Winkel am Kreis

Winkel am Kreis Übung

• Definiere Peripheriewinkel und Zentriwinkel.

  Tipps

  Der Scheitel eines Winkels ist der Anfangspunkt der beiden den Winkel bildenden Strahlen.

  Die Peripherie bezeichnet die Umfangslinie des Kreises, also den Kreisrand.

  Lösung

  In diesem Bild siehst du sowohl einen Peripheriewinkel (hier $\beta$) als auch einen Zentriwinkel (hier $\alpha$).

  Hier siehst du die Definitionen dieser beiden Begriffe:

  Peripheriewinkel

  Peripheriewinkel werden auch Umfangswinkel genannt. Der Scheitelpunkt eines Peripheriewinkels ist ein Punkt $D$, welcher auf der Peripherie des Kreises liegt. Die Peripherie eines Kreises ist die Umfangslinie. Die beiden Schenkel $\overline{DA}$ sowie $\overline{DB}$ sind Sehnen des Kreises.

  Zentriwinkel

  Diese werden auch Mittelpunktswinkel genannt. Deren Scheitelpunkt ist der Mittelpunkt $M$ des Kreises. Die Schenkel sind dann Radien des Kreises.

• Beschreibe die Besonderheit bei Peripheriewinkeln und Zentriwinkeln.

  Tipps

  Zeichne dir eine andere Sehne und die zugehörigen Peripheriewinkel ein. Vergleiche sie mit denen in der gegebenen Zeichnung.

  Es gilt zum Beispiel $\gamma=\frac12\alpha$.

  Lösung

  Hier siehst du zwei Peripheriewinkel $\beta$ und $\gamma$ über dem gleichen Kreisbogen.

  Der Peripheriewinkelsatz besagt, dass alle Peripheriewinkel über dem gleichen Kreisbogen (der gleichen Sehne) gleich groß sind. Also gilt $\beta=\gamma$.

  Du kannst auch eine Beziehung zwischen dem Zentriwinkel über einem Kreisbogen und dem zugehörigen Peripheriewinkel feststellen.

  Der Peripherie-Zentriwinkel-Satz besagt: Jeder Zentriwinkel über einem Kreisbogen ist doppelt so groß wie der zugehörige Peripheriewinkel.

  Das bedeutet in dem nebenstehenden Bild: $\alpha=2\beta$ oder auch $\alpha=2\gamma$. Umgekehrt kannst du auch feststellen, dass der Peripheriewinkel halb so groß ist wie der Zentriwinkel. Es gilt $\beta=\gamma=\frac12\alpha$.

• Bestimme den Zentriwinkel und die Peripheriewinkel.

  Tipps

  Der Scheitelpunkt eines Peripheriewinkels ist ein beliebiger Punkt (hier $D$), der auf der Peripherie des Kreises liegt. Die beiden Schenkel $\overline{DA}$ sowie $\overline{DB}$ sind Sehnen des Kreises.

  Unter der Peripherie eines Kreises versteht man den Kreisrand.

  Der Scheitelpunkt des Zentripunktes ist der Mittelpunkt $M$ des Kreises.

  In diesem Bild ist $\alpha$ der Zentriwinkel.

  Drei der in der Aufgabe abgebildeten Winkel sind Peripheriewinkel.

  Lösung

  Im Mittelpunkt $M$ erkennst du den Zentriwinkel $\delta$.

  Die drei Punkte $C_1$, $C_2$ sowie $C_3$ auf der Peripherie legen jeweils mit den Strecken nach $A$ beziehungsweise $B$ einen Peripheriewinkel fest. Diese sind also die Winkel $\gamma_1$, $\gamma_2$ sowie $\gamma_3$.

  In Bezug auf die Sehne $\overline{AB}$ sind weder $\alpha$ noch $\beta$ Peripheriewinkel. $\beta$ ist zum Beispiel ein Peripheriewinkel in Bezug auf die Sehne $\overline{AC_1}$.

• Wende den Peripherie-Zentriwinkel-Satz und den Peripheriewinkelsatz an, um den Satz des Thales nachzuweisen.

  Tipps

  Verwende zunächst den Peripherie-Zentriwinkelsatz: Jeder Zentriwinkel über einem Kreisbogen ist doppelt so groß wie der zugehörige Peripheriewinkel.

  Peripheriewinkel über dem gleichen Kreisbogen sind immer gleich groß.

