Wurzeln ziehen im Kopf

Wurzeln ziehen im Kopf Übung

• Gib die Quadratzahlen an.

  Tipps

  Hier siehst du die ersten $9$ Quadratzahlen:

  • $1^2=1$
  • $2^2=4$
  • $3^2=9$
  • $4^2=16$
  • $5^2=25$
  • $6^2=36$
  • $7^2=49$
  • $8^2=64$
  • $9^2=81$

  Diese helfen dir bei der Berechnung der obigen Quadrate. Hier siehst du dies am Beispiel von $70^2$:

  Es gilt $70=7\cdot 10$. Daraus folgt $70^2=7\cdot 10\cdot 7\cdot 10$. Mit Hilfe des Kommutativgesetzes der Multiplikation vertauschst du nun die Faktoren:

  $70^2 = 7\cdot 7 \cdot 10 \cdot 10$.

  Wegen $7\cdot 7=49$ und $10\cdot 10=100$ gilt insgesamt:

  $70^2=49\cdot 100=4900$.

  Lösung

  Die ersten $9$ Quadratzahlen helfen dir bei der Berechnung von viel größeren Quadratzahlen. Die ersten Quadratzahlen lauten $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$, $7^2=49$, $8^2=64$ und $9^2=81$.

  Hier siehst du nun am Beispiel von $20^2$, wie die ersten Quadratzahlen helfen. Dazu teilst du den Ausdruck $20^2$ in Faktoren auf, stellst diese um und berechnest anschließend die Lösung. Das Umstellen erfolgt mit Hilfe des Kommutativgesetzes:

  $\begin{array}{rcl} 20^2 & = & 2\cdot 10\cdot 2\cdot 10 \\ & = & 2\cdot 2\cdot 10\cdot 10 \\ & = & 4 \cdot 100 \\ & = & 400 \end{array}$

  Auf diese Weise kannst du alle folgenden Quadratzahlen berechnen:

  • $10^2=100$
  • $20^2=400$
  • $30^2=900$
  • $40^2=1600$
  • $50^2=2500$
  • $60^2=3600$
  • $70^2=4900$
  • $80^2=6400$
  • $90^2=8100$

• Beschreibe, wie du den Wurzelausdruck $\sqrt{5625}$ bestimmst.

  Tipps

  Eine Zahl, deren Wurzel eine natürliche Zahl ergibt, nennt man Quadratzahl.

  Beispielsweise ist $25$ eine Quadratzahl, da $\sqrt{25} = 5$ bzw. $5^2 = 25$ gilt.

  Du kannst die folgenden Quadratzahlen verwenden:

  • $10^2=100$
  • $20^2=400$
  • $30^2=900$
  • $40^2=1600$
  • $50^2=2500$
  • $60^2=3600$
  • $70^2=4900$
  • $80^2=6400$
  • $90^2=8100$

  Wenn du zwei Zahlen miteinander multiplizierst, kannst du die Einerstelle wie folgt bestimmen:

  • Du multiplizierst die beiden Einerstellen der Faktoren.
  • Die Einerstelle des Ergebnisses der Ausgangsaufgabe ist die Einerstelle dieses Produktes.

  Das siehst du hier am Beispiel $4\underline{9}\cdot 1\underline{2}$. Dabei sind die Einerstellen unterstrichen:

  • Es ist $9\cdot 2=18$.
  • Damit ist die Einerstelle von $4\underline{9}\cdot 1\underline{2}$ eine $8$.

  Insgesamt gilt $4\underline{9}\cdot 1\underline{2} = 58\underline{8}$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe lernst du, wie du „große“ Quadratzahlen ohne Taschenrechner bestimmen kannst. Wenn du eine natürliche Zahl quadrierst, dann ist das Ergebnis eine Quadratzahl. Beispielsweise ist $36$ eine Quadratzahl, da $6\cdot6 = 36$ gilt.

