Streckenlängen in Figuren berechnen – Übung

Streckenlängen in Figuren berechnen – Übung Übung

• Berechne die Länge der Diagonalen des Würfels.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Übertrage die rechtwinkligen Dreiecke zur besseren Übersicht. Hier siehst du das Dreieck, mit welchem die Diagonale einer Seitenfläche berechnet werden kann.

  Mit der gefundenen Diagonale einer Seitenfläche kann die Würfeldiagonale berechnet werden.

  Lösung

  Um die Diagonale eines Würfels zu berechnen, benötigt man eine Hilfslinie $b$. Dies ist die Diagonale einer Seitenfläche.

  Mithilfe dieser Hilfslinie entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten $b$, $d$ und $a$. Wenn man also $b$ kennen würde, könnte damit mithilfe des Satzes von Pythagoras $d$ berechnet werden

  $d^2=b^2+a^2$.

  Zur Berechnung von $b$ verwendet man ebenfalls den Satz des Pythagoras

  $b^2=a^2+a^2=2a^2$.

  Diese $b^2$ kann in der obigen Gleichung eingesetzt werden:

  $d^2=2a^2+a^2=3a^2$.

  Hier hängt $d$ nur noch von $a$ ab. Durch das Ziehen der Wurzel erhält man

  $d=\sqrt{3a^2}=\sqrt 3 \cdot \sqrt{a^2} =\sqrt 3 a$.

  Mit der bekannten Länge $a=3,5~cm$ kann jetzt auch $d$ berechnet werden:

  $d=\sqrt3 \cdot 3,5\approx 6,1$.

  Die Diagonale des Würfels ist rund $6,1~cm$ lang.

• Bestimme die Länge der Strecke $h$.

  Tipps

  Der Höhensatz besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich dem Produkt der Hypotenusenabschnitte ist. Das bedeutet, dass für das nebenstehende Dreieck gilt:

  $c^2=p\cdot q$.

  Die p-q-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ lautet

  $x_{1,2}=-\frac p2 \pm\sqrt{\left( \frac p2\right)^2-q}$.

  Du erhältst für die Länge der Strecke h zwei Lösungen, welche sich zu $2~m$ addieren.

  Gesucht ist, siehe das Bild, das kürzere Teilstück der Länge $2~m$.

  Lösung

  Hier ist der halbe Drachen zu sehen. Die Hypotenuse ist $2~m$ lang und unterteilt sich in die Hypotenusenabschnitte $h$ sowie $2-h$. Die Höhe in diesem Dreieck ist die halbe Spannweite $0,5~m$.

  Nach dem Höhensatz gilt also:

  $\begin{align*} 0,5^2&=h(2-h)\\ 0,25&=2h-h^2&|&+h^2-2h\\ h^2-2h+0,25&=0. \end{align*}$

  Auf diese Gleichung kann die p-q-Formel angewendet werden:

  $\begin{align*} h_{1,2}&=-\frac {-2}2 \pm\sqrt{\left( \frac {-2}2\right)^2-0,25}\\ &=1\pm\sqrt{0,75}\\ h_1&\approx 1,87\\ h_2&\approx 0,13. \end{align*}$

  Die kürzere der beiden ist die gesuchte Länge $h\approx 0,13~m$.

• Wende den Satz des Pythagoras an, um die Höhe des Kirchturms zu berechnen.

  Tipps

  Fertige eine Skizze an und mache dir klar, welche Größen bekannt sind und welche gesucht.

  Die Entfernung der Kirchturms zu Paula ist die horizontale Entfernung. Die Entfernung von Paula zu der Spitze des Kirchturms entspricht in der anzufertigenden Skizze der Hypotenuse.

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Lösung

  So könnte eine Skizze für die oben beschriebene Situation aussehen:

  • Die blaue Strecke entspricht der Entfernung von Paula zu dem Kirchturm, $500~m$,
  • die rote, die Hypotenuse, dem Abstand zu der Kirchturmspitze, $510~m$, und
  • die grüne der gesuchten Höhe $h$.

  Nach dem Satz des Pythagoras gilt, ohne Angaben der Längeneinheiten,

  $500^2+h^2=510^2$.

  Nun kann auf beiden Seiten $500^2$ subtrahiert werden zu

  $h^2=510^2-500^2$

  und dann die Wurzel gezogen werden:

  $h=\sqrt{510^2-500^2}=\sqrt{10100}\approx 100,5$.

  Der Kirchturm ist ungefähr $100,5~m$ hoch.

• Erkläre, wie die Höhe einer Pyramide mit einem regelmäßigen Sechseck als Grundfläche berechnet werden kann.

  Tipps

  In dem obigen Bild siehst du eine Unterteilung der Grundfläche in sechs Dreiecke.

  • Diese Dreiecke sind alle kongruent.
  • Die Winkel an der Spitze, dort wo die Höhe auf der Grundfläche steht, sind jeweils $60^\circ$.

