Wurzelausdrücke vereinfachen – Zerlegung in Produkt und Division

Wurzelausdrücke vereinfachen – Zerlegung in Produkt und Division Übung

• Berechne das Ergebnis der Multiplikation zweier Wurzelausdrücke.

  Tipps

  Um die Wurzel zu vereinfachen, solltest du zuerst die Quadratzahlen identifizieren, die im Radikanden enthalten sind. (Als Radikand bezeichnet man alles, was unter der Wurzel steht.)

  Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. Beispielsweise ist $9$ eine Quadratzahl, denn $3\cdot 3 =9$.

  Lösung

  „Zuerst überlegt sie sich, wie sie die Wurzel sinnvoll zerlegen kann: $\sqrt{20x^2}=\sqrt{4x^2 \cdot 5}$“

  • Um die Wurzel zu vereinfachen, identifizierst du zuerst die Quadratzahlen, die im Radikanden enthalten sind. Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. $4$ ist eine Quadratzahl, denn $2\cdot 2 =4$.

  „Die Quadratzahlen schreibt sie unter eine getrennte Wurzel: $\sqrt{4x^2} \cdot \sqrt{ 5}$“

  • Die Wurzel aus einer Quadratzahl ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Quadratzahl ergibt (z.B. $\sqrt{9}=3$, da $3\cdot 3 = 9$). Damit du hier nicht allzu lange überlegen oder verschiedene Zahlen ausprobieren musst, ist es hilfreich, wenn du dir die Quadrate aller kleineren Zahlen (z.B. aller Zahlen bis $20$) gut einprägst.

  „Und berechnet sie zu: $ 2x \cdot \sqrt{ 5}$“

  • Falls ein Wurzelwert eine irrationale Zahl ist (z.B. $\sqrt{5}\approx 2,2360679...$), ist es am besten, diese Wurzel einfach stehen zu lassen. Die Wurzel $\sqrt{4x^2}$ können wir allerdings ausrechnen und erhalten $\sqrt{4x^2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x^2}=2x$. Das Zerlegen der ursprünglichen Wurzel hat sich also gelohnt!

• Berechne das Ergebnis der Division zweier Wurzelausdrücke.

  Tipps

  Das Rechengesetz zur Division unter Wurzeln ist dem zur Multiplikation unter Wurzeln sehr ähnlich.

  Steht unter einer Wurzel ein Produkt, kannst du die Wurzel aus jedem Faktor einzeln ziehen.

  Lösung

  „Um das Ergebnis von $\sqrt{\frac{49}{81}}$ zu berechnen, erinnert sie sich an die Rechenregel zur Division von Wurzelausdrücken. Diese lautet:“
  $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

  • Diese Regel ist der Regel für Produkte unter einer Wurzel $\left(\sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\right)$ sehr ähnlich. Du solltest dir beide Regeln gut merken, da sie bei vielen Rechnungen sehr hilfreich sein können.

  „Sie kann also die Wurzeln von Zähler und Nenner einzeln bestimmen. Dann erhält sie:“
  $\sqrt{\frac{49}{81}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}}$

  • Die Wurzel aus einem Bruch können wir zu einem Bruch aus Wurzeln umformen. Das erleichtert unsere Rechnung ungemein, da wir jetzt die Wurzeln aus Zähler und Nenner einzeln berechnen können.

  „Das kann sie berechnen zu:“
  $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}}=\frac{7}{9}$

  • Die Zahlen $49$ und $81$ sind Quadratzahlen. Deshalb können wir sowohl im Zähler als auch im Nenner problemlos die Wurzel ziehen.

• Bestimme das Ergebnis der Wurzelausdrücke.

  Tipps

  Für die Division zweier Wurzelausdrücke gilt:

  $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

  Um einen Wurzelausdruck zu vereinfachen, solltest du zuerst die Quadratzahlen identifizieren, die im Radikanden enthalten sind.

  Lösung

  Die Ergebnisse der Wurzelausdrücke kannst du mit den Rechenregeln für Wurzelausdrücke bestimmen. Diese lauten:

  Division: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
  Multiplikation: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$

  Denke daran, die sich ergebenden Brüche zu kürzen, falls möglich. Damit lauten die Ergebnisse:

  • $\sqrt{\frac{81}{36}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{36}}= \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

  • $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}= \sqrt{3\cdot12} = \sqrt{36}=6 $

  • $\sqrt{\frac{9}{36}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{36}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

  • $\sqrt{75}= \sqrt{25\cdot3}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{3}=5\cdot \sqrt{3}$

• Wende die Rechenregeln für Wurzelausdrücke an.

