Sinussatz – Erklärung und Herleitung

Sinussatz – Erklärung und Herleitung Übung

• Gib an, welche Aussagen zu Sinus und Sinussatz richtig sind.

  Tipps

  Der Sinus ist definiert als das Längenverhältnis von Gegenkathete des betrachteten Winkels zur Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

  Lösung

  Der Sinus kann nur in rechtwinkligen Dreiecken angewendet werden. Dies erschließt sich auch aus seiner Definition: $\sin (\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von~} \alpha}{\text{Hypotenuse}}$
  Die Begriffe Gegenkathete und Hypotenuse gibt es nur im rechtwinkligen Dreieck. Die Hypotenuse liegt gegenüber des rechten Winkels und die Gegenkathete von $\alpha$ liegt gegenüber von $\alpha$.

  Der Sinus ist als Längenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck definiert. Wir können ihn nicht herleiten.

  Der Sinussatz hingegen kann in beliebigen Dreiecken angewendet werden. Er lautet: $\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = \dfrac{b}{\sin (\beta)} = \dfrac{c}{\sin (\gamma)}$

  Den Sinussatz in beliebigen Dreiecken können wir hingegen mithilfe des Sinus herleiten. Dazu teilen wir das beliebige Dreieck durch Einzeichnen einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke, in denen wir den Sinus anwenden können.

• Vervollständige die Herleitung des Sinussatzes.

  Tipps

  Der Sinus im rechtwinkligen Dreieck ist wie folgt definiert:
  $\sin (\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$

  Du kannst eine Gleichung umformen, indem du auf beiden Seiten der Gleichung mit demselben Wert multiplizierst.

  Lösung

  Wir können das Dreieck $ABC$ durch Einzeichnen der Höhe auf der Seite $c$ in zwei Dreiecke unterteilen. Da die Höhe senkrecht auf der Seite $c$ stehen muss, sind die beiden Dreiecke rechtwinklig.
  Wir können also in beiden Dreiecken den Sinus anwenden. Dieser ist wie folgt definiert:
  $\sin (\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$

  • Für das Dreieck $1$ gilt: $\quad\sin(\alpha) =\frac{h}{b}$
  • Für das Dreieck $2$ gilt: $\quad\sin(\beta) = \frac{h}{a}$

  Wir lösen die beiden Gleichungen nach $h$ auf, indem wir in der ersten Gleichung mit $b$ und in der zweiten Gleichung mit $a$ multiplizieren und erhalten:

  • bei Dreieck $1$: $\quad h=\sin(\alpha) \cdot b$
  • bei Dreieck $2$: $\quad h=\sin(\beta) \cdot a$

  Wir können die beiden Terme für $h$ gleichsetzen:

  $\sin(\alpha) \cdot b = \sin(\beta) \cdot a$

  Dies können wir umformen, indem wir durch $\sin(\alpha)$ und $\sin(\beta)$ teilen, und erhalten:

  $\begin{array}{rrrrr} \sin(\alpha) \cdot b& = & \sin(\beta) \cdot a & |: \sin(\beta) \\ \dfrac{\sin(\alpha) \cdot b}{\sin(\beta)}& = & a & |: \sin(\alpha)& \\ \dfrac{b}{\sin(\beta)} & = & \dfrac{a}{\sin(\alpha)} && \\ \end{array}$

• Formuliere den Sinussatz.

  Tipps

  Du kannst den Sinussatz durch Äquivalenzumformungen umschreiben.

  Die Umkehrrechnung zum Multiplizieren ist das Dividieren und umgekehrt. Auch ein Bruch stellt eine Division dar:
  $\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = a : \sin (\alpha)$

  Lösung

  Wir kennen den Sinussatz in der Form:
  $\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = \dfrac{b}{\sin (\beta)}$
  Wir können diese Gleichung durch Äquivalenzumformungen auch in anderer Form darstellen:

  $\begin{array}{rrlr} \dfrac{a}{\sin (\alpha)} & = & \dfrac{b}{\sin (\beta)} & |\cdot \sin (\alpha) \\ a & = & \dfrac{b}{\sin (\beta)} \cdot \sin (\alpha) &|\cdot \sin (\beta) \\ a \cdot \sin(\beta) & = & b \cdot \sin(\alpha) & \\ \end{array}$

  Und wir formen weiter um:

  $\begin{array}{rrlr} a \cdot \sin(\beta) & = & b \cdot \sin(\alpha) & | : \sin(\alpha) \\ \dfrac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} &=& b & | : a \\ \dfrac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} &=& \dfrac{b}{a} & | : a \\ \end{array}$

  Folgende Gleichungen stellen jedoch nicht den Sinussatz dar:

  • $a \cdot \sin (\alpha) = b \cdot \sin (\beta)$
  • $\sin (\alpha) \cdot \sin (\beta) = a \cdot b$
  • $\sin (\alpha) - \sin (\beta) = a - b$

• Leite den zweiten Teil des Sinussatzes her.