  Mithilfe dieses Dreiecks kannst du die Höhe berechnen.

  Zu der Satzgruppe des Pythagoras gehören

  Der Satz des Pythagoras: Dieser besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. In diesem Dreieck $a^2+b^2=c^2$.

  Der Kathetensatz: Dieser besagt, dass das Quadrat einer Kathete gleich ist dem Produkt aus Hypotenuse und angrenzendem Hypotenusenabschnitt. In dem obigen Dreieck * $a^2=c\cdot p$ sowie * $b^2=c\cdot q$.

  Der Höhensatz: Dieser besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich ist dem Produkt der Hypotenusenabschnitte. Das bedeutet in dem obigen Dreieck $c^2=p\cdot q$.

  Lösung

  In dem Bild ist zu erkennen, dass die Grundfläche in sechs Dreiecke unterteilt ist. Da zum einen jedes dieser Dreiecke gleichschenklig ist und am Fuß der Höhe den Winkel $60^\circ$ hat, sind diese Dreiecke gleichseitig. Jede der Seiten hat die Länge $a=4~m$.

  Die Höhe ist die Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck, in welchem die Seitenlänge $a=4~m$ die andere Kathete und $s=15~m$ die Hypotenuse ist. Somit kann der Satz des Pythagoras zur Berechnung der Höhe $h$ verwendet werden:

  $\begin{align*} h^2+4^2&=15^2&|&-4^2\\ h^2&=15^2-4^2&|&\sqrt{~}\\ h&=\sqrt{15^2-4^2}\\ &\approx 14,5. \end{align*}$

  Die Pyramide ist ungefähr $14,5~m$ hoch.

• Beschreibe das allgemeine Vorgehen beim Berechnen von Streckenlängen in Figuren.

  Tipps

  Dieser Ansatz ist bei Textaufgaben oft so.

  • Du liest die Aufgabe,
  • versuchst dir klarzumachen, was gegeben und was gesucht ist
  • und überlegst, welche Formeln dir weiterhelfen können.

  Wichtig ist, dass du diese Art Aufgaben häufig selbst übst.

  Beachte, dass die fehlende Größe berechnet werden soll.

  Lösung

  Wenn man eine Aufgabe lösen soll, welche in Form eines beschreibenden Textes gegeben ist, muss man diese in Mathematik übersetzen. Dann kann man Formeln anwenden, um die Aufgabe zu lösen. Dies kann man wie folgt angehen:

  • Man fertigt zunächst eine Skizze an, welche den in der Aufgabe formulierten Zusammenhang wiedergibt. In dieser Skizze kann man bereits die bekannten Größen sowie die unbekannten eintragen.
  • Mithilfe der Skizze kann man sich überlegen, mit welchen bekannten Sätzen oder Formeln die unbekannten Größen berechnet werden können. Man überlegt sich also eine Strategie, wie man vorgehen kann.
  • Zu guter Letzt wendet man Sätze oder Formel an, um die unbekannten Größen zu berechnen.

• Berechne die Längen der beiden Spannseile.

  Tipps

  Gehe wie folgt vor:

  • Fertige eine Skizze an,
  • überlege dir eine Strategie und
  • wende Sätze an.

  Es sind die beiden Hypotenusenabschnitte bekannt und damit die Hypotenuse. Gesucht sind die beiden Katheten.

  Verwende den Kathetensatz, dieser besagt, dass das Quadrat einer Kathete gleich ist dem Produkt aus Hypotenuse und angrenzendem Hypotenusenabschnitt: In dem obigen Dreieck $a^2=c\cdot p$ sowie $b^2=c\cdot q$.

  Lösung

  Hier ist eine, nicht maßstabgetreue, Skizze zu sehen. Die beiden Katheten, grün und blau, stellen die Spannseile dar.

  Die gesamte rote Strecke ist die Hypotenuse und die Abstände der Spannseile zu dem Fuß des Mastes sind die Hypotenusenabschnitte.

  Die Länge der Hypotenuse ist die Summe der Hypotenusenabschnitte: $5~m+8~m=13~m$.

  Da die Hypotenuse und die Hypotenusenabschnitte bekannt sind und die Katheten gesucht, verwendet man den Kathetensatz: Dieser besagt, dass das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und dem angrenzenden Hypotenusenabschnittes ist.

  Somit gilt für das kürzere der beiden Spannseile, in der Skizze grün:

  $l^2=5\cdot 13=65$.

  Durch Ziehen der Wurzel erhält man $l=\sqrt{65}\approx 8,06$.

  Das kürzere der beiden Spannseile ist $8,06~m$ lang.

  Die Länge des längeren Spannseils kann entweder wieder mit dem Kathetensatz oder dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Hier wird wieder der Kathetensatz angewendet:

  $l^2=8\cdot 13=104$

  und damit $l=\sqrt{104}\approx 10,2$.

  Das längere Spannseil ist also $10,2~m$ lang.