Verknüpfung von Funktionen

Verknüpfung von Funktionen Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Verknüpfen von Funktionen.

  Tipps

  Die Gleichung zur Addition zweier Funktionen lautet: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$.

  Immer wenn du Terme vereinfachst, kannst du gleichartige Terme zusammenfassen.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Die Differenz $(f-g)(x)$ der beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ lässt sich nicht berechnen.“

  • Auch die Differenz zweier Funktionen lässt sich berechnen. Die Gleichung dafür lautet: $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$.

  „Verknüpfst du zwei Funktionen, erhältst du am Ende keine Funktion, sondern eine Zahl.“

  • Beim Verknüpfen zweier Funktionen erhältst du am Ende eine neue Funktion. Setzt du in dieser Funktion etwas für die Variable ein, erhältst du eine Zahl. Natürlich kann es auch mal passieren, dass die resultierende Funktion keine Variable mehr enthält. In so einem Fall handelt es sich um eine konstante Funktion.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Um die Summe $(f+g)(x)$ der beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ zu bestimmen, kannst du die beiden Funktionen addieren.“

  • Die Gleichung zur Addition zweier Funktionen lautet: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$. Die beiden Funktionen werden also addiert.

  „Beim Verknüpfen von Funktionen kannst du gleichartige Terme zusammenfassen.“

  • Bei der Berechnung von verknüpften Funktionen musst du Terme vereinfachen. Dabei kannst du gleichartige Terme (z. B. alle Terme, in denen die Variable $x$ zur ersten Potenz erhoben wird) zusammenfassen.

  „Die Multiplikation $(f \cdot g)(x)$ der beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ kannst du so durchführen:

  $(f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)$“.

• Berechne die verknüpfte Funktion.

  Tipps

  Funktionen kannst du addieren, indem du zuerst aufschreibst, welche Funktionen du addieren möchtest, und anschließend die Funktionen einsetzt.

  Beim Subtrahieren von Funktionen solltest du darauf achten, eine Klammer um die Funktion, die du abziehst, zu schreiben. Anschließend musst du diese Klammer korrekt auflösen.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Die Funktion für die Gesamtkosten $k_{Gesamt}(x)$ kann er durch Addition der beiden Kostenfunktionen bestimmen:

  $k_{Gesamt}(x)=k_{Teppich}(x)+k_{Kuppel}(x)$.

  Anschließend setzt er die einzelnen Funktionen ein:

  $k_{Gesamt}(x)=100x+150+50x+100$“.

  • Funktionen kannst du addieren, indem du zuerst aufschreibst, welche Funktionen du addieren möchtest, und anschließend die Funktionen einsetzt.

  „Und vereinfacht den Term zu:

  $k_{Gesamt}(x)=150x+250$“.

  • Anschließend fasst du gleichartige Terme zusammen.

  „Anschließend möchte er die Funktion für die Gesamtkosten $k_{Gesamt}(x)$ von der Funktion für seinen Ertrag $e(x)=250x-750$ abziehen, um den Gewinn $g(x)$ zu bestimmen. Dazu führt er eine Subtraktion durch.

  $g(x)=e(x)-k_{Gesamt}(x)$

  Eingesetzt ergibt das:

  $g(x)=250x-750-(150x+250)$“.

  • Auch beim Subtrahieren von Funktionen schreibst du diese zunächst auf. Anschließend setzt du ein und rechnest aus. Hier solltest du allerdings darauf achten, eine Klammer um die Funktion, die du abziehst, zu schreiben. Anschließend musst du diese Klammer korrekt auflösen. Das stellt sicher, dass du alle Teile der Funktion abziehst.

  „Die Formel für seinen Gewinn beträgt also:

  $g(x)=100x - 1~000$“.

• Ermittle die Lösungen der verknüpften Funktionen.

  Tipps

  Bei den Subtraktionen musst du darauf achten, dass du die korrekte Reihenfolge der Funktionen wählst und beide Teile der Funktion subtrahierst. Schreibe dazu eine Klammer um die Funktion, die du abziehst, und löse sie korrekt auf.

  Bei der Multiplikation von Funktionen musst du alle Teile der Funktionen einzeln miteinander multiplizieren und das Ergebnis vereinfachen.

  Lösung

  Um die verschiedenen Verknüpfungen der Funktionen $f(x)=15x-5$ und $g(x)=20x-15$ zu bestimmen, musst du die Funktionen mit den entsprechenden Rechenoperationen verknüpfen und anschließend einsetzen. Dann erhältst du:

  $\begin{array}{ll} (f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\ &=15x-5+20x-15\\ &=35x-20\\ \end{array}$

  Bei den Subtraktionen musst du darauf achten, dass du die korrekte Reihenfolge der Funktionen wählst und beide Teile der Funktion subtrahierst. Schreibe dazu eine Klammer um die Funktion, die du abziehst und löse sie korrekt auf.

  $\begin{array}{ll} (f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\ &=15x-5-(20x-15)\\ &=15x-5-20x+15\\ &=-5x+10\\ \end{array}$

  $\begin{array}{ll} (g-f)(x)&=g(x)-f(x)\\ &= 20x-15-(15x-5)\\ &=20x-15-15x+5\\ &=5x-10\\ \end{array}$

  Bei der Multiplikation von Funktionen musst du alle Teile der Funktionen einzeln miteinander multiplizieren und das Ergebnis vereinfachen.

  $\begin{array}{ll} (g \cdot f)(x)&=g(x) \cdot f(x)\\ &=(20x-15) \cdot (15x-5)\\ &=20x \cdot 15x + 20x \cdot (-5) -15 \cdot 15x -15 \cdot (-5)\\ &=300x^2-100x-225x+75\\ &=300x^2-325x+75 \end{array}$

• Ermittle die Lösungen der Verknüpfungen.

