Teilbarkeitsregeln der 3, 6 und 9

Teilbarkeitsregeln der 3, 6 und 9 Übung

• Benenne die Teilbarkeitsregeln.

  Tipps

  Bei einer Summe werden Zahlen zusammengezählt.

  Jede durch $6$ teilbare Zahl ist auch durch $3$ teilbar.

  Teilbarkeit durch $6$ kannst du nicht allein mit der Quersumme testen.

  Lösung

  Große Zahlen wie $348$ lassen sich leichter handhaben, wenn man ihre Teiler kennt. Um nicht jede Division ausführen zu müssen, helfen die Teilbarkeitsregeln. Mit der Teilbarkeit einer Zahl durch eine andere ist hier immer gemeint, dass bei der Division kein Rest bleibt. Würde man Reste zulassen, so wäre jede Zahl durch jede andere teilbar. Der Begriff der Teilbarkeit wäre dann sinnlos, um Zahlen voneinander zu unterscheiden. Die Teilbarkeit durch verschiedene Divisoren ist unterschiedlich leicht zu erkennen. Teilbarkeit durch die Divisoren $3$ bzw. $9$ kannst du mit der Quersumme testen. Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Die Quersumme der Zahl $348$ ist also:

  $3 + 4 + 8 =15$

  Im Einzelnen bedeuten diese Teilbarkeitsregeln folgendes:

  Durch $3$ teilbar ist eine Zahl genau dann, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

  • Die Zahl $348$ ist demnach durch $3$ teilbar, denn ihre Quersumme ist $15$. Diese Zahl ist durch $3$ teilbar, denn die Division $15:3=5$ geht ohne Rest auf.

  Eine Zahl ist durch $9$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist.

  • Die Zahl $348$ ist also nicht durch $9$ teilbar. Denn ihre Quersumme ist $15$ und $15$ ist nicht durch $9$ teilbar. Die Division geht nicht ohne Rest auf: $15:9 = 1$ Rest $6$.

  Eine Zahl ist genau dann durch $6$ teilbar, wenn sie durch $3$ und $2$ teilbar ist.

  • Dass sie durch $2$ teilbar ist bedeutet, dass die Zahl gerade ist. Ob eine Zahl gerade ist, kannst du stets an ihrer letzten Ziffer erkennen: Ist die letzte Ziffer gerade (also $0$ oder $2$ oder $4$ oder $6$ oder $8$), so ist auch die Zahl selbst gerade. Die Zahl $348$ ist durch $6$ teilbar, denn sie ist durch $3$ und $2$ teilbar. Ihre letzte Ziffer ist nämlich $8$ und daher eine gerade Zahl.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Die Quersumme von $348$ ist $3+4+8=15$.

  Die Differenz zweier Zahlen enthält ein Minuszeichen.

  Jede durch $6$ teilbare Zahl ist auch durch $2$ und durch $3$ teilbar.

  Lösung

  Folgende Sätze sind richtig:

  • „Die Quersumme einer Zahl ... ist die Summe ihrer Ziffern.“ Dies ist die Definition der Quersumme.

  • „Die Teilbarkeit durch $3$ ... kannst du mit der Quersumme bestimmen.“ Denn eine Zahl ist genau dann durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

  • „Durch $9$ teilbar ist jede Zahl, ... deren Quersumme durch $9$ teilbar ist.“ Jede dieser Zahlen ist auch durch $3$ teilbar, denn $3$ ist ein Teiler von $9$.

  • „Teilbar durch $6$ ist jede Zahl, ... die gerade und durch $3$ teilbar ist.“ Du kannst die Teilbarkeit also nicht allein mit der Quersumme testen, sondern musst zusätzlich darauf achten, ob die letzte Ziffer gerade ist.

• Analysiere die Teilbarkeit der Zahlen.

  Tipps

  Teilbarkeit durch $3$ und durch $9$ kannst du allein mit der Quersumme testen.

  Eine Zahl ist genau dann durch $2$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch $2$ teilbar ist.

  Bilde zuerst die Quersumme und prüfe, ob sie durch $9$ teilbar ist. Wenn das nicht der Fall ist, so prüfe, ob die Quersumme durch $3$ teilbar ist und / oder ob die Zahl gerade ist.

  $348$ ist nicht durch $9$ teilbar, weil $3+4+8=15$ nicht durch $9$ teilbar ist.

