Primzahlen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was sind Primzahlen?
• Das Sieb des Eratosthenes
• Wie kannst du prüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist?
• Beispiel 1: Ist $36$ eine Primzahl?
• Beispiel 2: Ist $117$ eine Primzahl?
• Beispiel 3: Ist $133$ eine Primzahl?

Was sind Primzahlen?

Eine Primzahl ist eine besondere natürliche Zahl. Sie hat genau zwei Teiler, nämlich die $1$ und sich selbst.

• $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen Teiler hat.
• $2$ ist eine Primzahl. $2$ ist übrigens die kleinste Primzahl und darüber hinaus die einzige gerade Primzahl. Jede andere gerade Zahl ist sicher durch $2$ teilbar und kann somit keine Primzahl sein.
• Nun weißt du schon, dass bis auf die $2$ jede Primzahl ungerade ist.

Wie kannst du die Primzahlen in einem bestimmten Bereich ermitteln?

Das Sieb des Eratosthenes

Eratosthenes war ein griechischer Mathematiker. Er lebte im 3. Jahrhundert v. Chr. Auf ihn geht das Sieb des Eratosthenes zurück.

Hier siehst du am Beispiel der ersten $20$ Zahlen, wie dieses Sieb funktioniert.

• Du schreibst erst einmal alle Zahlen von $2$ bis $20$ auf.
• Die $1$ lässt du aus, weil die $1$ keine Primzahl ist.

$\quad~~~2~~3~~4~~5~~6~~7~~8~~9~~10~~11~~12~~13~~14~~15~~16~~17~~18~~19~~20$

• Die erste Zahl, die $2$, ist eine Primzahl. Du markierst sie, zum Beispiel mit einem Kringel oder einer Farbe.
• Nun kannst du alle Vielfachen von $2$, also die geraden Zahlen streichen, weil sie auf jeden Fall mindestens $1$, sich selbst und auch die $2$ als Teiler haben. Daher sind sie keine Primzahlen.

$\quad~~~ \color{#669900}{2}~~3~~5~~7~~9~~11~~13~~15~~17~~19$

• Die nächste Zahl, die $3$, ist ebenfalls eine Primzahl. Du markierst sie.
• Nun streichst du alle Vielfachen von $3$. Weil auch sie mindestens noch die $3$ als weiteren Teiler haben.

$\quad~~~ \color{#669900}{2}~~ \color{#669900}{3}~~5~~7~~11~~13~~17~~19$

• Die nächste Zahl, die $5$ ist eine Primzahl. Du könntest jetzt auch alle Vielfachen von $5$ streichen, nur gibt es bereits keine mehr.

$\quad~~~ \color{#669900}{2}~~ \color{#669900}{3}~~\color{#669900}{5}~~7~~11~~13~~17~~19$

• Auch gibt es keine Vielfachen von der nächsten Primzahl, der $7$ in dieser Reihe.

$\quad~~~ \color{#669900}{2}~~ \color{#669900}{3}~~\color{#669900}{5}~~\color{#669900}{7}~~11~~13~~17~~19$

• Ab der weiteren Primzahl, $11$ kann es in der Reihe keine Vielfachen mehr geben, weil die Vielfachen in jedem Fall größer als $20$ wären.
• Alle Zahlen, die jetzt noch da stehen sind Primzahlen.

$\quad~~~ \color{#669900}{2}~~ \color{#669900}{3}~~ \color{#669900}{5}~~ \color{#669900}{7}~~ \color{#669900}{11}~~ \color{#669900}{13}~~ \color{#669900}{17}~~ \color{#669900}{19}$

Probier das doch mal selbst mit den ersten $50$ Zahlen aus.

Wie kannst du prüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist?

Um zu prüfen, ob eine natürliche Zahl eine Primzahl ist, kannst du ähnlich wie beim Sieb des Eratosthenes vorgehen. Dabei benötigst du Wissen über die Teilbarkeitsregeln. Du prüfst so lange, ob die Zahl durch $2$, $3$, $5$ und so weiter teilbar ist, bis du entweder einen Teiler findest und weißt, dass es keine Primzahl ist. Oder du findest keinen Teiler und weißt, dass die Zahl eine Primzahl ist.

Beispiel 1: Ist $36$ eine Primzahl?

$36$ ist eine gerade Zahl. Bis auf die $2$ sind alle Primzahlen ungerade. Die $36$ kann also keine Primzahl sein. Das ist einfach, oder?

Beispiel 2: Ist $117$ eine Primzahl?

Immerhin ist die $117$ ungerade. Sie könnte also eine Primzahl sein. Deshalb untersuchst du die Teilbarkeit dieser Zahl.

• Durch $2$ ist $117$ nicht teilbar, sonst wäre die Zahl gerade.
• Eine Zahl ist durch $\mathbf{3}$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist. $1+1+7=9$ ist durch $3$ teilbar.

Damit ist auch $117$ durch $3$ teilbar und kann keine Primzahl sein.

Beispiel 3: Ist $133$ eine Primzahl?

$133$ ist ungerade. Nun prüfst du wieder die Teilbarkeit durch die Primzahlen:

• Durch $2$ ist $133$ nicht teilbar, sonst wäre die Zahl gerade.
• Ist die Zahl durch $3$ teilbar? Die Quersumme von $133$ ist $1+3+3=7.$ Aber $7$ ist nicht durch $3$ teilbar, dann kann auch $133$ nicht durch $3$ teilbar sein.
• Ganz sicher ist $133$ nicht durch $5$ teilbar. Warum? Die letzte Zahl müsste entweder eine $0$ oder eine $5$ sein.
• Nun prüfst du die Teilbarkeit durch $\mathbf{7}$: Eine Zahl ist durch $7$ teilbar, wenn diejenige Zahl durch $7$ teilbar ist, die du erhältst, wenn du das Doppelte der letzten Ziffer vom Rest der Zahl abziehst. Oh, das hört sich kompliziert an. Probier es doch mal: Das Doppelte der letzten Ziffer ist $2\cdot 3=6$. Nun ziehst du $6$ vom Rest der Zahl, also der $13$, ab. Das ergibt $7$ und die ist sicher durch $7$ teilbar. Es ist $7\cdot 19=133$.

Damit hat $133$ außer der $1$ und sich selbst noch zwei weitere Teiler. $133$ ist also keine Primzahl.