  Als Vorüberlegungen brauchst du dazu:

  • Die kleinste zweistellige Zahl ($10$) ergibt quadriert $100$.
  • Die größte zweistellige Zahl ($99$) ergibt quadriert $9801$.

  Daraus kannst du folgern, dass jede zweistellige Zahl quadriert entweder dreistellig oder vierstellig ist. Umgekehrt bedeutet das: Wenn eine drei- oder vierstellige Zahl eine Quadratzahl ist, dann ist die Wurzel eine zweistellige Zahl.

  $5625$ ist eine Quadratzahl. Die Wurzel aus $5625$ muss also eine zweistellige Zahl sein.

  Die ersten beiden Ziffern lauten $56$. Mit diesen startest du und gehst wie folgt vor:

  • Die größte Quadratzahl, die kleiner als $56$ ist, ist $7^2 = 49$.
  • Die kleinste Quadratzahl, die größer als $56$ ist, ist $8^2 = 64$.

  Mathematisch ausgedrückt gilt also:

  $\begin{array}{cccccl} 49 & < & 56 & < & 64 & \Leftrightarrow \\ 7^2 & < & 56 & < & 8^2 \end{array}$

  Da deshalb auch $70^2 < 5600 < 80^2$ gilt, muss die gesuchte Zahl (für die ersten beiden Ziffern) zwischen $70$ und $80$ sein. Also beginnt die Zahl mit einer $7$.

  Es gilt also $7\square\cdot 7\square = 7\square^2=5625$.

  Die letzte Stelle von $5625$ ist eine $5$. Die einzige einstellige Zahl, deren Quadrat eine $5$ am Ende hat, ist die $5$. Es gilt $5^2=25$.

  Somit ist $\sqrt{5625}=75$.

• Ermittle die jeweilige Wurzel.

  Tipps

  Es ist $30^2=900$.

  Das Quadrat einer zweistelligen Zahl ist entweder dreistellig oder vierstellig.

  Schau dir die Einerstelle sowohl bei dem Radikanden als auch bei der Wurzel an. Das Quadrat der Einerstelle der Lösung muss die gleiche Einerstelle haben wie der Radikand.

  Wenn eine Zahl kleiner ist als eine andere, so gilt diese Ordnung auch für deren Quadrate.

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es um Wurzelausdrücke mit Radikanden (Fachbegriff für die Zahl unter der Wurzel), die sehr nah beieinander liegen.

  Die größte dreistellige Quadratzahl ist die $961$ mit $31^2=961$. Das Quadrat jeder Zahl größer als $31$ ist vierstellig.

  Da die jeweilige Wurzel mit einer $3$ beginnt, geht es (nur) noch um die Einerstelle.

  2. Aufgabe: $\sqrt{1156}$

  Die Einerstelle $6$ erhältst du durch $4^2=16$ sowie $6^2=36$. Es kommen also die Zahlen $34$ und $36$ in Frage. Die Zehnerstelle beider Zahlen ist die $3$. Da $3^2 = 9$ näher an den ersten beiden Stellen des Radikanden ($11$) liegt, muss auch die kleinere der beiden in Frage kommenden Zahlen die richtige sein. Es gilt $\sqrt{1156}=34$.

  3. Aufgabe: $\sqrt{1444}$

  Die Einerstelle $4$ erhältst du durch $2^2=4$ sowie $8^2=64$. Wieder betrachtest du $3^2 = 9$ und $4^2 = 16$. Da $16$ näher an $14$ liegt als $9$, gilt $\sqrt{1444}=38$.

  4. Aufgabe: $\sqrt{1521}$

  Die Einerstelle $1$ erhältst du durch $1^2=4$ sowie $9^2=81$. Da die größere Quadratzahl $(16)$ näher bei $15$ liegt als die $9$, muss $9$ die Einerstelle sein. Damit ist $\sqrt{1521}=39$.

  Hinweis: Die 4. Aufgabe kannst du auch mit dem Wissen, dass $31^2 = 961$ gilt, lösen.

• Prüfe die Wurzeln.