  Lösung

  Wir nutzen folgende Teilbarkeitsregeln:

  • Durch $3$ teilbar ist eine Zahl, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
  • Durch $9$ teilbar ist eine Zahl, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist.
  • Durch $6$ teilbar ist eine Zahl, wenn sie durch $3$ und $2$ teilbar ist. Durch $2$ teilbare Zahlen sind gerade.

  Hier sollst du die Zahlen jeweils dem größten Teiler von $2$, $3$, $6$ und $9$ zuordnen. So ist z.B. die Zahl $432$ teilbar durch $2$, $3$, $6$ und $9$. Sie ist der $9$ zuzuordnen, da $9$ der größte der vorgegebenen Teiler ist. Dem Teiler $2$ darfst du also nur gerade Zahlen zuordnen, deren Quersumme nicht durch $3$ und $9$ teilbar ist. Dies ist z.B. die Zahl $5.432$, denn $5+4+3+2 = 14$.

  So erhältst du folgende Zuordnung:

  Teiler $3$:

  • $123$
  • $345$

  Teiler $6$:

  • $678$
  • $798$

  Teiler $9$:

  • $3.456$
  • $432$

  Teiler $2$:

  • $1.234$
  • $5.432$

• Analysiere die Teilbarkeit der jeweiligen Zahlen.

  Tipps

  Jede durch $9$ teilbare Zahl ist auch durch $3$ teilbar, aber nicht umgekehrt.

  Bilde zuerst die Quersumme und prüfe, ob sie durch $9$ teilbar ist. Wenn das nicht der Fall ist, so prüfe, ob die Quersumme durch $3$ teilbar ist. Prüfe dann, ob die Zahl gerade ist.

  Lösung

  Wir nutzen folgende Teilbarkeitsregeln:

  • Durch $3$ teilbar ist eine Zahl, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist. So ist z.B. $249$ durch $3$ teilbar, denn die Quersumme ist $2+4+9=15$.
  • Durch $9$ teilbar ist eine Zahl, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist. Hier ist $405$ durch $9$ teilbar, denn die Quersumme ist $4+0+5=9$.
  • Durch $6$ teilbar ist eine Zahl, wenn sie durch $3$ und $2$ teilbar ist. Durch $2$ teilbare Zahlen sind gerade. $858$ ist durch $6$ teilbar, denn die Quersumme ist $8+5+8=21$ und $858$ ist gerade.

  Jede durch $9$ teilbare Zahl ist auch durch $3$ teilbar, jede durch $6$ teilbare Zahl ebenfalls. Jede durch $9$ teilbare gerade Zahl ist ebenfalls durch $6$ teilbar. In der Aufgabe sollst du von den Teilern $3$, $6$ und $9$ jeweils den größten auswählen. So ist z.B. $792$ durch $3$, durch $6$ und durch $9$ teilbar. Korrekt ist die Markierung von $792$ mit Violett, da $9$ der größtmögliche angegebene Teiler von $792$ ist.

  So erhältst du folgende Zuordnungen von Zahlen zu den Teilern:

  Teiler $3$:

  • $231$
  • $249$
  • $633$

  Teiler $6$:

  • $240$
  • $582$
  • $858$

  Teiler $9$:

  • $207$
  • $288$
  • $792$

  Alle anderen Zahlen sind weder durch $3$, noch durch $6$, noch durch $9$ teilbar.

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Der Quotient ist das Ergebnis einer Division.

  $12$ ist durch $6$ teilbar, denn $12:6=2$.

  $17$ ist nicht ohne Rest durch $3$ teilbar.

  Lösung

  Teilbarkeit durch $3$ kannst du mit der Quersumme testen: Eine Zahl ist genau dann durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist. Durch $2$ teilbar ist jede gerade Zahl, also jede Zahl, deren letzte Ziffer gerade ist ($0$ oder $2$ oder $4$ oder $6$ oder $8$). Mit Teilbarkeit ist dabei immer gemeint, dass die Division ohne Rest aufgeht.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Mit Teilbarkeit von Zahlen meint man die Teilbarkeit ohne Rest.“ Dies ist die Definition der Teilbarkeit. Würde man Reste zulassen, so wäre jede Zahl durch jede andere teilbar und der Begriff der Teilbarkeit sinnlos.

  • „Jede gerade Zahl ist durch $2$ teilbar.“ Gerade Zahlen sind die durch $2$ teilbaren Zahlen, ungerade Zahlen sind die nicht durch $2$ teilbaren Zahlen.