  Lösung

  Der Satz des Thales besagt: Für jeden Punkt $C$ auf der Peripherie des Halbkreises über der Strecke $\overline{AB}$ ist das Dreieck $\Delta_{ABC}$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel in $C$.

  Wir schauen uns erst einmal an, ob der Winkel in $C$ tatsächlich ein rechter Winkel ist. Hierfür verwenden wir den Peripherie-Zentriwinkel-Satz.

  Der betrachtete Zentriwinkel ist der Winkel im Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$, dem Mittelpunkt des Kreises. Dieser Winkel ist ein gestreckter Winkel. Also gilt $\alpha=180^\circ$. Wenn du nun den Winkel in $C$ betrachtest, erhältst du den zugehörigen Peripheriewinkel. Da der Zentriwinkel doppelt so groß ist wie ein zugehöriger Peripheriewinkel, gilt $180^\circ=2\gamma$. Eine Division durch $2$ ergibt $\gamma=90^\circ$.

  Für jeden weiteren Punkt (außer $A$ und $B$) auf dem Rand des Halbkreises gilt, dass der Winkel in diesem Punkt ein Peripheriewinkel zu dem gleichen Kreisbogen ist. Da nach dem Peripheriewinkelsatz alle diese Peripheriewinkel gleich groß sind, kannst du folgern, dass jeder Punkt auf dem Rand des Halbkreises (außer $A$ und $B$) mit $A$ und $B$ ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Der rechte Winkel befindet sich in dem Punkt, der auf der Peripherie des Kreises liegt.

  Auf diese Weise kannst du den Satz des Thales beweisen.

• Benenne die Aussage des Satzes von Thales.

  Tipps

  Das Dreieck $\Delta_{ABC}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck.

  Die beiden Winkel sind gleich groß. Es gilt $\gamma=\delta$.

  Die beiden Winkel bei $A$ und $B$ summieren sich zu $90^\circ$.

  Lösung

  Du zeichnest über einer Strecke $\overline{AB}$ einen Halbkreis.

  Der Satz des Thales besagt, dass für jeden Punkt $C$ auf der Peripherie des Halbkreises das Dreieck $\Delta_{ABC}$ ein rechtwinkliges Dreieck ist, mit dem rechten Winkel in $C$.

  Für das obige Bild bedeutet dies $\gamma=\delta=90^\circ$.

  Übrigens: Als Punkt auf der Peripherie darf keiner der Endpunkte $A$ oder $B$ gewählt werden, da sonst kein Dreieck entsteht.

• Beschreibe die Konstruktion eines $30^\circ$-Winkels mit Hilfe von Peripherie- und Zentriwinkeln.

  Tipps

  Ein Peripheriewinkel zu einem Zentriwinkel ist immer halb so groß wie dieser Zentriwinkel.

  In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und damit auch alle Winkel gleich groß.

  Lösung

  In dieser Aufgabe konstruierst du einen Winkel mit der Größe $30^\circ$.

  Wie kommst du zu diesem Winkel? Du konstruierst diesen in mehreren Schritten.

  Schritt 1

  Im ersten Schritt zeichnest du auf dem Rand eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ einen Punkt (hier $A$) ein. Nun zeichnest du einen weiteren Kreis mit dem Radius $r$ und $A$ als Mittelpunkt ein. Dieser Kreis schneidet den ersten in zwei Punkten. Einen Schnittpunkt davon bezeichnest du mit $B$.

  Schritt 2

  Verbinde die drei Punkte $A$, $B$ und $M$. Die Strecken zwischen diesen Punkten sind durch die Konstruktion gleich groß, sodass dies das gleichseitige Dreieck $\Delta_{ABM}$ ergibt.

  Da das Dreieck gleichseitig ist, sind alle drei Innenwinkel gleich groß. Jeder Winkel muss also $60^\circ$ groß sein. Der Zentriwinkel $\delta$ beträgt somit $60^\circ$.

  Schritt 3

  Zeichne nun einen Punkt $C$ auf der Peripherie des ersten Kreises ein. So erhältst du den Peripheriewinkel $\gamma$. Dieser ist laut Peripherie-Zentriwinkel-Satz halb so groß wie der zugehörige Zentriwinkel. Es gilt also $\gamma= \frac12\cdot \delta=\frac12\cdot 60^\circ=30^\circ$.