  Tipps

  Bei vierstelligen Zahlen unter der Wurzel gilt unter anderem:

  Das Quadrat der ersten Stelle des Ergebnisses muss kleiner sein als die ersten beiden Stellen der Zahl unter der Wurzel.

  Wenn du bspw. die Gleichung $\sqrt{1444} = 38$ überprüfen willst, kannst du prüfen, ob $3^2$ kleiner ist als $14$.

  Dieses Kriterium ist für das Beispiel erfüllt. Was muss noch gelten?

  Eine weitere Bedingung bezieht sich auf die Einerstelle des Ergebnisses und die Einerstelle des Radikanden (die Zahl unter der Wurzel wird in der Fachsprache Radikand genannt).

  Das Quadrat der Einerstelle muss dieselbe Einerstelle wie der Radikand haben.

  Betrachte wieder das Beispiel $\sqrt{1444} = 38$. Es gilt $8^2 = 6\underline{4}$. Die Einerstelle stimmt mit der Einerstelle des Radikanden $(144\underline{4})$ überein.

  Lösung

  Wenn du weißt, dass eine drei- oder vierstellige Zahl eine Quadratzahl ist, kannst du die Wurzel dieser Zahl schrittweise bestimmen:

  1. Schaue dir die erste Stelle bei dreistelligen oder die ersten beiden Stellen bei vierstelligen Zahlen an.
  2. Schätze diese Stelle(n) nach unten und nach oben mit einer Quadratzahl ab. Das bedeutet, dass du einen Bereich findest, in dem die gesuchte Zahl liegt.
  3. Anschließend untersuchst du die Einerstelle des Radikanden (das ist der Fachbegriff für die Zahl unter der Wurzel).
  4. Bei mehreren Möglichkeiten musst du hier gegebenenfalls einen zusätzlichen Schritt machen.

  Dies schauen wir uns nun bei zwei Beispielen an:

  Beispiel 1: $\sqrt{3844}$

  1. Die ersten beiden Stellen des Radikanden ergeben die Zahl $38$.
  2. Es gilt $6^2=36<38<49=7^2$. Also ist die erste Ziffer der Lösung eine $6$.
  3. Sowohl $2^2=4$ als auch $8^2=64$ haben eine $4$ an der Einerstelle. Deshalb ist eine zusätzliche Untersuchung notwendig.
  4. Die kleinere der beiden Quadratzahlen $(36)$ liegt näher bei $38$ als bei $49$ (also bei der kleineren der beiden Zahlen). Da $2<8$ ist, folgt, dass die gesuchte Wurzel $62$ ist.

  Beispiel 2: $\sqrt{5929}$

  1. Die beiden ersten Ziffern des Radikanden ergeben die Zahl $29$.
  2. Es gilt $7^2=49<59<64=8^2$. Also ist die erste Ziffer der Lösung eine $7$.
  3. Sowohl $3^2=9$ als auch $7^2=49$ haben eine $9$ an der Einerstelle. Auch hier ist eine weitere Untersuchung nötig.
  4. Die größere der beiden Quadratzahlen $(64)$ liegt näher bei $59$ als bei $49$ (also bei der größeren der beiden Zahlen). Da $7>3$ ist, folgt, dass die gesuchte Wurzel $77$ ist.

• Bestimme den Bereich, in dem sich der Wert von $\sqrt{17}$ befindet.

  Tipps

  Du kannst die folgenden Quadratzahlen verwenden:

  • $1^2=1$
  • $2^2=4$
  • $3^2=9$
  • $4^2=16$
  • $5^2=25$
  • $6^2=36$
  • $7^2=49$
  • $8^2=64$
  • $9^2=81$

  Du verwendest das $<$-Zeichen für „kleiner als“.

  Zum Beispiel ist $7$ kleiner als $20$. Du schreibst $7<20$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es um einen Aspekt der Wurzelberechnung. Du willst den Wert von $\sqrt{1764}$ berechnen. Dazu beginnst du damit, den Bereich zu suchen, in dem sich der Wert des Ausdrucks $\sqrt{17}$ befindet.

