Satz des Pythagoras – Beweis

Satz des Pythagoras – Beweis Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu einem Beweis zum Satz des Pythagoras.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke und lautet:

  $a^2+b^2=c^2$

  Dabei sind $a$ und $b$ Katheten und $c$ ist die Hypotenuse.

  Figuren sind kongruent, wenn du sie durch Verschiebung und/oder Drehung ineinander überführen kannst.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Bei einem rechtwinkligen Dreieck gleicht die Differenz der beiden Kathetenquadrate dem Quadrat der Hypotenuse.“

  • Der Satz des Pythagoras gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke und lautet: $a^2+b^2=c^2$. Dabei sind $a$ und $b$ die beiden Katheten und $c$ heißt Hypotenuse. Also ist die Summe der beiden Kathetenquadrate gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

  „Den Flächeninhalt eines Quadrats bestimmst du, indem du die Seitenlänge addierst. Beträgt die Seitenlänge eines Quadrats $a+b$, dann ist die Fläche $A=2a+2b$.“

  • Den Flächeninhalt eines Quadrats bestimmst du durch Quadrieren der Seitenlänge. Für die Seitenlänge $a+b$ erhältst du also eine Fläche von $A=(a+b)^2$.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Den Satz des Pythagoras kannst du mithilfe eines Quadrates beweisen, das aus einem kleineren Quadrat und vier rechtwinkligen Dreiecken zusammengesetzt ist.“

  • Anhand der obigen Figur kannst du den Satz des Pythagoras beweisen.

  „Der Flächeninhalt einer beliebigen Fläche entspricht der Summe der Teilflächen, aus denen sie zusammengesetzt ist.“

  „Zwei kongruente Dreiecke haben jeweils dieselben Winkelgrößen.“

  • Figuren sind kongruent, wenn du sie durch Verschiebung und/oder Drehung ineinander überführen kannst. Das geht nur, wenn die beiden Figuren dieselben Winkelgrößen und Seitenlängen besitzen.

• Beschreibe den Beweis zum Satz des Pythagoras.

  Tipps

  Grundsätzlich kannst du eine Fläche immer durch Addition ihrer Teilflächen bestimmen. Hier besteht das große Quadrat aus einem kleineren Quadrat und vier rechtwinkligen Dreiecken.

  Bestimmst du den Flächeninhalt einer Fläche auf zwei unterschiedliche Weisen und erhältst zwei unterschiedliche Terme, kannst du diese gleichsetzen. Sie beschreiben nämlich den gleichen Flächeninhalt.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Die Gesamtfläche des großen Quadrats $A_{Q1}$ können wir durch Multiplikation der Seitenlänge $a+b$ bestimmen. So erhalten wir:

  $A_{Q1}=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$“

  • Hier bestimmen wir die Fläche des großen Quadrats, indem wir die Seitenlängen multiplizieren und den Term anschließend mit der ersten binomischen Formel vereinfachen.

  „Dieselbe Fläche $A_{Q1}$ können wir außerdem durch Addition der Teilflächen bestimmen. Diese setzen sich zusammen aus vier rechtwinkligen Dreiecken mit dem jeweiligen Flächeninhalt $A_D$ und einem kleineren Quadrat mit dem Flächeninhalt $A_{Q2}$.“

  • Grundsätzlich kannst du den Flächeninhalt einer Fläche immer durch Addition ihrer Teilflächen bestimmen. Hier besteht das große Quadrat aus einem kleineren Quadrat und vier rechtwinkligen Dreiecken, deren Fläche wir jetzt berechnen.

  „Für den Flächeninhalt von einem der Dreiecke erhalten wir:

  $A_D=\frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

  Der Flächeninhalt des kleinen Quadrats beträgt:

  $A_{Q2}=c^2$“

  • Hier haben wir die Formeln für die Flächeninhalte der Teilflächen bestimmt. Diese können wir jetzt kombinieren, um die Gesamtfläche anzugeben.

  „Jetzt können wir die Fläche des großen Quadrats $A_{Q1}$ mithilfe der Teilflächen wie folgt ausdrücken:

  $A_{Q1}=4 \cdot A_D + A_{Q2}=2ab+c^2$“

  „Anschließend können wir die beiden Terme des Flächeninhalts $A_{Q1}$ gleichsetzen. So erhalten wir:

  $a^2+2ab+b^2=2a b+c^2$"

  • Wir haben hier die Fläche des großen Quadrats auf zwei unterschiedliche Weisen bestimmt und zwei unterschiedliche Terme erhalten. Die Terme beschreiben allerdings die gleiche Fläche, also können wir sie gleichsetzen.

