Sinussatz und Cosinussatz – Übungen

Sinussatz und Cosinussatz – Übungen Übung

• Bestimme den Winkel $\alpha$ mithilfe des Cosinussatzes für Piets Navigation.

  Tipps

  Isoliere zunächst $\cos(\alpha)$.

  Verwende hierfür Äquivalenzumformungen.

  Um bei gegebenem Cosinuswert den Winkel zu berechnen, muss der Cosinus umgekehrt werden.

  Dies ist die $\cos^{-1}$ Taste auf deinem Taschenrechner.

  Lösung

  In dieser brenzligen Situation kann Piet den Cosinussatz verwenden, da alle drei Seitenlängen bekannt sind. Da nach dem Winkel $\alpha$, dem Winkel in $A$, gesucht wird, kann man den folgenden Cosinussatz verwenden:

  $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$

  Um $\alpha$ zu berechnen, muss man diese Gleichung so umformen, dass $\cos(\alpha)$ alleine steht:

  $\begin{array}{rclll} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&-b^2-c^2\\ a^2-b^2-c^2&=&-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&:(-2bc)\\ \cos(\alpha)&=&\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc} \end{array}$

  Geschafft! Nun können die bekannten Werte für die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ in dieser Gleichung eingesetzt werden:

  $\cos(\alpha)=\frac{5,18^2-9^2-6^2}{-2~\cdot~9~\cdot~6}$

  Zuletzt wird mithilfe des Arcuscosinus $\cos^{-1}$, umgekehrt, um $\alpha$ zu isolieren, und man erhält:

  $\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{5,18^2-9^2-6^2}{-2~\cdot~9~\cdot~6}\right)\approx33,4^\circ$

  Mit dem Wissen, dass der Winkel $\alpha \approx33,4^\circ$ ist, kann Piet nun schnell losfahren, um den Leuchtturm zu reparieren.

• Berechne den Winkel $\beta$ mit dem Sinussatz für Piets Fahrt zum Cap Capri.

  Tipps

  Forme zunächst den Sinussatz so um, dass der Sinus des gesuchten Winkels alleine steht.

  Setze dann die bekannten Werte in diese umgeformte Formel ein und löse mit dem Taschenrechner. Die Umkehrung des Sinus ist der Arcussinus $\sin^{-1}$.

  Es werden nicht alle gegebenen Größen benötigt.

  Lösung

  Wir starten mit der Gleichung

  $\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}$

  Diese Gleichung gilt auch, wenn man auf beiden Seiten den Kehrwert bildet:

  $\frac{\sin(\alpha)}a=\frac{\sin(\beta)}b$

  Jetzt kannst du mit $b$ multiplizieren:

  $\sin(\beta)=\frac{\sin(\alpha)}a\cdot b$

  Nun kannst du die bekannten Werte einsetzen:

  $\sin(\beta)=\frac{\sin(33,4^\circ)}{5,18}\cdot 9$

  Zuletzt wird der Sinus mithilfe des Arcussinus, also $sin^{-1}$, umgekehrt, um $\beta$ zu isolieren:

  $\beta=\sin^{-1}\left(\frac{\sin(33,4^\circ)}{5,18}\cdot 9\right)\approx 73^\circ$

  Der Winkel $\beta$ ist also rund $ 73^\circ$ Grad groß. Nun kann Piet mit diesem Wissen sicher zum Leuchtturm fahren.

• Bestimme die passende Gleichung mithilfe des Cosinussatzes.

  Tipps

  Vielleicht hilft es dir, wenn du zuerst den Cosinussatz aufschreibst, der den Winkel $\alpha$ bei $A$ beinhaltet.

  Beschrifte die Seiten mit den Kleinbuchstaben der Punkte, denen sie gegenüberliegen.

  Lösung

  In jedem der Beispiele wird der folgende Cosinussatz verwendet:

  $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$.

  Da jedes Mal der Winkel $\alpha$ bestimmt werden soll, wird diese Formel zunächst nach $\cos(\alpha)$ umgeformt:

  $\begin{array}{rclll} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&-b^2-c^2\\ a^2-b^2-c^2&=&-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&:(-2bc)\\ \cos(\alpha)&=&\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc} \end{array}$

  In diese umgeformte Gleichung können nun die bekannten Größen eingesetzt werden:

  Dreieck mit den Seitenlängen $a=5,18$, $b=9$ und $c=6$:

  $\quad~~\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{5,18^2-9^2-6^2}{-2~\cdot~ 9~\cdot ~6}\right)\approx33,4^\circ$

  Dreieck mit den Seitenlängen $a=9$, $b=8$ und $c=7$:

  $\quad~~\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{9^2-8^2-7^2}{-2~\cdot~8~\cdot ~7}\right)\approx 73,4^\circ$

  Dreieck mit den Seitenlängen $a=2$, $b=3$ und $c=4$:

  $\quad~~\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{2^2-3^2-4^2}{-2~\cdot~ 3~\cdot~ 4}\right)\approx 29^\circ$

  Dreieck mit den Seitenlängen $a=7$, $b=8$ und $c=9$:

  $\quad~~\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{7^2-8^2-9^2}{-2~\cdot~ 8~\cdot~ 9}\right)\approx 48,2^\circ$

• Finde den Winkel, den Piet braucht, um zur Insel von Nils zu gelangen.

