Betragsfunktionen
Wenn du vertikale Striche in einem Funktionsterm siehst, dann hast du es mit einer Betragsfunktion zu tun. Im Lerntext findest du die wichtigsten Informationen dazu. Die Betragsstriche zeigen den Abstand zur Null an. Der Betrag einer Zahl wird ohne Vorzeichen berechnet. Verstehe die Betragsfunktionen und deren Transformationen! Interessiert? Das und mehr erfährst du im folgenden Text.
- Woran erkennt man Betragsfunktionen?
- Betragsfunktionen – was bedeuten die Betragsstriche?
- Der Graph der Betragsfunktion
- Transformierte Betragsfunktionen
- Verschiebung in $y$-Richtung
- Verschiebung in $x$-Richtung
- Strecken und Stauchen in $y$-Richtung
- Kombination von Transformationen
- Betragsfunktionen – Zusammenfassung
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Lerntext zum Thema Betragsfunktionen
Woran erkennt man Betragsfunktionen?
Begegnest du einem Funktionsterm, der senkrechte Striche enthält, dann handelt es sich um den Term einer Betragsfunktion. In diesem Lerntext erhältst du die wichtigsten Informationen, die du zu diesem Funktionstyp kennen solltest.
Betragsfunktionen – was bedeuten die Betragsstriche?
Steht eine Zahl zwischen Betragsstrichen, dann wird der Abstand dieser Zahl zur Null gesucht. Den Betrag einer Zahl kannst du ganz einfach bilden, indem du das Vorzeichen weglässt. Bei einer positiven Zahl ($+$ oder kein Vorzeichen) bleibt die Zahl gleich, bei einer negativen Zahl fällt das Minuszeichen weg. Der Betrag von null ist immer null.
Beispiele:
$\begin{array}{rcl} \vert 0 \vert & = & 0 \\ \vert +7 \vert & = & 7 \\ \vert {-}7 \vert &= & 7 \end{array}$
Der Betrag von $7$ und der Betrag von ${-}7$ haben beide das gleiche Ergebnis, da beide Zahlen den gleichen Abstand vom Nullpunkt auf der Zahlengerade haben. Mathematisch wird der Betrag wie folgt definiert:
$\vert x \vert= \begin{cases} x &\text{ für } x\geq 0 \\ {-}x &\text{ für } x<0 \end{cases}$
Man führt also eine Fallunterscheidung für die Zahl $x$ durch. Wenn die Zahl größer oder gleich null ist, dann ist der Betrag der Zahl genau diese Zahl. Wenn die Zahl kleiner als null ist, dann ist der Betrag davon das Negative der ursprünglichen Zahl, zum Beispiel $\vert {-}7\vert={-}({-}7)=+7=7$. Daher ist der Betrag immer eine nicht negative Zahl und du erhältst ihn durch Weglassen des Vorzeichens.
Für den Betrag werden auch die Begriffe Absolutbetrag oder Absolutwert und für $\vert x \vert$ die Schreibweise $abs(x)$ verwendet. Unter dieser Abkürzung findest du den Betrag häufig auf Taschenrechnern oder bei CAS.
Der Graph der Betragsfunktion
Zwischen zwei Betragsstrichen können nicht nur Zahlen, sondern auch Teile eines Funktionsterms stehen. Die einfachste Betragsfunktion ist $f(x)=\vert x \vert$. Sie ordnet jedem $x$-Wert seinen Betrag zu. Wir erhalten für die Wertetabelle:
| $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $4$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
Der zugehörige Funktionsgraph (in Grün) sieht dann so aus:
Der Graph ist achsensymmetrisch zur $x$-Achse und der Punkt $S(0\vert 0)$ wird als Scheitelpunkt bezeichnet.
Der Graph der Betragsfunktion ist aus zwei linearen Funktionen zusammengesetzt. Um den Aufbau des Graphen besser zu verstehen, kannst du wieder die Fallunterscheidung durchführen:
- Für $x \geq 0$ (rechte Seite, in der Skizze rot) gilt $f(x)=\vert x \vert=x$. Es ist eine lineare Funktion mit der Steigung $m=1$.
- Für $x<0$ (linke Seite, in der Skizze blau) gilt $f(x)=\vert x \vert={-}x$. Es ist eine fallende lineare Funktion mit $m={-1}$.
Der linke Teil des Graphen entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f(x)=x$ an der $x$-Achse.
