Vierfeldertafel vervollständigen

Vierfeldertafel vervollständigen Übung

• Vervollständige die Vierfeldertafel.

  Tipps

  Beginne mit dem rot markierten Feld.

  Generell gilt, dass jeder Eintrag in der untersten Zeile der Vierfeldertafel die Summe der zwei Einträge darüber ist, und jeder Eintrag in der letzten Spalte die Summe der zwei Einträge links davon ist.

  Lösung

  Wir unterscheiden zwischen Vierfeldertafeln mit absoluten Häufigkeiten und Vierfeldertafeln mit relativen Häufigkeiten, die sich als Wahrscheinlichkeiten interpretieren lassen. In unserem Fall handelt es sich um eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten.

  Allgemein unterscheiden wir zwischen den Ereignissen $A$ beziehungsweise $\bar{A}$ (nicht-$A$) und $B$ beziehungsweise $\bar{B}$ (nicht-$B$). In den vier inneren Feldern der Vierfeldertafeln stehen die Und-Verknüpfungen beziehungsweise Schnittmengen.
  In der letzten Zeile bzw. letzten Spalte stehen jeweils die Gesamtzahlen der Häufigkeiten. In dem Feld ganz unten rechts steht die Gesamtzahl $G$.

  Generell gilt, dass jeder Eintrag in der untersten Zeile der Vierfeldertafel die Summe der zwei Einträge darüber ist, und jeder Eintrag in der letzten Spalte die Summe der zwei Einträge links davon ist.

  Wir ergänzen nun die fehlenden Werte in unserer Vierfeldertafel:

  • Wir beginnen mit der Zelle zwischen der $525$ und der $570$. Wir rechnen $570-525=45$ und können diesen Wert eintragen.
  • Danach können wir die Zelle darüber ausfüllen. Wir rechnen: $60-45=15$ und tragen diese Zahl ein.
  • Für die Zelle oben links rechnen wir: $115-15=100$.
  • Nun können wir für unten links die Summe der beiden oberen Zellen bilden: $100+525=625$.
  • Für die Zelle unten rechts bilden wir die Gesamtzahl $625+60=685$ bzw. $115+570=685$.

  Damit ergibt sich die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel wie in der Abbildung dargestellt.

• Beschreibe die Zusammenhänge in einer Vierfeldertafel.

  Tipps

  In dem Feld ganz unten rechts steht eine $1$ oder $100\,\%$.

  Es gibt drei richtige Antworten.

  Lösung

  In dieser Aufgabe betrachten wir eine Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten, die sich als Wahrscheinlichkeiten interpretieren lassen.

  Allgemein unterscheiden wir zwischen den Ereignissen $A$ beziehungsweise $\bar{A}$ (nicht $A$), und $B$ beziehungsweise $\bar{B}$ (nicht $B$).
  In den vier inneren Feldern der Vierfeldertafeln stehen die Wahrscheinlichkeiten der Und-Verknüpfungen beziehungsweise die Schnittwahrscheinlichkeiten.
  In der letzten Zeile bzw. letzten Spalte stehen jeweils die Gesamtwahrscheinlichkeiten der entsprechenden Ereignisse.
  Generell gilt, dass jeder Eintrag in der untersten Zeile der Vierfeldertafel die Summe der zwei Einträge darüber ist, und jeder Eintrag in der letzten Spalte die Summe der zwei Einträge links davon ist.
  In dem Feld ganz unten rechts steht eine $1$ oder $100\,\%$.

  Wir können also folgende Rechnungen aufstellen:

  Summe der ersten Zeile:

  • $P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = P(B)$

  Summe der zweiten Zeile:

  • $P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{B})$

  Summe der ersten Spalte:

  • $P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B}) = P(A)$

  Summe der zweiten Spalte:

  • $P(\bar{A} \cap B) + P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A})$

  Summe der letzten Zeile:

  • $P(A) + P(\bar{A}) = 1$

  Summe der letzten Spalte:

  • $P(B) + P(\bar{B}) = 1$

  
  

  Folgende Rechnungen sind also richtig:

  • $\color{#99CC00}{P(A) + P(\bar{A}) = 1}$
  • $\color{#99CC00}{P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B}) = P(A)}$
  • $\color{#99CC00}{P(\bar{A} \cap B) + P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A})}$

  
  

  Folgende Rechnung ist falsch:

  • $P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) \neq P(A) \quad$

  Das Ergebnis müsste nicht $P(A)$ sondern $P(B)$ lauten:
  $~P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = P(B)$

• Bestimme die Werte der leeren Felder der Vierfeldertafel.

  Tipps

  Suche eine Zeile oder Spalte, in der nur ein Wert fehlt.

  Du kannst beispielsweise zuerst den Wert für das Feld in der linken Spalte in der mittleren Zeile ermitteln.

  In dem Feld ganz unten rechts steht $100\,\%$.