  • „Jede durch $6$ teilbare Zahl ist auch durch $3$ teilbar.“ Denn $3$ ist selbst ein Teiler von $6$. Das Ergebnis der Division durch $3$ ist doppelt so groß wie das Ergebnis der Division durch $6$, denn der Divisor $3$ ist halb so groß wie der Divisor $6$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Bei der Division mit Rest nennt man den Rest auch Quotient.“ Der Quotient ist das Ergebnis einer Division, also die Zahl, die beim Teilen herauskommt. Bei der Division $15:3=5$ ist $15$ der Dividend, $3$ der Divisor und $5$ der Quotient. Auch bei Divisionen mit Rest ist der Quotient das Ergebnis des Teilens, nicht der Rest. Bei der Division $17:3 = 5$ Rest $2$ ist $5$ der Quotient.

  • „Jede ungerade Zahl ist durch $3$ teilbar.“ Jede zweite Zahl ist ungerade, aber nur jede dritte Zahl ist durch $3$ teilbar. Deswegen gibt es viele ungerade Zahlen, die nicht durch $3$ teilbar sind, z.B. $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$ ...

  • „Jede durch $3$ teilbare Zahl ist ungerade.“ Tatsächlich ist jede zweite durch $3$ teilbare Zahl gerade. Das erkennst du, wenn du die durch $3$ teilbaren Zahlen der Reihe nach durchgehst: $3$, $6$, $9$, $12$, $15$, $18$ ...

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Bei drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist genau eine durch $3$ teilbar. Bestimme die Reste beim Teilen durch $3$ für die beiden anderen der drei Zahlen.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Eine gerade Zahl mit durch $9$ teilbarer Quersumme ist durch $18$ teilbar.“ Da $9$ und $2$ keine gemeinsamen Teiler haben, ist eine Zahl, die durch $2$ und durch $9$ teilbar ist, auch durch $2 \cdot 9$ teilbar.

  • „Jede durch $5$ teilbare Zahl mit durch $3$ teilbarer Quersumme ist durch $15$ teilbar.“ Teilbarkeit durch $3$ und durch $5$ impliziert Teilbarkeit durch $3 \cdot 5=15$, da $3$ und $5$ keine gemeinsamen Teiler haben.

  • „Jede Summe aus drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch $3$ teilbar.“ Da jede dritte Zahl durch $3$ teilbar ist, muss genau eine der drei Zahlen durch $3$ teilbar sein. Die beiden anderen haben dann den Rest $1$ bzw. $2$ bei Division durch $3$. Die Summe dieser drei Zahlen ist durch $3$ teilbar, weil sich die Reste bei Division durch $3$ zu $3$ addieren. So ist z.B. von den drei Zahlen $11$, $12$ und $13$ genau die $12$ durch $3$ teilbar. $11$ hat den Rest $2$ bei Division durch $3$, denn $11:3 = 3$ Rest $2$. Und $13$ hat den Rest $1$, denn $13 = 12+1$, also $13:3 =4$ Rest $1$. Nun ist $11+12+13 = (9+2) + 12 + (12+1) = (9+12+12) + (2+1)$. Jeder Summand dieser Summe ist durch $3$ teilbar, also auch die Summe.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Eine Zahl ist genau dann durch $9$ teilbar, wenn sie durch $3$ teilbar und die Quersumme ungerade ist.“ Die Zahl $21$ ist durch $3$ teilbar und hat eine ungerade Quersumme. Aber $21$ ist nicht durch $9$ teilbar.

  • „Ist eine Zahl durch $6$ und durch $9$ teilbar, so ist sie auch durch $6 \cdot 9$ teilbar.“ Da $6$ und $9$ den gemeinsamen Teiler $3$ haben, kann man nicht von der Teilbarkeit durch die Faktoren $6$ und $9$ auf die Teilbarkeit durch das Produkt $6 \cdot 9$ schließen. Z.B. ist die Zahl $72$ durch $6$ und durch $9$ teilbar, aber nicht durch $6 \cdot 9=54$.

  • „Ist eine Zahl durch $3$ und durch $6$ teilbar, so ist sie auch durch $9$ teilbar.“ Teilbarkeit durch $3$ und durch $9$ kannst du allein mit der Quersumme testen. Aber eine Zahl ist nur dann durch $6$ teilbar, wenn die Quersumme durch $3$ teilbar und die Zahl selbst gerade ist. Z.B. ist die Zahl $42$ durch $3$ und durch $6$ teilbar, aber nicht durch $9$.