Transformierte Betragsfunktionen
Die Betragsfunktion kann (wie alle anderen Funktionen auch) transformiert werden. Wir betrachten den Funktionsterm $g(x)=a \cdot \vert x{-}b \vert +c$ und beobachten, welche Auswirkungen die Parameter $a$, $b$ und $c$ auf den Graphen der Funktion $f(x)=\vert x \vert$ haben.
Verschiebung in $y$-Richtung
Wir betrachten zuerst $g(x)=\vert x \vert+c$. Die Funktion geht aus $f(x)=\vert x \vert$ hervor, indem zu jedem Funktionswert die gleiche Zahl c addiert wird.
Wir betrachten zwei Beispiele, erstellen jeweils die Wertetabelle und skizzieren die Funktionsgraphen:
- $c=4$, also $g_{1}(x)=\vert x \vert+4$ (lila Graph)
- $c={-}3$, also $g_{2}(x)=\vert x \vert {-}3$ (roter Graph)
| $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $4$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| $g_{1}(x)=\vert x \vert+4 $ | $8$ | $7$ | $6$ | $5$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
| $g_{2}(x)=\vert x\vert{-}3 $ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-2$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
$g_{1}$ (lila Graph): Da zu jedem Funktionswert die Zahl $4$ addiert wird, verschiebt sich jeder Punkt des Graphen um $4$ Einheiten nach oben.
$g_{2}$ (roter Graph): Da von jedem Funktionswert die Zahl $3$ subtrahiert wird, verschiebt sich jeder Punkt des Graphen um $3$ Einheiten nach unten.
Der Parameter $c$ in $g(x)=\vert x \vert+c$ verschiebt den Funktionsgraphen entlang der $y$-Achse:
nach oben für $c>0$ und nach unten für $c<0$
Verschiebung in $x$-Richtung
Wir betrachten $f(x)=\vert x {-}b\vert$. Die Funktion geht aus $f(x)=\vert x \vert$ hervor, indem von jedem $x$-Wert die gleiche Zahl subtrahiert und danach der Betrag gebildet wird.
Wir betrachten zwei Beispiele, erstellen jeweils die Wertetabelle und skizzieren die Funktionsgraphen:
- $b=2$, also $g_{1}(x)=\vert x {-}2\vert$ (lila Graph)
- $b={-}1$ also $g_{2}(x)=\vert x +1\vert \text{, da } \vert x{-}({-}1)\vert =\vert x+1\vert$ (roter Graph)
| $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $4$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| $g_{1}(x)=\vert x{-}2\vert$ | $6$ | $5$ | $4$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $g_{2}(x)=\vert x+1\vert$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
$g_{1}$ (lila Graph): Da von jedem $x$-Wert zunächst die $2$ subtrahiert und danach der Betrag gebildet wird, verschieben sich die Einträge in der Wertetabelle. Der neue Funktionswert entspricht demjenigen Funktionswert der alten Funktion, der dem um $2$ verringerten $x$-Wert zugeordnet wurde. Beispielsweise ist der neue Funktionswert von $x=2$ derjenige, der in der alten Funktion $x=0$ zugeordnet wurde (nämlich $y=0$). Der neue Funktionswert von $x=3$ entspricht dem alten Funktionswert von $x=1$ usw. Dadurch verschiebt sich jeder Punkt des Graphen um zwei Einheiten nach rechts.
$g_{2}$ (roter Graph): Zu jedem $x$-Wert wird $1$ addiert und danach die Betragsfunktion angewendet. Daher ist der neue Funktionswert derjenige, der zuvor dem um $1$ höheren Wert zugeordnet wurde. Dadurch verschiebt sich jeder Punkt des Graphen um eine Einheit nach links.
Der Parameter $b$ in $g(x)=\vert x {-}b\vert$ verschiebt den Funktionsgraphen entlang der $x$-Achse:
nach rechts für $b>0$ und nach links für $b<0$
Strecken und Stauchen in $y$-Richtung
Wir betrachten $g(x)=a \cdot \vert x \vert$. Die Funktion geht aus $f(x)=\vert x \vert$ hervor, indem jeder Funktionswert mit der gleichen Zahl $a$ multipliziert wird.
