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Parabelscharen

Parameter, Funktionenschar, Ortskurve, Spur

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was ist eine quadratische Funktion?

Eine quadratische Funktionsgleichung hat die Form f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c. Dabei hängt der Funktionsgraph der quadratischen Funktion von den Parametern aa, bb und cc ab. Übrigens: Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Wenn eine Funktion ff zusätzlich zu der Variablen xx auch noch einen Parameter hat, so spricht man von einer Funktionenschar. Die zugehörigen Funktionsgraphen werden schließlich als Parabelschar bezeichnet.

Veränderung des Parameters aa

Wenn du zum Beispiel die Funktionenschar faf_{a} mit fa(x)=f_{a}(x)= ax2ax^{2} betrachtest, erkennst du, dass alle Parabeln den gemeinsamen Scheitelpunkt O(00)O(0|0), den Koordinatenursprung, haben. Sie unterscheiden sich zum einen dadurch, dass sie nach oben oder unten geöffnet sind, und zum anderen dadurch, wie weit sie geöffnet sind.

Hier siehst du Parabeln zu verschiedenen Werten für den Parameter aa, welcher auch als Streckfaktor bezeichnet wird. Die gelbe Parabel ist die Normalparabel zu der Funktion ff mit f(x)=x2f(x)=x^{2}.

996_Parabeln_(a).jpg

  • Die blaue Parabel ist gestreckt. Sie gehört zu der Funktionsgleichung h(x)=4x2h(x)=4x^{2}.
  • Die grüne Parabel ist gestaucht. Sie gehört zu der Funktionsgleichung k(x)=12x2k(x)=\frac12x^{2}.

Veränderung des Parameters cc

Hierfür schauen wir uns die Funktionenschar fcf_{c} mit fc(x)=x2+cf_{c}(x)=x^{2}+c an. Wenn du cc veränderst, wird die Parabel entlang der yy-Achse verschoben. Die Parabel wird nach oben verschoben, wenn c>0c\gt 0 ist und für c<0c\lt 0 nach unten.

Hier siehst du Parabeln zu verschiedenen Werten für den Parameter cc. Wieder ist die gelbe Parabel die Normalparabel zu f(x)=x2f(x)=x^{2}.

996_Parbelen_(c).jpg

  • Die blaue Parabel ist nach oben verschoben. Sie gehört zu der Funktionsgleichung h(x)=x2+2h(x)=x^{2}+2.
  • Die grüne Parabel ist nach unten verschoben. Sie gehört zu der Funktionsgleichung k(x)=x21k(x)=x^{2}-1.

Veränderung des Parameters bb – Ortskurven

Schau dir die Funktionenschar fbf_b mit fb(x)=x2+2bx+2f_{b}(x)=x^2+2bx+2 an. Wir möchten untersuchen, wie die Scheitelpunkte der Parabeln von dem Parameter bb abhängen. Da in diesem Beispiel der Streckfaktor a=1a=1 positiv ist, sind die zugehörigen Parabeln der Parabelschar alle nach oben geöffnet. Der Scheitelpunkt ist also der jeweils tiefste Punkt der Parabel.

Bestimmen des tiefsten Punktes

Wie bestimmst du den tiefsten Punkt, also das Minimum, einer Funktion? Richtig, du benötigst die ersten beiden Ableitungen fb(x)f'_{b}(x) sowie fb(x)f''_{b}(x) der Funktion. Dann löst du die Gleichung fb(x)=0f'_{b}(x)=0. Die zweite Ableitung ist in diesem Fall immer größer als 00.

Los geht’s:

  • fb(x)=2x+2bf'_{b}(x)=2x+2b,
  • fb(x)=2>0f''_{b}(x)=2\gt 0.

Löse nun die Gleichung fb(x)=0f'_{b}(x)=0, also 2x+2b=02x+2b=0.

2x+2b=02b2x=2b:2x=b\begin{array}{rclll} 2x+2b&=&0&|&-2b\\ 2x&=&-2b&|&:2\\ x&=&-b \end{array}

Berechne nun die yy-Koordinate des Scheitelpunktes y=fb(b)=(b)2+2b(b)+2=b2+2y=f_{b}(-b)=(-b)^2+2b(-b)+2=-b^{2}+2.

Der Scheitelpunkt S(bb2+2)S\left(-b|-b^{2}+2\right) hängt also sowohl in der xx- als auch in der yy-Koordinate von dem Parameter bb ab.

Im Folgenden siehst du drei Parabeln:

996_Parabeln_(b)_1.jpg

  • b=0b=0: Die blaue Parabel hat den Scheitelpunkt S(02)S(0|2).
  • b=1b=1: Die gelbe Parabel hat den Scheitelpunkt S(11)S(-1|1).
  • b=2b=-2: Die grüne Parabel hat den Scheitelpunkt S(22)S(2|-2).

Jeden dieser Scheitelpunkte erhältst du durch Einsetzen des jeweiligen Wertes für bb in den oben berechneten Scheitelpunkt.

Herleitung der Ortskurve

Was ist eigentlich eine Ortskurve? Auf einer Ortskurve liegen alle Punkte einer Funktionenschar, die eine gemeinsame Eigenschaft haben. In diesem Beispiel sind dies die Scheitelpunkte, also Minima, der Funktionenschar.

Wie kannst du eine solche Ortskurve bestimmen? Du gehst so vor:

  1. Forme die xx-Koordinate des Scheitelpunktes nach dem Parameter um. Wenn du die Gleichung x=bx=-b mit 1-1 multiplizierst, erhältst du b=xb=-x.
  2. Setze den so gefundenen Parameter in die yy-Koordinate ein: y=y(x)=(x)2+2=x2+2y=y(x)=-(-x)^{2}+2=-x^2+2.

Du hast die Funktionsgleichung der Ortskurve gefunden. Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel, welche um 22 Einheiten nach oben verschoben ist:

996_Parabeln_(b)_2.jpg

Du kannst erkennen, dass auf der rot eingezeichneten Parabel, der Ortskurve, die Scheitelpunkte der drei dargestellten Parabeln liegen.

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Parabelscharen (2 Arbeitsblätter)