  Tipps

  Du kannst den Sinussatz mitilfe des Sinus herleiten. Dazu musst du zuerst rechtwinklige Dreiecke erzeugen, da der Sinus nur im rechtwinkligen Dreieck gilt.

  Ziel ist es, die Seiten $b$ und $c$ und die Winkel $\beta$ und $\gamma$ miteinander in Beziehung zu setzen.

  Lösung

  Wir können das Dreieck $ABC$ durch Einzeichnen der Höhe auf der Seite $a$ in zwei Dreiecke unterteilen. Da die Höhe senkrecht auf der Seite $a$ stehen muss, sind die beiden Dreiecke rechtwinklig.
  Wir können also in beiden Dreiecken den Sinus anwenden. Dieser ist wie folgt definiert:
  $\sin (\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von} ~\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

  • Für das obere Dreieck gilt: $\quad\sin(\gamma) =\frac{h}{b}$
  • Für das untere Dreieck gilt: $\quad\sin(\beta) = \frac{h}{c}$

  Wir lösen die beiden Gleichungen nach $h$ auf, indem wir in der ersten Gleichung mit $b$ und in der zweiten Gleichung mit $c$ multiplizieren und erhalten:

  • beim oberen Dreieck: $\quad h=\sin({\gamma}) \cdot b$
  • beim unteren Dreieck: $\quad h=\sin({\beta}) \cdot c$

  Wir können die beiden Terme für $h$ gleichsetzen:

  $\sin({\gamma}) \cdot b = \sin({\beta}) \cdot c$

  Dies können wir noch umformen und erhalten:

  $\dfrac{c}{\sin (\gamma)} = \dfrac{b}{\sin (\beta)}$

• Gib den Sinussatz an.

  Tipps

  Versuche dir die Struktur der Formel zu erschließen.

  Gegenüber von der Seite $a$ liegt der Winkel $\alpha$.
  Gegenüber von der Seite $b$ liegt der Winkel $\beta$.
  Gegenüber von der Seite $c$ liegt der Winkel $\gamma$.

  Lösung

  Der Sinussatz darf in beliebigen Dreiecken angewendet werden. Er lautet:

  $\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = \dfrac{b}{\sin (\beta)} = \dfrac{c}{\sin (\gamma)}$

  Es ist also stehts das Verhältnis zwischen einer Dreiecksseite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels gleich.

  Wir können mithilfe des Sinussatzes in einem Dreieck eine fehlende Seitenlänge oder auch einen fehlenden Winkel berechnen.

• Berechne die Seite $a$ mithilfe des Sinussatzes.

  Tipps

  Überlege dir, welche der drei Winkel du verwenden musst.

  Auf dem Taschenrechner gibt es eine Taste (sin), mit welcher du den Sinus eines bestimmten Winkels bestimmen kannst.

  Achte darauf, richtig zu runden. Betrachte dazu die Stelle hinter der Rundungsstelle: Ist diese $5$ oder größer, so wird aufgerundet. Andernfalls wird abgerundet.

  Lösung

  Der Sinussatz lautet:
  $\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = \dfrac{c}{\sin (\gamma)}$

  Der Winkel $\alpha$ liegt gegenüber der Seite $a$. In unserem Dreieck gilt $\alpha = 48^\circ$. Außerdem gilt: $c=15$ und $\gamma = 92^\circ$.

  Wir schreiben den Sinussatz um:

  $a \cdot \sin (\gamma) = c \cdot \sin (\alpha)$

  und setzen wie oben zugeordnet ein:

  $a \cdot \sin (92^\circ) =15\cdot \sin (48^\circ)\quad |: \sin (92^\circ) $

  $a = 15 \cdot \sin (48^\circ): \sin (92^\circ) $

  Wir geben den Term in den Taschenrechner ein und erhalten für $a$ auf eine Stelle nach dem Komma gerundet:

  $a= 14,7842483... \approx 14,8$