  „Ziehen wir $2a b$ von beiden Seiten der Gleichung ab, erhalten wir:

  $a^2+b^2=c^2$

  Das beweist den Satz des Pythagoras.“

  • Die Längen $a$ und $b$ sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, während die Länge $c$ seine Hypotenuse ist.

• Wende den Satz des Pythagoras an.

  Tipps

  Du kannst überprüfen, ob die Dreiecke mit den angegebenen Größenangaben rechtwinklig sind, indem du die Katheten $a$ und $b$ in den Satz des Pythagoras einsetzt und überprüfst, ob sich die angegebene Hypotenuse $c$ ergibt.

  Der Satz des Pythagoras lautet: Das Hypotenusenquadrat entspricht der Summe der Kathetenquadrate.

  Lösung

  Du kannst überprüfen, ob die Dreiecke mit den angegebenen Größenangaben rechtwinklig sind, indem du die Katheten $a$ und $b$ in den Satz des Pythagoras einsetzt und überprüfst, ob sich die angegebene Hypotenuse $c$ ergibt. So erhältst du, dass diese Dreiecke nicht rechtwinklig sind:

  „$a=6~\text{cm}$, $b=6~\text{cm}$ und $c=10~\text{cm}$“

  • Hier erhältst du: $a^2+b^2= (6~\text{cm})^2 + (6~\text{cm})^2 = 36~\text{cm}^2 + 36~\text{cm}^2= 72~\text{cm}^2$. Das ist ungleich $c^2=(10~\text{cm})^2= 100~\text{cm}^2$. Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig.

  „$a=6~\text{cm}$, $b=12~\text{cm}$ und $c=13~\text{cm}$“

  • Hier erhältst du: $a^2+b^2= (6~\text{cm})^2 + (12~\text{cm})^2 = 36~\text{cm}^2 + 144~\text{cm}^2= 180~\text{cm}^2$. Das ist ungleich $c^2=(13~\text{cm})^2= 169~\text{cm}^2$. Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig.

  Diese Dreiecke sind rechtwinklig:

  „$a=3~\text{cm}$, $b=4~\text{cm}$ und $c=5~\text{cm}$“

  • Hier ergibt sich: $a^2+b^2= (3~\text{cm})^2 + (4~\text{cm})^2 = 25~\text{cm}^2=c^2$

  „$a=15~\text{cm}$, $b=8~\text{cm}$ und $c=17~\text{cm}$“

  • Hier erhalten wir: $a^2+b^2= (15~\text{cm})^2 + (8~\text{cm})^2 = 17~\text{cm}^2=c^2$

• Ermittle mithilfe des Satzes des Pythagoras die gesuchten Beziehungen.

  Tipps

  Für das große Dreieck kannst du folgende Gleichung aufstellen:

  $a^2+b^2=c^2$

  Da in dem linken Dreieck der rechte Winkel von den Katheten $h$ und $q$ eingeschlossen wird, erhalten wir:

  $h^2+q^2=b^2$

  Formst du diese Gleichung nach $h$ um, kannst du eine der Lösungen zuordnen.

  Lösung

  Du kannst die Gleichungen zuordnen, indem du die einzelnen Dreiecke betrachtest und den Satz des Pythagoras aufstellst und umformst.

  Mit dem großen Dreieck kannst du folgende Formel aufstellen:

  $a^2+b^2=c^2$

  Stellen wir das nach $b^2$ um, erhalten wir:

  • $b^2=c^2-a^2$

  Da in dem rechten Dreieck der rechte Winkel von den Katheten $h$ und $p$ eingeschlossen wird und $a$ die Hypotenuse ist, erhalten wir:

  • $h^2+p^2=a^2$

  Das können wir nach $h$ umstellen, indem wir zuerst $p^2$ subtrahieren:

  • $h^2=a^2-p^2$

  Und anschließend die Wurzel ziehen:

  • $h=\sqrt{a^2-p^2}$

  Aus dem linken Dreieck erhalten wir:

  • $h^2+q^2=b^2$

  Durch das Ziehen der Wurzel, erhalten wir:

  • $b=\sqrt{h^2+q^2}$

• Beschreibe die Winkelgrößen der Beweisfigur.

  Tipps

  Alle rechten Winkel betragen $90^{\circ}$

  Wenn $ \alpha + \beta + 90^{\circ} =180^{\circ}$ gilt, dann folgt daraus:

  $ \alpha + \beta = 90^{\circ}$

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Hier sind die rechten Winkel des großen Quadrats eingezeichnet. Diese sind gleichzeitig die rechten Winkel der kongruenten Dreiecke. Sie betragen: $90^{\circ}$.“

  • Alle rechten Winkel betragen $90^{\circ}$.