  Tipps

  Für die Addition erhältst du:

  $\begin{array}{ll} t_{Gesamt}(x)&=t_{Fahrt}(x)+t_{Pause}(x) \\ \end{array}$

  Hier musst du noch die Funktionsgleichungen einsetzen und anschließend ausrechnen.

  Beachte bei der Subtraktion der Funktionen die Klammer um die zweite Funktion und die Vorzeichen jedes Terms.

  Lösung

  Du kannst die Lücken füllen, indem du die Funktionen wie angegeben verknüpfst und anschließend einsetzt. Für die Addition erhältst du:

  $\begin{array}{ll} t_{Gesamt}(x)&=t_{Fahrt}(x)+t_{Pause}(x) \\ &=3 \cdot x + 15+x+30 \\ &=4 \cdot x +45 \end{array}$

  Bei der Subtraktion ergibt sich Folgendes. Achte auf die Klammer und die Vorzeichen jedes Terms.

  $\begin{array}{ll} t_{ohne~ Pause}(x)&=t_{Fahrt}(x)-t_{Pause}(x) \\ &=3 \cdot x + 15-(x+30) \\ &=3 \cdot x + 15-x-30 \\ &=2\cdot x -15 \end{array}$

  Um die Funktionen zu multiplizieren, musst du jeden Summanden der Funktionen einzeln multiplizieren.

  $\begin{array}{ll} t_{Spaß }(x)&= t_{Fahrt}(x) \cdot t_{Pause}(x) \\ &=(3 \cdot x +15) \cdot(x+30) \\ &=3 x^2 +90x + 15x+450 \\ &=3 x^2+105 x + 450 \end{array}$

• Gib an, welche Rechenoperation verwendet wurde.

  Tipps

  Wie die verknüpften Funktionen entstanden sind, kannst du herausfinden, indem du die gegebenen Funktionen auf unterschiedliche Weise verknüpfst und anschließend vereinfachst. Dann kannst du überprüfen, ob deine berechnete Funktion einer der hier angegebenen entspricht.

  Lösung

  Wie die verknüpften Funktionen entstanden sind, kannst du herausfinden, indem du die gegebenen Funktionen auf unterschiedliche Weise verknüpfst und anschließend vereinfachst. Dann kannst du überprüfen, ob deine berechnete Funktion einer der hier angegebenen entspricht. So erhältst du:

  • $f(x)=2x+3$
  • $g(x)=4x-2$

  Die Funktion $e_2(x)$ ist durch Addition entstanden:

  • $f(x)+g(x)=2x+3 + 4x -2 = 6x+1$

  Die Funktionen $e_4(x)$ und $e_7(x)$ sind durch Subtraktion entstanden:

  • $f(x)-g(x)=2x+3 -(4x-2) = 2x+3-4x+2= - 2x + 5$
  • $g(x)-f(x)=4x-2 - (2x+3)= 4x - 2 - 2x - 3 = 2x - 5$

  Die Funktionen $e_3(x)$ ist durch die Multiplikation der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ entstanden. Du erkennst die Funktionen auch daran, dass sie Terme besitzen, die quadriert wurden, also hier ein $x^2$ enthalten.

  • $f(x) \cdot g(x)= (2x+3) \cdot (4x -2) = 8x^2 - 4x + 12x -6 = 8x^2 + 8x -6$

  Somit hat sich Luis offensichtlich dreimal verrechnet:

  • $e_1(x) = 6x+5$
  • $e_5(x)=4x^2+4x-6$
  • $e_6(x)= -2x-5$

• Entscheide, welche Funktionen korrekt verknüpft wurden.

  Tipps

  Auch bei komplexeren Verknüpfungen kannst du die Funktionen einsetzen, berechnen und weiter vereinfachen. Führst du diese Rechnungen durch, kannst du die korrekt berechneten Verknüpfungen bestimmen.

  Lösung

  Auch bei komplexeren Verknüpfungen kannst du die Funktionen einsetzen, berechnen und weiter vereinfachen. Führst du diese Rechnungen durch, kannst du die korrekt berechneten Verknüpfungen bestimmen. Dann erhältst du, dass diese Rechnungen falsch durchgeführt wurden:

  • „$g(x) \cdot \left(f(x)-h(x)\right) \neq 12x^2 -32x +10 $“.

  So kannst du die Rechnung korrekt durchführen:

  $\begin{array}{ll} g(x) \cdot \left(f(x)-h(x)\right)&=(3x-2) \cdot \left(5x-3-(x+2) \right)\\ &=(3x-2) \cdot (4x-5)\\ & = 12x^2-15x-8x+10\\ &=12x^2 -23x +10 \end{array}$

  • „$g^2(x)+h(x) \neq 9x^2-11x+3$“

  Hier erhältst du korrekterweise:

  $\begin{array}{ll} g^2(x)+h(x)&=(3x-2)^2+x+2\\ &= 9x^2-12x+4+x+2\\ &= 9x^2-11x+6 \end{array}$

  Diese Rechnungen wurden korrekt durchgeführt:

  $\begin{array}{ll} g(x) \cdot \left(f(x)+h(x)\right)&=(3x-2) \cdot \left(5x-3+x+2 \right)\\ &=(3x-2) \cdot (6x-1)\\ & = 18x^2-3x-12x+2\\ &=18x^2-15x+2 \end{array}$

  $\begin{array}{ll} f(x) \cdot h(x) -f(x)&=(5x-3) \cdot (x+2) -(5x-3)\\ &= 5x^2 +10x -3x-6 - 5x+3\\ &=5x^2 +2x-3 \end{array}$