  Um diesen Bereich zu finden, startest du mit den Quadraten von natürlichen Zahlen:

  Die erste Ungleichung $2^2 < 17 < 3^2$ enthält einen Fehler. Die Zahl $3^2 = 9$ ist nicht größer als $17$. Auch die zweite Ungleichung ist nicht komplett korrekt. Der Wert von $4^2 = 16$ ist nicht größer als $17$. Wir sind aber schon näher dran als bei der ersten Ungleichung.

  Die dritte Ungleichung ist dann richtig. Hier haben wir den passenden Bereich gefunden. Es gilt $4^2 = 16 < 17 < 25 = 5^2$.

  Auch die vierte Ungleichung enthält einen Fehler. Die Zahl $25$ ist nicht kleiner als $17$.

  Dadurch weißt du nun, dass der Wert von $\sqrt{17}$ zwischen $4$ und $5$ sein muss.

  Mit diesem Wissen kannst du auch größere Wurzeln berechnen, die mit $17$ starten. Schau dir das Beispiel $\sqrt{1764}$ an.

  Du weißt aus den obigen Überlegungen bereits, dass die erste Stelle eine $4$ sein muss.

  Nun können wir uns noch einmal anschauen, wie die zweite Stelle bestimmt werden soll.

  Bei der zweiten Stelle schaust du dir an, welche Zahl zum Quadrat als Einerstelle eine $4$ hat. Dies ist einmal die $2$, da $2^2=4$ ist, und zum anderen $8$, da $8^2=64$ ist.

  Welche der beiden Zahlen ist nun die zweite Stelle?

  Wir schauen uns nun die beiden Möglichkeiten an:

  • Der Radikand $1764$ liegt näher bei $1600$ als bei $2500$.
  • Das bedeutet, dass die Wurzel von $1764$ näher bei $40$ als bei $50$ liegen muss.
  • Da $42$ näher bei $40$ liegt als $48$, kannst du folgern, dass die zweite Stelle der Wurzel eine $2$ sein muss.

  Somit ist $\sqrt{1764}=42$.

• Leite die Längen der einzelnen Quadrate her.

  Tipps

  Du kannst in dem Bild erkennen, wie sich die Fläche aus Flächenstücken mit dem jeweiligen Inhalt $a^2$ zusammensetzt.

  Die Gesamtfläche beträgt $a^2+4\cdot a^2=5\cdot a^2$.

  Das bedeutet, dass $5\cdot a^2=6845~\text{cm}^2$ sein muss.

  Lösung

  Die Gesamtfläche, die du hier sehen kannst, setzt sich aus fünf Quadraten mit dem jeweiligen Flächeninhalt $a^2$ zusammen.

  Damit ist $5\cdot a^2=6845~\text{cm}^2$.

  Dividiere nun durch $5$. Das führt zu $a^2=1369~\text{cm}^2$. Nun musst du also die Wurzel von $1369$ bestimmen.

  Schätze zunächst einmal die ersten beiden Stellen des Radikanden, also $13$, nach oben und unten mit Quadratzahlen ab. Du erhältst $3^2 = 9<13<16 = 4^2$. Die erste Stelle der Lösung ist deshalb eine $3$.

  Die letzte Stelle des Radikanden ist eine $9$. Sowohl $3^2=9$ als auch $7^2=49$ haben eine $9$ an der Einerstelle. Somit kommen sowohl die $3$ als auch die $7$ als Einerstelle der Wurzel in Betracht. Um das zu entscheiden, schaust du dir nochmal die Ungleichung von oben an:

  $9<13<16$.

  Da die $13$ näher an der größeren der beiden Zahlen $9$ und $16$ ist, muss die Einerstelle die größere der beiden Möglichkeiten sein. Also muss die $7$ die Einerstelle der Wurzel sein. Es gilt:

  $\sqrt{1369}=37$.