  Tipps

  Überlege dir, wie du den Cosinussatz verwenden kannst, um den gesuchten Winkel zu berechnen.

  Erinnere dich: Die Seiten benennst du im Dreieck immer genau so, wie den gegenüberliegenden Punkt, allerdings in Kleinbuchstaben.

  Beim Cosinussatz kannst du die Variablen für die Seiten $a$, $b$ und $c$ sowie die zugehörigen Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ auch gegen andere Variablen austauschen, solange du das konsequent an allen Stellen machst, zum Beispiel alle $a$ gegen $d$ und zudem auch Winkel $\alpha$ gegen $\delta$ austauschst.

  Lösung

  Piet muss den Winkel in $A$, also $\alpha$, herausfinden.

  Bekannt sind die Seitenlängen $a=4$, $c=6,5$ und $d=9$.

  Mit diesen Größen lautet der Cosinussatz dann

  $a^2=c^2+d^2-2cd\cdot \cos(\alpha)$.

  Diese Gleichung wird nach $\cos(\alpha)$ umgeformt:

  $\begin{array}{rclll} a^2&=&c^2+d^2-2cd\cdot \cos(\alpha)&|&-c^2-d^2\\ a^2-c^2-d^2&=&-2cd\cdot \cos(\alpha)&|&:(-2dc)\\ \cos(\alpha)&=&\frac{a^2-c^2-d^2}{-2cd} \end{array}$

  Nun können die bekannten Größen in dieser Formel eingesetzt werden:

  $\cos(\alpha)=\frac{4^2-6,5^2-9^2}{-2~\cdot~ 6,5~\cdot~ 9}$.

  Um den Winkel $\alpha$ zu erhalten, wird der Cosinus umgekehrt:

  $\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{4^2-6,5^2-9^2}{-2~\cdot ~6,5~\cdot ~9}\right)\approx 23,6^\circ$.

• Prüfe, welche Formeln zum Cosinussatz fehlerfrei aufgeschrieben wurden.

  Tipps

  Achte auf die Vorzeichen.

  Zwei Gleichungen sind korrekt.

  Der erste Teil der Formel sieht so ähnlich aus wie der Satz des Pythagoras; und davon wird etwas subtrahiert:

  Das Doppelte des Produktes der beiden Seiten, deren Quadrate addiert werden, multipliziert mit dem Cosinus des gegenüberliegenden Winkels der Seite, die auf der linken Seite der Gleichung steht.

  Lösung

  Der Cosinussatz besteht eigentlich aus drei Formeln. Bei jeder dieser Formeln steht das Quadrat einer der drei Seiten auf der linken Seite der Gleichung. Der Cosinus des dieser Seite gegenüberliegenden Winkels taucht auf der rechten Seite auf.

  1. $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$
  2. $b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos(\beta)$
  3. $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)$

  Wie kann man sich diesen Satz gut merken?

  Schau dir bei der ersten Formel die linke Seite sowie die beiden Summanden auf der rechten Seite an: Das sieht aus wie der Satz des Pythagoras, $a^2=b^2+c^2$. Davon wird etwas subtrahiert: Das Doppelte des Produktes der beiden Seiten, deren Quadrate addiert werden, multipliziert mit dem Cosinus des gegenüberliegenden Winkels der Seite, die auf der linken Seite der Gleichung steht.

  Bei den obigen Auswahlmöglichkeiten sind also nur die 1. und 3. richtig.

• Ermittle die Winkel, welche potenzielle neue Positionen für Leuchttürme darstellen.

  Tipps

  Schaue dir den Cosinus- sowie den Sinussatz nochmal an.

  In jedem der drei Dreiecke kennst du die Längen der drei Seiten.

  Achte auf die Vorzeichen.

  Im Sinussatz kommen zwei Winkel und zwei Seiten vor.

  Lösung

  Da in jedem der Dreiecke drei Seiten bekannt sind, muss Piet jeweils den Cosinussatz verwenden. Dieser wird dann nach dem gesuchten Winkel umgeformt und die bekannten Größen können in der so erhaltenen Formel eingesetzt werden:

  Die Formel $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$ kann wie folgt umgeformt werden

  $\begin{array}{rclll} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&-b^2-c^2\\ a^2-b^2-c^2&=&-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&:(-2bc)\\ \cos(\alpha)&=&\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}&|&\cos^{-1}\\ \alpha&=&\cos^{-1}\left(\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\right)\end{array}$

  Ebenso kann

  $b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)$ umgeformt werden zu

  $\beta=\cos^{-1}\left(\frac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}\right)$

  und $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)$ zu

  $\gamma=\cos^{-1}\left(\frac{c^2-a^2-b^2}{-2ab}\right)$

  Nun bleibt nur noch übrig, in jedem der Dreiecke zu entscheiden, welche dieser drei Formeln man verwenden kann (von oben nach unten):

  $\beta=\cos^{-1}\left(\frac{12^2-11^2-8^2}{-2~\cdot ~11~\cdot ~8}\right)\approx76,5^\circ$

  $\gamma=\cos^{-1}\left(\frac{5^2-7^2-10^2}{-2~\cdot~ 7~\cdot~ 10}\right)\approx27,7^\circ$

  $\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{20^2-13^2-11^2}{-2~\cdot~ 13~\cdot~ 11}\right)\approx112,6^\circ$