  Tipps

  Wende die Rechenregeln für die Multiplikation und Division von Wurzelausdrücken an.

  Lösung

  Die Rechenregeln für Wurzelausdrücke sind für die Division:

  $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

  und für die Multiplikation zweier Wurzelausdrücke gilt:

  $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$

  Damit kannst du die Würzelausdrücke vereinfachen zu:

  • $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}= \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16}= 4$

  • $\sqrt{\frac{27}{9}}=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{9}}=\sqrt{3}$

  • $\sqrt{\frac{25}{9}}= \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}}=\frac{5}{3}$

  • $\sqrt{162}=\sqrt{81} \cdot \sqrt{2}=\sqrt{2} \cdot 9$

  • $\sqrt{\frac{49}{36}}=\frac{ \sqrt{49}}{ \sqrt{36}}=\frac{7}{6}$

  • $\frac{ \sqrt{8} \cdot \sqrt{3} }{ \sqrt{12}}=\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} }{ \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}}=\sqrt{2}$

  • $\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36}=6$

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Wurzelausdrücken.

  Tipps

  Der Wurzelexponent wird bei Quadratwurzeln weggelassen.

  Ziehst du die Wurzel aus einem Bruch, kannst du die Wurzel aus Zähler und Nenner getrennt ziehen.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Beträgt der Wurzelexponent $3$, lässt man ihn oft weg.“

  • Der Wurzelexponent wird bei Quadratwurzeln weggelassen. Das sind Wurzeln mit dem Wurzelexponenten $2$.

  „Will man zwei Wurzelausdrücke multiplizieren, kann man die Radikanden multiplizieren und das Wurzelzeichen weglassen.“

  • Beim Multiplizieren von Wurzeln musst du die Radikanden multiplizieren. Das Wurzelzeichen bleibt allerdings erhalten.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Die Zahl unter dem Wurzelzeichen nennt man Radikand.“

  „Für die Division zweier Wurzelausdrücke gilt: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ “

  „Für die Multiplikation zweier Wurzelausdrücke gilt: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$ “

  Das sind die korrekten Rechenregeln für Wurzelausdrücke.

• Bestimme, welche Wurzelausdrücke korrekt umgeformt wurden.

  Tipps

  Die Rechenregeln für das Rechnen mit Wurzelausdrücken lauten für die Multiplikation

  $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$

  und für die Division

  $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

  Das Distributivgesetz für Multiplikation und Addition lautet:

  $a\cdot(b\pm c)=a\cdot b\pm a \cdot c$

  Dieses Gesetz ist manchmal für die Umformung von links nach rechts („Ausmultiplizieren“), manchmal aber auch für die Umformung von rechts nach links („Ausklammern“) nützlich.

  Lösung

  Die Ausdrücke kannst du mit den bekannten Rechenregeln für die Multiplikation

  $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$

  und für die Division

  $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

  zweier Wurzelausdrücke umformen. Außerdem hilft dir in einigen Fällen das Distributivgesetz:

  $a\cdot (b \pm c) = a\cdot b \pm a \cdot c$

  Folgende Wurzelausdrücke wurden falsch umgeformt:

  • $5\sqrt{2}-2\sqrt{5}= 3 \sqrt{2}$

  Diesen Ausdruck kannst du nicht weiter vereinfachen, da zwei unterschiedliche Radikanden in den Wurzelausdrücken stehen.

  • $(\sqrt{7}+3\sqrt{7})\sqrt{7}= 24$

  Hier wurde ein Rechenfehler begangen: $(\sqrt{7}+3\sqrt{7})\sqrt{7}=4\sqrt{7}\cdot \sqrt{7} = 4 \cdot 7=28$

  Diese Terme wurden korrekt umgeformt:

  • $(\sqrt{3}+\sqrt{5})\cdot \sqrt{3}= \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 3+ \sqrt{15}$

  • $\frac{3\sqrt{5}-2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}= 1$ (alternativ: $\frac{3\sqrt{5}-2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{(3-2)\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=3-2=1$)

  • $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=5-3 =2$