  „Alle Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen $180^{\circ}$. Da diese Dreiecke rechtwinklig sind, müssen die beiden spitzen Winkel zusammen $90^{\circ}$ ergeben.“

  • Hier kannst du rechnen: $ \alpha + \beta + 90^{\circ} =180^{\circ} ~\Rightarrow ~ \alpha + \beta = 90^{\circ}$

  „Der hier eingezeichnete Winkel ist ein gestreckter Winkel und beträgt $180^{\circ}$. Er setzt sich zusammen aus den beiden spitzen Winkeln der Dreiecke und einem Winkel des Quadrats in der Mitte. Da die Summe der beiden Dreieckswinkel $90^{\circ}$ beträgt, muss der Winkel des Vierecks $90^{\circ}$ betragen.“

  • Hier kannst du Folgendes rechnen: $ \gamma + 90^{\circ} =180^{\circ} ~\Rightarrow ~ \gamma = 90^{\circ}$

• Weise den Höhensatz von Euklid nach.

  Tipps

  Wende den Satz des Pythagoras zuerst auf das große Dreieck und anschließend auf die beiden kleineren Dreiecke an.

  In der Gleichung $a^2+b^2=c^2$ kannst du $h^2+p^2$ für $a^2$ und $h^2+q^2$ für $b^2$ einsetzen.

  $(p+q)^2$ kannst du mit der ersten binomischen Formel auflösen.

  Am Ende musst du zwei Ausdrücke für $c^2$ gleichsetzten und so vereinfachen, dass der Satz des Euklid herauskommt.

  Lösung

  So kannst du den Beweis durchführen:

  „Zunächst schreiben wir für die Seitenlängen des großen rechtwinkligen Dreiecks den Satz des Pythagoras auf.

  $a^2+b^2=c^2$“

  • Hier wenden wir den Satz des Pythagoras auf das große Dreieck an.

  „Dann stellen wir Formeln für die Seitenlängen der beiden rechtwinkligen Dreiecke auf, die durch die Teilung des großen Dreiecks entstehen. Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir:

  $h^2+p^2=a^2$ und

  $h^2+q^2=b^2$“

  • Hier wenden wir den Satz des Pythagoras auf die beiden kleineren Dreiecke an.

  „Diese beiden Gleichungen können wir in die erste Gleichung einsetzen. Wir ersetzen $a^2$ und $b^2$ mit dem gefundenen Ausdruck und erhalten:

  $c^2=a^2+b^2=h^2+p^2+h^2+q^2$“

  • Hier setzen wir $h^2+p^2$ für $a^2$ und $h^2+q^2$ für $b^2$ in die Gleichung $c^2=a^2+b^2$ ein.

  „Die uns bereits bekannte Beziehung $p+q=c$ können wir quadrieren. Dabei erhalten wir:

  $c^2=(p+q)^2=p^2 + 2pq +q^2$“

  • Hier wurde die erste binomische Formel angewendet.

  „Somit haben wir zwei unterschiedliche Ausdrücke für $c^2$ ermittelt, die wir nun gleichsetzen können:

  $c^2=h^2+p^2+h^2+q^2=p^2 + 2pq +q^2$“

  • Jetzt können wir alle gefundenen Ausdrücke so zusammenfassen, dass anschließend der Satz des Euklid herauskommt.

  „Diese Gleichung können wir jetzt Schritt für Schritt vereinfachen. Zuerst subtrahieren wir $q^2$ von beiden Seiten und erhalten:

  $h^2+p^2+h^2=p^2 + 2pq $

  Außerdem können wir $p^2$ von beiden Seiten abziehen. Das ergibt:

  $h^2+h^2=2pq $

  Anschließend fassen wir die $h^2$ Terme zusammen.

  $2h^2=2pq $

  Teilen wir diese Gleichung durch $2$, erhalten wir den Satz des Euklid:

  $h^2=pq $

  Was zu beweisen war.“

  • Wenn du jetzt denkst, dass du da niemals selbst draufgekommen wärst, dann mach dir keine Sorgen. So geht es jedem, der zum ersten Mal einen Beweis sieht. Beweise sind eine der schwierigsten Aufgaben in der Mathematik. Aber mit der Zeit und mit viel Übung entwickelst du ein Gefühl dafür, wie man sie durchführt.