Wir betrachten zwei Beispiele, erstellen jeweils die Wertetabelle und skizzieren die Funktionsgraphen:
$a=2{,}5$, also $g_{1}(x)=2{,}5 \cdot \vert x \vert$ (lila Graph)
$a=0{,}1$, also $g_{2}(x)=0{,}1 \cdot \vert x \vert$ (roter Graph)
| $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $4$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| $g_{1}(x)=2{,}5\cdot\vert x\vert$ | $10$ | $7,5$ | $5$ | $2,5$ | $0$ | $2,5$ | $5$ | $7,5$ | $10$ |
| $g_{2}(x)=0{,}1\cdot \vert x\vert$ | $0,4$ | $0,3$ | $0,2$ | $0,1$ | $0$ | $0,1$ | $0,2$ | $0,3$ | $0,4$ |
$g_{1}$ (lila Graph): Jeder Funktionswert wird mit $2{,}5$ multipliziert, das heißt, der Abstand des Punkts von der $x$-Achse wird zweimal so groß. Die Form des Graphen verändert sich, er wird in die Länge gezogen, also in $y$-Richtung gestreckt.
$g_{2}$ (roter Graph): Jeder Funktionswert wird mit $0{,}1$ multipliziert, das heißt, der Abstand des Punkts von der $x$-Achse verringert sich auf ein Zehntel. Die Form des Graphen verändert sich, er wird zusammengedrückt, also in $y$-Richtung gestaucht.
Der Parameter $a$ in $g(x)=a \cdot \vert x\vert$ streckt bzw. staucht den Funktionsgraphen:
Streckung für $a>1$ und Stauchung für $0 < a < 1$
Kombination von Transformationen
In einem Funktionsterm können mehrere Parameter auftreten. Wir betrachten als Beispiel den Funktionsterm $g(x)=2{,}5 \cdot \vert x+1 \vert+5$. Dieser kann umgeschrieben werden in $g(x)=2{,}5 \cdot \vert x{-}({-}1) \vert +5$. Nun kann man die Parameter einzeln ablesen und deren Bedeutung für die Veränderung des Graphen beschreiben:
- $a=2{,}5$ heißt: Der Graph ist um den Faktor $2{,}5$ in y-Richtung gestreckt.
- $b={-}1$ heißt: Der Graph ist um eine Einheit nach links verschoben.
- $c=5$ heißt: Der Graph ist um fünf Einheiten nach oben verschoben.
Durch Anwendung aller drei Transformationen ergibt sich der abgebildete Graph. Beachte, dass der Scheitelpunkt des neuen Graphen bei $S({-}1\vert 5)$ liegt, also bei $S(b\vert c)$.
Übrigens ergibt sich bei $b=0$ und $c=0$ jeweils eine Verschiebung um null Einheiten, der Graph ändert seine Position also nicht. Bei $a=1$ wird der Graph um den Faktor $1 $ gezerrt, er wird also weder gestaucht noch gestreckt und seine Form bleibt unverändert. Es gilt $g(x)=1\cdot \vert x{-}0\vert + 0 = \vert x \vert$.
Betragsfunktionen – Zusammenfassung
- Bei Funktionen der Form $g(x)=a\cdot\vert x {-} b\vert + c$ handelt es sich um Betragsfunktionen.
- Betragsfunktionen setzen sich aus zwei linearen Funktionen zusammen, die im Scheitelpunkt $S(b\vert c)$ zusammentreffen.
- Die Parameter $a$ (Streckung bzw. Stauchung), $b$ (Verschiebung entlang der $x$-Achse) und $c$ (Verschiebung entlang der $y$-Achse) haben einen Einfluss auf den Verlauf der entsprechenden Funktionsgraphen.
Betragsfunktionen Übung
-
Gib zu den Graphen die Funktionsgleichungen an.
TippsEin Vorfaktor verändert immer die Streckung/Stauchung eines Graphen.
Werden Parameter hinzuaddiert, so wird ihr Graph auf einer der Achsen verschoben.
LösungBetrachten wir die Graphen der Reihe nach.
Bild 1: $f(x)=a\cdot |x|$
Der Graph dieser Betragsfunktion ist stärker in Richtung der y-Achse gestaucht als üblich. Hier wurde ein Faktor vor den Betrag gesetzt. Je größer dieser ist, desto stärker fällt/steigt der Graph der Betragsfunktion.
Bild 2: $f(x)=|x|+c$
Der Graph dieser Betragsfunktion wurde um zwei Einheiten auf der y-Achse nach unten verschoben. Hier wurde ein Parameter zum Argument der Funktion hinzuaddiert. Es hat den gleichen Einfluss wie bei einer linearen Funktion und gibt auch direkt den Schnittpunkt mit der y-Achse an. Hier wäre $c=-2$.
Bild 3: $f(x)=|x|$
Hier handelt es sich um die normale Betragsfunktion. Jeder Funktionswert ist der Betrag seines x-Wertes. Der Graph wurde nicht gestaucht oder verschoben.
