Funktionsscharen

Was ist eine Funktionsschar?

Schau dir beispielsweise die Funktionsgleichung $f(x)=3x^{2}$ an. Diese enthält die Variablen $y=f(x)$ und $x$. Wenn nun zusätzlich eine weitere Variable in der Funktionsgleichung vorkommt, spricht man von einer Funktionsschar. Ein Beispiel für eine Funktionsschar wird durch diese Gleichung dargestellt:

$f_{a}(x)=a\cdot x^{2}$.

Die zusätzliche Variable $a$ wird Parameter genannt. Insgesamt ergibt sich dann nicht nur ein Funktionsgraph, sondern für jeden Wert des Parameter ein neuer Funktionsgraph. Die Parameter in einer Funktionsschar nennt man auch Formvariablen.

Hinweis: Bei dieser Funktionsschar erhältst du durch $a=3$ die Funktion von oben.

Funktionen mithilfe von Parametern transformieren

Durch das Einfügen eines Parameters kann eine Funktion transformiert werden. Die Art der Transformation hängt davon ab, an welcher Stelle der Parameter in der Funktionsgleichung eingefügt wird.

Im Folgenden schauen wir uns die quadratische Funktion mit der Gleichung $f(x) = x^{2}$ an. Zusätzlich betrachten wir einen Parameter $a$ und dessen Auswirkung auf den Graphen der Funktion:

• Eine Verschiebung entlang der $y$-Achse wird durch eine Addition oder eine Subtraktion von $a$ erreicht. Die Funktionsschar lautet $f_{a}(x) = x^{2} + a $ bzw. $f_{a}(x) = x^{2} - a$.
• Eine Verschiebung entlang der $x$-Achse wird durch eine Addition oder Subtraktion von $a$ erreicht, die vor dem Quadrieren ausgerechnet werden muss. Die Funktionsschar lautet $f_{a} (x) = (x+a)^{2}$ bzw. $f_{a}(x) = (x-a)^{2}$.
• Eine Stauchung oder eine Streckung wird durch den Faktor vor dem $x^{2}$ bestimmt. Die Funktionsschar lautet $f_{a}(x) = a\cdot x^{2}$. Abhängig davon ob $a$ positiv oder negativ ist, wird hierdurch auch bestimmt, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist.

Ortskurve

Eine Funktion die eine Formvariable enthält bildet für jede dieser Formvariablen einen neuen Funktionsgraphen. Nun kannst du für jede Funktionsschar (analog zu Funktionen ohne Parameter) bestimmte besondere Punkte wie zum Beispiel Extrempunkte berechnen. Bei Funktionsscharen gibt es allerdings die Besonderheit, dass die Koordinaten dieser Punkte vom Parameter abhängen können. Unter dieser Voraussetzung erhältst du für verschiedene Werte des Parameters verschiedene Koordinaten. Nun ist es möglich, eine Funktionsgleichung aufzustellen, auf der alle diese vom Parameter abhängenden Extrempunkte liegen. Die Funktion, die durch diese Funktionsgleichung gegeben ist, nennt sich Ortskurve der Extrempunkte.

Funktionsscharen verschiedener Funktionen

Eine Formvariable kann nicht nur bei quadratischen Funktionen eingefügt werden. Dabei kann die Formvariable an ganz verschiedenen Stellen in der Funktionsgleichung eingefügt werden. Wie dies bei gebrochenrationalen, Potenz-, Wurzel-, Exponential-, Logarithmus und Winkelfunktionen funktioniert und was du dabei beachten musst, kannst du dir in den Videos genauer ansehen.