Summenregel – Übung

Summenregel zur Teilbarkeit natürlicher Zahlen – Erklärung

Die Summenregel zur Teilbarkeit besagt, dass eine natürliche Zahl, die Teiler zweier oder mehrerer Zahlen ist, auch Teiler der Summe dieser Zahlen ist.

Die Summenregel gilt nicht nur für Summen, sondern auch für Differenzen mehrerer Zahlen.

Auch bei längeren Aufgaben, die zum Beispiel aus $3$, $4$ oder sogar $10$ Summanden oder Subtrahenden bestehen, gilt die Summenregel. Es gibt keine Grenze, bis zu welcher Anzahl von Summanden bzw. Subtrahenden die Summenregel anwendbar ist.

Du kannst die Summenregel nutzen, um die Teilbarkeit von Zahlen zu überprüfen und Divisionsaufgaben mit großen Zahlen schneller und einfacher im Kopf zu rechnen.

Summenregel – Beispiele für Summen und Differenzen

Um die Summenregel bei einer Divisionsaufgabe mit einer großen Zahl anzuwenden, teilst du die Zahl zuerst in einzelne Summanden auf, deren Summe deine Zahl ergibt. Die Anzahl der Summanden kannst du frei wählen. Achte aber darauf, dass du die Zahl in sinnvolle Summanden aufteilst, die dir bei deiner Rechnung weiterhelfen.

Beispiel $1$

Wenn du berechnen möchtest, ob die Zahl $483$ durch die Zahl $4$ teilbar ist, kannst du die Summenregel anwenden. Du musst die Zahl $483$ zunächst geschickt in Summanden aufteilen. Das bedeutet, du suchst so lange Summanden, die durch $4$ teilbar sind, bis das nicht mehr möglich ist.

Die Zahl $483$ lässt sich beispielsweise in folgende Summanden aufteilen:

$483 = 400 + 80 + 3$

Du überprüfst nun für jeden einzelnen Summanden, ob dieser durch $4$ teilbar ist.

$400$ ist durch $4$ teilbar, denn:

$4 \cdot 100 = 400$

$80$ ist ebenfalls durch $4$ teilbar, denn:

$4 \cdot 20 = 80$

Der dritte Summand $3$ ist jedoch nicht durch $4$ teilbar, denn:

$1 \cdot 4 = 4$

Da nicht alle Summanden durch $4$ teilbar sind, ist die $483$ nicht durch $4$ teilbar.

Beispiel $2$

Wenn du herausfinden möchtest, ob die Zahl $18\,936$ durch $3$ teilbar ist, kannst du sie zum Beispiel in folgende Summanden aufteilen:

$18\,936 = 18\,000 + 900 + 36$

Ziel dabei ist es, jeden Summanden so zu wählen, dass er durch $3$ teilbar ist. Das können wir im Folgenden überprüfen.

$18\,000$ ist durch $3$ teilbar, denn:

$3 \cdot 6\,000 = 18\,000$

$900$ ist ebenfalls durch $3$ teilbar, denn:

$3 \cdot 300 = 900$

Auch der dritte Summand $36$ ist durch $3$ teilbar, denn:

$3 \cdot 12 = 36$

Da alle drei Summanden durch $3$ teilbar sind, muss $3$ auch ein Teiler von $18\,936$ sein.

Beispiel $3$

Wenn du herausfinden möchtest, ob die Zahl $14\,750$ durch $7$ teilbar ist, suchst du zunächst wieder Summanden, die durch $7$ teilbar sind, bis das nicht mehr möglich ist.

Du kannst die Zahl zum Beispiel in folgende Summanden aufteilen:

$14\,750 = 14\,000 + 700 + 50$

Als Nächstes überprüfst du für jeden einzelnen Summanden, ob dieser durch $7$ teilbar ist.

$14\,000$ ist durch $7$ teilbar, denn:

$7 \cdot 2\,000 = 14\,000$

$700$ ist ebenfalls durch $7$ teilbar, denn:

$7 \cdot 100 = 700$

Der dritte Summand $50$ ist nicht durch $7$ teilbar, denn:

$7 \cdot 7 = 49$

und

$8 \cdot 7 = 56$

Da einer der Summanden nicht durch $7$ teilbar ist, kann $7$ auch kein Teiler von $14\,750$ sein.

Beispiel $4$

Wenn du herausfinden möchtest, ob die Zahl $37\,738$ durch $4$ teilbar ist, kannst du sie statt in Summanden auch in Minuenden und Subtrahenden aufteilen, die du auf die Teilbarkeit durch $4$ prüfst.

Dabei ist zum Beispiel folgende Aufteilung möglich:

$37\,778 = 40\,000 - 2\,000 - 22$

Als Nächstes überprüfst du, wie auch für eine Summe, bei jedem einzelnen Minuenden und Subtrahenden, ob dieser durch $4$ teilbar ist.

$40\,000$ ist durch $4$ teilbar, denn:

$4 \cdot 10\,000 = 40\,000$

$2\,000$ ist ebenfalls durch $4$ teilbar, denn:

$4 \cdot 500 = 2\,000$

Der Subtrahend $22$ ist nicht durch $4$ teilbar, denn:

$4 \cdot 5 = 20$

und

$4 \cdot 6 = 24$

Da einer der Subtrahenden nicht durch $4$ teilbar ist, kann $4$ auch kein Teiler von $37\,778$ sein.

Summenregel – Übungen

Summenregel – Zusammenfassung

Laut der Summenregel ist eine natürliche Zahl, die Teiler zweier oder mehrerer Zahlen ist, auch Teiler der Summe dieser Zahlen.

Die Summenregel gilt auch für Differenzen mehrerer Zahlen.

Du kannst die Summenregel anwenden, um die Teilbarkeit von Zahlen schneller und einfacher im Kopf zu überprüfen.