Bild 4: $f(x)=|x+b|$
Der Graph dieser Betragsfunktion wurde entlang der x-Achse verschoben. Es wurde also kein Parameter hinter, sondern direkt in das Argument der Funktion eingefügt. Hierbei handelt es sich um $b=3$.
Wir merken uns für Betragsfunktionen:
Falls $f(x)=|x+b|$, so gilt
- eine Verschiebung nach links für $b>0$ und
- eine Verschiebung nach rechts für $b<0$
-
Bestimme die Punkte, die durch den Parameter entstehen.
TippsFür $f(x)=a\cdot |x|$ wird der Graph gestreckt oder gestaucht, behält den Scheitelpunkt aber bei.
Für $f(x)=|x+b|$ wird der Graph entlang der x-Achse verschoben. Für positive $b$ nach links und für negative $b$ nach rechts.
Für $f(x)=|x|+c$ wird der Graph entlang der y-Achse verschoben. Alle Funktionswerte ändern sich um $c$ Einheiten.
LösungBeginnen wir mit dem Parameter $a$. Wird er zur Funktion hinzugefügt, so staucht bzw. streckt sich der Graph der Funktion.
Sein Scheitelpunkt ändert sich hierdurch nicht; er bleibt $S(0|0)$. Es hat aber Einfluss auf die Funktionswerte von $P_1$ und $P_2$:
Die neuen Koordinaten sind $P_1(1|a\cdot 1)$ und $P_2(-1|a\cdot 1)$.
Beim Parameter $b$ wird der Graph nicht gestreckt oder gestaucht, sondern entlang der x-Achse verschoben. Dabei verschiebt er sich nach links, wenn $b>0$, und nach rechts, wenn $b<0$.
Somit ändert sich der x-Wert des Scheitelpunktes: $S$ wird zu $S(-b|0)$.
Auch von den x-Werten der Punkte $P_1$ und $P_2$ wird dieser Parameter abgezogen:
Die neuen Koordinaten sind $P_1(1-b|1)$ und $P_2(-1-b|1)$.
Beim Parameter $c$ findet auch eine Verschiebung statt, allerdings entlang der y-Achse, wie wir das auch schon von Graphen linearer Funktionen kennen.
Hier hat der Parameter Einfluss auf die Funktionswerte aller Punkte und gibt direkt den y-Achsenabschnitt an:
Die neuen Koordinaten sind $S(0|c)$, $P_1(1|1+c)$ und $P_2(-1|1+c)$.
-
Gib die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Achsen an.
TippsMan berechnet den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem man $f(0)$ berechnet.
Um einen oder mehrere Schnittpunkte mit der x-Achse zu ermitteln, setzt man $f(x)=0$.
Der Graph der angegebenen Funktion sieht folgendermaßen aus:
LösungFangen wir mit den Schnittpunkten mit der x-Achse an.
Für alle Punkte des Graphen auf der x-Achse muss der y-Wert der Funktion $0$ sein.
Wir setzen $y=0=f(x)$
$0= \begin{vmatrix}~|x|-2~\end{vmatrix}$
Die äußeren Betragsstriche können wir zunächst weglassen:
$0= |x|-2 \quad \Leftrightarrow \quad |x|=2$
Hier sieht man, dass es zwei mögliche Lösungen für $x$ geben kann, nämlich $2$ und $-2$, da $-2$ durch den Betrag wieder positiv wird.
Unsere Schnittpunkte mit der x-Achse sind also $(-2|0)$ und $(2|0)$.
Nun zum Schnittpunkt mit der y-Achse. Wir berechnen $f(0)$, da bei einem Punkt des Graphen auf der y-Achse $x=0$ gelten muss.
$f(0)= \begin{vmatrix}~|0|-2~\end{vmatrix}$
Hier lassen wir die äußeren Betragsstriche stehen und lassen dafür die inneren weg, da der Betrag von Null wieder Null ist:
$f(0)= |0-2|=|-2|=2$
Unser Schnittpunkt mit der y-Achse liegt also bei $(0|2)$.
-
Bestimme die Parameter der Funktionen.
TippsFür $f(x)=a\cdot |x|$ wird der Graph in y-Richtung gestreckt oder gestaucht, behält den Scheitelpunkt aber bei.
Für $f(x)=|x+b|$ wird der Graph entlang der x-Achse verschoben. Für positive $b$ nach links und für negative $b$ nach rechts.
Für $f(x)=|x|+c$ wird der Graph entlang der y-Achse verschoben. Alle Funktionswerte ändern sich um $c$ Einheiten.
