Grundlagen zu geometrischen Figuren

Geometrie

Die Geometrie ist die Bezeichnung für ein mathematisches Gebiet, das sich mit verschiedenen räumlichen Elementen beschäftigt. Im Folgenden lernst du einige der grundlegenden Elemente der Geometrie kennen.

Punkte

Das grundlegendste Element der Geometrie ist der Punkt. Darunter versteht man anschaulich ein Objekt ohne Länge, Fläche und Volumen.

Geraden und Winkel

Eine Gerade wird aus Punkten gebildet und ist unendlich lang. Dabei reichen zwei Punkte aus, um eine Gerade eindeutig zu definieren. Betrachtet man nur einen auf beiden Seiten begrenzten Teil einer Geraden, erhält man eine Strecke. In der Abbildung siehst du eine Gerade (grün), eine Strecke (blau) und einen Strahl (rot). Ein Strahl hat einen Anfangspunkt aber keinen Endpunkt.

Wenn du dir zwei beliebige Geraden in der Ebene anschaust, gibt es drei Möglichkeiten:

• Die Geraden sind identisch.
• Die Geraden sind echt parallel. Das bedeutet, dass sie so „nebeneinander“ verlaufen, dass der Abstand immer gleich ist.
• Die Geraden haben genau einen Schnittpunkt.

Im letzten Fall schließen die beiden Geraden dann zwei Winkel ein.

Winkel werden üblicherweise mit griechischen Buchstaben $\alpha$ („alpha“ für „a“), $\beta$ („beta“ für „b“), $\gamma$ („gamma“ für „c“) ... bezeichnet. Jeder Winkel hat eine Größe, die in Grad angegeben werden kann. Ein voller Winkel hat dabei $360^\circ$. Ein spitzer Winkel ist größer als $0^\circ$ und kleiner als $90^\circ$. Der Winkel $\alpha$ in der Abbildung ist ein Beispiel für einen solchen Winkel.

Die Winkel, die von zwei senkrechten Geraden eingeschlossen werden, werden als rechte Winkel bezeichnet und haben eine Größe von $90^\circ$.

Geometrische Figuren

Nun lernst du einige geometrische Figuren kennen. Dabei handelt es sich um flache Figuren, die einen Flächeninhalt und einen Umfang haben.

Dreiecke, Vierecke und Vielecke

Eine der ersten Figuren, die du kennenlernst, ist das Dreieck. Wie der Name schon sagt, hat es drei Ecken, bzw. Eckpunkte. Diese werden mit drei Strecken (den Seiten) verbunden, wodurch drei Winkel entstehen.

Man kann Dreiecke ihren Eigenschaften entsprechend unterscheiden. Beispielsweise gibt es Dreiecke, bei denen alle drei Seiten gleich lang sind. Man spricht von gleichseitigen Dreiecken.

Oft beginnt man mit rechtwinkligen Dreiecken. Das sind Dreiecke, die einen rechten Winkel haben. In diesen gilt beispielsweise der berühmte Satz des Pythagoras.

Vierecke haben vier Ecken, vier Seiten und vier Winkel.

Einen Überblick über die Vierecke erhältst du im Haus der Vierecke.

Ganz allgemein kannst du Vielecke betrachten. Unter diesem Begriff fasst man Figuren mit $n$ Ecken zusammen, wobei $n$ eine natürliche Zahl größer oder gleich $3$ ist.

Kreise und Ellipsen

Kreise und Ellipsen werden mit Hilfe von Abständen zu einem bzw. zwei gegebenen Punkten definiert.

Bei einem Kreis wird der Mittelpunkt $M$ und der Radius $r$ vorgegeben. Unter dem Kreis verstehst du üblicherweise die Menge aller Punkte in einer Ebene, die vom Mittelpunkt $M$ den Abstand $r$ haben. Diese Menge wird auch Kreisrand genannt. Die Menge aller Punkte auf dem Kreisrand sowie innerhalb des Kreises wird als Kreisfläche bezeichnet.

Hast du schon einmal den Begriff des Durchmessers gehört? Der Durchmesser eines Kreises ist der doppelte Radius $d=2r$.

Eine Ellipse kann so definiert werden: Gegeben sind zwei Punkte, die sogenannten Brennpunkte der Ellipse. Die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu diesen beiden Brennpunkten immer gleich groß ist, wird als Ellipse bezeichnet.

Körper

Körper sind geometrische Figuren, welche eine räumliche Ausdehnung besitzen. Ein Beispiel für einen Körper ist ein Quader.

Von Körpern kannst du das Volumen und die Oberfläche berechnen.

Du kannst Körper auch zeichnen. Das kennst du vielleicht schon. Wenn du einen Körper zeichnest, fertigst du ein flaches Bild des Körpers an. Eine solche Darstellung wird als Schrägbild bezeichnet. Du kannst auch ein Körpernetz zeichnen. Ein Körpernetz eines Körpers erhältst du, wenn du den Körper an seinen Kanten aufschneidest und dann aufklappst. Du erhältst dann eine Fläche, die sich je nach Körper aus verschiedenen Einzelflächen zusammensetzt.

Schrägbilder von Quadern und Würfeln

Hier siehst du ein Schrägbild eines Quaders:

Dies ist ein Körpernetz eines Quaders:

Schrägbilder von Pyramiden

Du kannst von allen Körpern ein Schrägbild anfertigen. Hier siehst du das Schrägbild einer Pyramide (links) und daneben das zugehörige Netz einer Pyramide.

Übrigens: Von einer Kugel kannst du kein Netz anfertigen.