelegten Wert möglich. Diese besagen, dass der Heißluftballon auch rückwärts fliegen kann.

  Natürlich befindet sich der Heißluftballon am Anfang ($t=0$) auch an seinem Ausgangspunkt.

  Der nach zwei Stunden zurückgelegte Weg ist gegeben durch

  $W(2)=-\frac1{40}2^5+\frac382^3=2,2$ [$km$].

  Lösung

  Diese Funktion gibt den zurückgelegten Weg des Heißluftballons an: Ein positiver (negativer) Wert zeigt an, dass der Ballon vorwärts (rückwärts) geflogen ist.

  Nun kann

  • entweder nach dem nach einer gegebenen Zeit zurückgelegten Weg
  • oder nach der Zeit, zu der ein Weg zurückgelegt wurde,

  gefragt werden.

  Wo befindet sich der Ballon nach vier Stunden?

  Es muss $W(4)$ berechnet werden:

  $W(4)=-\frac1{40}4^5+\frac384^3=-1,6$

  Über die gesamten vier Stunden ist der Ballon $1,6~km$ rückwärts geflogen.

  Wann ist der Ballon wieder an seinem Ausgangspunkt?

  Dieses Mal muss die Gleichung $W(t)=0$ gelöst werden.

  $\begin{array}{rcl} -\frac1{50}t^5+\frac38t^3&=&0\\ -\frac1{50}t^3(t^2-15)&=&0\\ t_1&=&0\\ t_2&=&\sqrt{15}\approx 3,873\\ t_3&=&-\sqrt{15}\approx -3,873\\ \end{array}$

  Die Lösung $t_1=0$ besagt, dass der Heißluftballon in seinem Ausgangspunkt ($t=0$) startet. Die negative Lösung $t_3$ würde heißen, dass der Heißluftballon sich in der Vergangenheit bewegt.

  Damit ist der Heißluftballon nach $3,873$ Stunden wieder an seinem Ausgangspunkt angelangt. Dies sind $3~h~52~min$.

• Leite die Bestandsfunktion zu der gegebenen Änderungsrate her.

  Tipps

  Beachte, dass die Zahl der Gäste zu Beginn gleich $0$ ist.

  Wenn du eine Bestandsfunktion kennst und wissen möchtest, wie der Bestand sich ändert, musst du differenzieren.

  Die Ableitung gibt die Änderung des Bestandes in Abhängigkeit der Variablen an.

  Umgekehrt, wenn du die Änderungsrate kennst, kommst du zu der Bestandsfunktion durch Integrieren.

  Lösung

  Diese Änderungsrate der Anzahl der Gäste pro halbe Stunde ist bekannt. Die zugehörige Bestandsfunktion $G(t)$ soll bestimmt werden.

  Die Funktion der Änderungsrate muss also integriert werden.

  Eine Stammfunktion von $f(x)$ ist gegeben durch

  $F(x)=-0,05x^3+0,5x+10x$.

  Zur Berechnung des bestimmten Integrals wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

  verwendet.

  Nach $t$ Stunden beträgt die Anzahl der Gäste

  $\begin{array}{rcl} G(t)&=&\int\limits_0^t~\left(-0,15x^2+x+10\right)~dx\\ &=&\left[-0,05x^3+0,5x^2+10x\right]_0^t\\ &=&-0,05t^3+0,5t^2+10t \end{array}$

• Gib den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an.

  Tipps

  Beachte die Reihenfolge der Differenz.

  $F(x)$ ist eine Stammfunktion von $f(x)$.

  Die Differentiation und die Integration kehren sich um.

  Lösung

  Bei der Rekonstruktion von Beständen muss ein bestimmtes Integral berechnet werden. Dafür verwendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

  Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

  Es wird also die Differenz der Stammfunktion an der oberen und an der unteren Grenze gebildet - in dieser Reihenfolge.

• Berechne, wie viele Gäste sich zu den gegebenen Zeiten in dem Café befinden und wann sich die meisten Gäste in dem Café befinden.

  Tipps

  Die Bestandsfunktion ist gegeben durch $G(t)=-0,05t^3+0,5t^2+10t$.

  Für die maximale Zahl der Gäste muss $G(t)$ differenziert werden:

  $G'(t)=f(t)$.

  Es muss $f(t)=0$ sowie $f'(t)<0$ gelten.

  Du erhältst ein negatives $t$ und ein positives.

  Lösung

  Die Bestandsfunktion zu dieser Änderungsrate wird durch Integration von $f(x)$ bestimmt.

  Eine Stammfunktion von $f(x)$ ist gegeben durch

  $F(x)=-0,05x^3+0,5x+10x$.

  Damit ist

  $\begin{array}{rcl} G(t)&=&\int\limits_0^t~\left(-0,15x^2+x+10\right)~dx\\ &=&\left[-0,05x^3+0,5x^2+10x\right]_0^t\\ &=&-0,05t^3+0,5t^2+10t \end{array}$

  Mit Hilfe dieser Funktion kann die Zahl der Gäste nach einer gegebenen Zahl von Stunden berechnet werden:

  • $G(4)=-0,05\cdot 4^3+0,5\cdot 4^2+10\cdot 4=44,8$. Es befinden sich also 45 Gäste in dem Café.
  • $G(9)=-0,05\cdot 9^3+0,5\cdot 9^2+10\cdot 9=94,05$. Es befinden sich also 94 Gäste in dem Café.

  Wann befinden sich die meisten Gäste in dem Café?

  Hierfür wird die Funktion $G(t)$ auf Extrema untersucht:

  • $G'(t)=f(t)=0$ sowie
  • $G''(t)=f'(t)\neq 0$.

  $f(t)=0$ wird mit der p-q-Formel gelöst:

  $\begin{array}{rclll} -0,15x^2+x+10&=&0&|&:(-0,15)\\ x^2-\frac{20}3-\frac{200}3&=&0\\ x_{1,2}&=&-\frac{-\frac{20}3}2\pm\sqrt{\left(\frac{-\frac{20}3}2\right)^2+\frac{200}3}\\ &=&\frac{10}3\pm\sqrt{\frac{100}9+\frac{600}9}\\ x_1&=&\frac{10+\sqrt{700}}3\approx 12,15\\ x_2&=&\frac{10-\sqrt{700}}3\approx -5,5 \end{array}$

  Für die Aufgabenstellung ist nur die positive Lösung sinnvoll. Diese entspricht $12~h~9~min$.

  Es ist $f'(t)=-0,3t+1$, also $f'(12,15)=-2,645<0$. Es liegt somit ein (lokales) Maximum vor.

  Die entsprechende Zahl der Gäste erhält man durch Einsetzen in $G(t)$.

  $G(12,15)=-0,05\cdot 12,15^3+0,5\cdot 12,15^2+10\cdot 12,15\approx 105,63$.

  Es befinden sich also 106 Gäste in dem Café.