  Am Ende kannst du bei einer Vierfeldertafel nochmal ganz einfach überprüfen, ob du alles richtig gemacht hast:
  Dazu addierst du die Werte der inneren vier Felder in jeder Zeile und Spalte und überprüfst, ob die Summe mit den äußeren Feldern übereinstimmt.

  Lösung

  Um diese Vierfeldertafeln mit Wahrscheinlichkeiten zu vervollständigen verwenden wir folgende Zusammenhänge:

  • In der letzten Zeile bzw. letzten Spalte stehen jeweils die Gesamtwahrscheinlichkeiten der entsprechenden Ereignisse.
  • In dem Feld ganz unten rechts steht $100\,\%$.
  • Jeder Eintrag in der untersten Zeile der Vierfeldertafel ist die Summe der zwei Einträge darüber.
  • Jeder Eintrag in der letzten Spalte der Vierfeldertafel ist die Summe der zwei Einträge links davon.

  Wir können zuerst das Feld in der linken Spalte in der mittleren Zeile ausfüllen: $44\,\% - 16\,\% = 28\,\%$.
  Außerdem können wir unten rechts direkt die $100\,\%$ einsetzen.
  Die Vierfeldertafel sieht dann so aus:

  $\begin{array}{l|c|c|c} & A& \bar{A}& \text{gesamt} \\ \hline B & 25\,\% & & \\ \hline \bar{B} & \color{#99CC00}{28\,\%} & 16\,\% & 44\,\% \\ \hline \text{gesamt} & & & \color{#99CC00}{100\,\%} \\ \end{array}$

  Wir können nun beispielsweise in der obersten Zeile das ganz rechte Feld ergänzen mit ${100\,\% - 44\,\% = 56\,\%}$.
  Außerdem können wir in der ersten Spalte die Summe bilden und in der letzten Zeile eintragen: ${25\,\% + 28\,\% = 53\,\%}$.
  Die Vierfeldertafel sieht dann so aus:

  $\begin{array}{l|c|c|c} & A& \bar{A}& \text{gesamt} \\ \hline B & 25\,\% & & \color{#99CC00}{56\,\%} \\ \hline \bar{B} & 28\,\% & 16\,\% & 44\,\% \\ \hline \text{gesamt} & \color{#99CC00}{53\,\%} & & 100\,\% \\ \end{array}$

  Wir können nun noch das fehlende Feld in der obersten Zeile ergänzen mit ${56\,\% - 25\,\% = 31\,\%}$. Für das fehlende Feld in der letzten Zeile gilt: ${31\,\% + 16\,\% = 47\,\%}$.

  Vollständig ausgefüllt sieht die Vierfeldertafel dann so aus:

  $\begin{array}{l|c|c|c} & A& \bar{A}& \text{gesamt} \\ \hline B & 25\,\% & \color{#99CC00}{31\,\%} & 56\,\% \\ \hline \bar{B} & 28\,\% & 16\,\% & 44\,\% \\ \hline \text{gesamt} & 53\,\% & \color{#99CC00}{47\,\%} & 100\,\% \\ \end{array}$

• Ermittle die fehlenden Werte in der Vierfeldertafel.

  Tipps

  Trage zuerst die gegebenen Werte aus der Aufgabe in die Tabelle ein.

  Ergänze nun die fehlenden Werte so, dass jeweils der Eintrag in der untersten Zeile der Vierfeldertafel die Summe der zwei Einträge darüber ergibt. Der Eintrag in der letzten Spalte der Vierfeldertafel muss die Summe der zwei Einträge links davon ergeben.

  Lösung

  Wir tragen in der Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten zuerst die gegebenen Werte ein. Die $250$ Äpfel sind die Gesamtanzahl, wir tragen sie ganz unten rechts ein. Insgesamt gibt es $55$ rote Äpfel, dies müssen wir also in die letzte Zeile bei rot eintragen. Die $120$ kleinen Äpfel tragen wir in der ersten Zeile ganz rechts ein. Von $30$ Äpfeln wissen wir, dass sie rot und klein sind, wir tragen diese Zahl in der entsprechenden Zelle oben links ein:

  $\begin{array}{l|c|c|c} & \quad \text{rot} \quad & \text{nicht rot}& \text{gesamt} \\ \hline \text{klein} & \color{#99CC00}{30} & & \color{#99CC00}{120} \\ \hline \text{nicht klein} & & & \\ \hline \text{gesamt} &\color{#99CC00}{55} & & \color{#99CC00}{250} \\ \end{array}$

  Um die Vierfeldertafel zu vervollständigen verwenden wir folgende Zusammenhänge:

  • Jeder Eintrag in der untersten Zeile der Vierfeldertafel ist die Summe der zwei Einträge darüber.
  • Jeder Eintrag in der letzten Spalte der Vierfeldertafel ist die Summe der zwei Einträge links davon.