LösungGehen wir die Graphen der Reihe nach durch.
Bild 1:
Hier wurde der Graph entlang der y-Achse verschoben. Das bedeutet, dass ein Parameter hinzuaddiert wurde, was allgemein so aussehen würde: $f(x)=|x|+c$.
Da in diesem Fall der Parameter den y-Achsenabschnitt angibt, können wir den Wert des Parameters als $c=2$ ablesen.
Bild 2:
Bei diesem Graphen sehen wir eine Verschiebung entlang der x-Achse. Das bedeutet, dass ein Parameter innerhalb des Arguments der Funktion hinzuaddiert wurde. Allgemein sieht das so aus:
$f(x)=|x+b|$
Wir erinnern uns: Für negative $b$ verschiebt man den Funktionsgraphen um $b$ Einheiten nach rechts, für positive nach links. Da der Graph zwei Einheiten nach rechts verschoben wurde, erhalten wir für den Wert des Parameters:
$b=-2$
Bild 3:
Dieser Funktionsgraph ist in Richtung der y-Achse gestreckt. Streckung und Stauchung erreicht man, indem man einen Vorfaktor verwendet, was allgemein so aussieht:
$f(x)=a\cdot |x|$
Die Funktionswerte verändern sich dann im Gegensatz zu einer normalen Betragsfunktion so:
$P(1|1)$ wird zu $P(1|a\cdot 1)$.
Wir können den Punkt $(1|2)$ ablesen, was bedeutet, dass dies der Wert des Parameters sein muss:
$a=2$
Bild 4:
Dieser Funktionsgraph besitzt drei, statt wie üblich einen Scheitelpunkt. Wie du an der Skizze erkennen kannst, wird die Betragsfunktion zunächst entlang der y-Achse um zwei Einheiten nach unten verschoben. Die Funktionsgleichung dafür lautet $f(x)=|x|-2$.
Dann wurde der Bereich von $-2$ bis $2$ an der x-Achse gespiegelt. Das bedeutet, dass der gesamte Funktionsterm noch einmal in einen Betrag gesetzt wurde, damit der Graph komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
Die gesuchte Funktion ist damit:
$f(x)=|~|x|-2|$
-
Bestimme, welcher Graph zur Betragsfunktion $f$ gehört.
TippsDer Betrag macht alle Werte innerhalb der Betragsstriche positiv.
Es gilt: $|-4| = 4$.
LösungDa der Betrag eines Wertes immer positiv ist, kann der Graph von $f(x)= |x|$ für alle möglichen x-Werte immer nur im positiven Bereich liegen.
Eine Wertetabelle kann dir immer helfen, markante Punkte des Graphen zu finden, um ihn dir besser vorstellen oder zeichnen zu können. Hier ist ein Beispiel für eine passende Wertetabelle:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&-2&-1&0&1&2 \\ \hline y&2&1&0&1&2 \end{array}$
Wir sehen also, dass die Betragsfunktion oberhalb der x-Achse und durch den Ursprung verlaufen muss.
-
Beschreibe den Verlauf des Graphen von $f$.
TippsLege dir eine Wertetabelle für $-5<x<5$ an.
Definitionslücken sind Werte, für die die Funktion nicht definiert ist. So ist die Definitionslücke von $f(x)=\frac{1}{x}$ gerade $x=0$, da man nicht durch null teilen darf.
Berechne mal den Betrag $|f|$ der Funktion $f$. Was fällt dir auf?
Schnittpunkte mit der y-Achse haben die Form $(0|f(0))$.
Willst du die Schnittstellen mit der x-Achse ausrechnen, so machst du den Ansatz $f(x)=0$.
LösungWir sehen die Funktion $f(x)=\frac{x}{|x|}$ hier blau im Bild. Bei $x=0$ haben wir eine Definitionslücke.
Mithilfe einer Wertetabelle kannst du dir ein paar markante Punkte berechnen und nach diesen dann den Graphen selbst zeichnen.
Wir sehen, dass der Graph sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verläuft. Das liegt daran, dass nur der Nenner und nicht der ganze Bruch im Betrag steht. So können auch negative Funktionswerte entstehen.
Es gibt keine Schnittpunkte mit der x-Achse, da der Graph parallel zu ihr verläuft. Somit haben wir auch keinen Scheitelpunkt, weil es sich um zwei zueinander parallele Geraden handelt.
Wir haben sogar eine Definitionslücke bei $x=0$, da wir nicht durch $0$ teilen dürfen. Daher haben wir auch keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.
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