  Wir führen also beispielsweise folgende Rechnungen durch (eine andere Reihenfolge der Lösung ist auch möglich):

  • $120-30=90$
  • $250-120=130$
  • $55-30=25$
  • $250-55=195$
  • $130-25=105$

  Die vollständige Vierfeldertafel sieht dann so aus:

  $\begin{array}{l|c|c|c} & \quad \text{rot} \quad & \text{nicht rot}& \text{gesamt} \\ \hline \text{klein} & 30 & \color{#99CC00}{90} & 120\\ \hline \text{nicht klein} & \color{#99CC00}{25} & \color{#99CC00}{105} & \color{#99CC00}{130} \\ \hline \text{gesamt} &55 & \color{#99CC00}{195} & 250\\ \end{array}$

• Gib die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse aus der Vierfeldertafel an.

  Tipps

  In der Spalte ganz rechts stehen die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $B$ und $\bar{B}$.

  Beispielsweise gilt: $P(B) = 0{,}7$

  Lösung

  Wir betrachten zunächst den Aufbau einer Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten:

  Allgemein unterscheiden wir zwischen den Ereignissen $A$ beziehungsweise $\bar{A}$ (nicht $A$), und $B$ beziehungsweise $\bar{B}$ (nicht $B$).
  In den vier inneren Feldern der Vierfeldertafeln stehen die Wahrscheinlichkeiten der Und-Verknüpfungen beziehungsweise die Schnittwahrscheinlichkeiten.
  In der letzten Zeile bzw. letzten Spalte stehen jeweils die Gesamtwahrscheinlichkeiten der entsprechenden Ereignisse.
  In dem Feld ganz unten rechts steht eine $1$ oder $100\,\%$.

  Die entsprechenden Abkürzungen sind noch einmal in der Abbildung dargestellt. Wir können also wie folgt zuordnen:

  • $P(A) = \color{#99CC00}{0{,}55}$
  • $P(A \cap B)= \color{#99CC00}{0{,}25}$
  • $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \color{#99CC00}{0}$
  • $P(\bar{B}) = \color{#99CC00}{0{,}3}$

  Die restlichen Werte sind:

  • $P(\bar{A} \cap B) = 0{,}45$
  • $P(A\cap \bar{B}) = 0{,}3$
  • $P(\bar{A}) = 0{,}45$
  • $P(B) = 0{,}7$

• Leite her, welche Werte für $a$ in der Vierfeldertafel eingesetzt werden können.

  Tipps

  Vervollständige zunächst die Vierfeldertafel.

  In den Zellen der Vierfeldertafel sind Wahrscheinlichkeiten eingetragen. Überlege dir, welche Werte hier möglich sind.

  Eine Wahrscheinlichkeit ist immer ein Wert zwischen $0$ und $1$.

  Lösung

  Um zu ermitteln, welche Werte für $a$ eingesetzt werden können, vervollständigen wir zuerst die Vierfeldertafel, indem wir berücksichtigen, dass in der letzten Zeile bzw. letzten Spalte jeweils die Gesamtwahrscheinlichkeiten der entsprechenden Ereignisse stehen.

  $\begin{array}{l|c|c|c} & \quad A \quad & \quad \bar{A} \quad & \text{gesamt} \\ \hline \\ B & 3a & & 1-2a \\ \hline \\ \bar{B} & & & \\ \hline \text{gesamt} & 4a & & 1\\ \end{array}$

  Wir können mit der ersten Zeile und der ersten Spalte beginnen:
  $(1-2a)-3a=1-5a$
  $4a-3a=a$
  Es ergibt sich also:

  $\begin{array}{l|c|c|c} & \quad A \quad &\quad \bar{A} \quad& \text{gesamt} \\ \hline \\ B & 3a & \color{#99CC00}{1-5a} & 1-2a \\ \hline \\ \bar{B} &\color{#99CC00}{a} & & \\ \hline \text{gesamt} & 4a & & 1\\ \end{array}$

  Nun können wir die restlichen Werte wie folgt ermitteln:
  $1-(1-2a)=2a$
  $2a-a=a$
  Es ergibt sich damit die folgende Vierfeldertafel:

  $\begin{array}{l|c|c|c} &\quad A \quad&\quad \bar{A} \quad& \text{gesamt} \\ \hline \\ B & 3a & 1-5a & 1-2a \\ \hline \\ \bar{B} &a & \color{#99CC00}{a} & \color{#99CC00}{2a}\\ \hline \text{gesamt} & 4a & \color{#99CC00}{1-4a} & 1\\ \end{array}$

  In jeder Zelle steht eine Wahrscheinlichkeit. Wir wissen, dass eine Wahrscheinlichkeit immer größer oder gleich $0$ ist. Es gilt also:
  $a \geq 0$
  Der größtmögliche Wert ergibt sich zudem mit der Ungleichung:
  $1-5a \geq 0$
  Wir können diese wie folgt umformen:
  $1-5a\geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad 1 \geq 5a \quad \Leftrightarrow a \leq \dfrac{1}{5} = 0{,}2$

  Insgesamt gilt also:
  $0 \leq a \leq 0{,}2 $