Zentrische Streckung – positiver Streckfaktor

Zentrische Streckung – positiver Streckfaktor Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zur zentrischen Streckung.

  Tipps

  Die Bildfigur ist das Ergebnis der zentrischen Streckung.

  Verhältnistreu bedeutet, dass die Verhältnisse der Längen der Bildfigur den Verhältnissen der Längen der Ursprungsfigur entsprechen. Zum Beispiel gilt bei einer zentrischen Streckung eines Dreiecks mit Eckpunkten $A$, $B$ und $C$:

  $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}$.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch.

  „Das Streckzentrum liegt immer außerhalb der Ursprungsfigur.“

  • Das Streckzentrum kann auch innerhalb der Ursprungsfigur liegen. In diesem Fall liegen Ursprungs- und Bildfigur übereinander.

  „Die zentrische Streckung lässt zwar die Winkel gleich, aber die Verhältnisse nicht.“

  • Die aus einer zentrischen Streckung resultierende Bildfigur erhält sowohl die Winkel als auch die Verhältnisse der Längen der Ursprungsfigur.

  
  

  Diese Aussagen sind korrekt.

  „Gilt für den Streckfaktor $m > 1$, wird die Ursprungsfigur bei der Streckung vergrößert.“

  • Hier werden die Längen der Ursprungsfigur mit einem Faktor $m > 1$ multipliziert, also vergrößert.

  „Die Lage des Streckzentrums beeinflusst die Längen der Bild- und Ursprungsfiguren nicht.“

• Beschreibe das Vorgehen bei einer zentrischen Streckung.

  Tipps

  Das Streckzentrum $Z$ und die Bild- und ihre zugehörigen Ursprungspunkte liegen auf einer Geraden.

  Um die Bildpunkte zu einer Bildfigur zu verbinden, musst du zuerst die einzelnen Bildpunkte konstruieren.

  Lösung

  Die zentrische Streckung verläuft so:

  Zuerst suchst du dir einen festen Punkt der Zeichnung, das Streckzentrum $Z$.

  • Ist das Streckzentrum nicht vorgegeben, kannst du es beliebig wählen. Du solltest dabei allerdings darauf achten, dass deine Zeichnung auf dein Blatt Papier passt.

  Dann zeichnest du eine Gerade durch das Streckzentrum $Z$ und den ersten Eckpunkt $A$ des Dreiecks.

  Anschließend misst du die Länge $\overline{AZ}$ auf dieser Geraden und multiplizierst die Länge mit dem Streckfaktor $m$.

  So erhältst du die Länge $\overline{A'Z}$. Diese trägst du nun ausgehend vom Streckzentrum $Z$ auf der Geraden durch $Z$ und $A$ ab und erhältst den ersten Bildpunkt $A'$.

  • In diesem Fall müssen Ursprungspunkt $A$ und Bildpunkt $A'$ auf einer Seite des Streckzentrums liegen. Das liegt daran, dass der Streckfaktor $m$ positiv, also größer null ist.

  Die anderen Bildpunkte $B'$ und $C'$ kannst du genauso bestimmen.

  Um die Bildfigur zu erhalten, musst du nur noch die Bildpunkte wie in der Ursprungsfigur verbinden.

• Ermittle die Längen der Streckung.

  Tipps

  Den Abstand eines Bildpunkts zum Streckzentrum $\overline{A'Z}$ kannst du wie folgt bestimmen:

  $\overline{A'Z}=m \cdot \overline{AZ}$.

  Dabei bezeichnet $m$ den Streckfaktor und $\overline{AZ}$ den Abstand des Ursprungspunktes $A$ zum Streckzentrum $Z$.

  Durch Umstellen der obigen Gleichung kannst du den Streckfaktor $m$ bestimmen. Du erhältst dann:

  $m = \dfrac{\overline{A'Z}}{ \overline{AZ}}$.

  Lösung

  Den Abstand eines Bildpunkts zum Streckzentrum $\overline{A'Z}$ kannst du wie folgt bestimmen:

  $\overline{A'Z}=m \cdot \overline{AZ}$.

  Dabei bezeichnet $m$ den Streckfaktor und $\overline{AZ}$ den Abstand des Ursprungspunktes $A$ zum Streckzentrum $Z$.

  Damit erhältst du folgende Paare:

  • Aus $\overline{AZ}=3$ und $m=4$ folgt $\overline{A'Z}=12$.

  • Mit $\overline{AZ}=12$ und $m=\frac{1}{2}$ erhältst du $\overline{A'Z}=6$.

  Durch Umstellen der obigen Gleichung kannst du den Streckfaktor $m$ bestimmen. Du erhältst dann

  $m = \dfrac{\overline{A'Z}}{ \overline{AZ}}$.

  So kannst du die anderen beiden Paare bestimmen zu:

  • Aus $\overline{AZ}=5$ und $\overline{A'Z}=25$ folgt $m=5$.

  • Mit $\overline{AZ}=25$ und $\overline{A'Z}=5$ erhältst du $m=\frac{1}{5}$.

• Bestimme die gestauchte Figur.

  Tipps

  Hast du die Entfernung $\overline{BZ}$ und den Streckfaktor $m$ gegeben, kannst du die fehlende Länge $\overline{B'Z}$ so bestimmen:

  $\overline{B'Z}=m \cdot \overline{BZ}$.

  Das Streckzentrum, der Ursprungs- und sein zugehöriger Bildpunkt müssen immer auf einer Geraden liegen.

  Überlege dir, ob deine Zeichnung Sinn ergibt. Wenn nicht, hast du möglicherweise die Skala falsch gewählt. Eine Längeneinheit sollte genau einem Zentimeter (also zwei Kästchen in deinem Heft) entsprechen.

  Lösung

  Die Stauchung wird wie folgt durchgeführt.

  Zuerst zeichnet sie das Streckzentrum $Z$ bei $(0 \vert 0)$ ein.

  • Das Streckzentrum $Z$ liegt im Koordinatenursprung, also bei $(0 \vert 0)$.

  Dann zeichnet sie eine Gerade durch das Streckzentrum $Z$ und den ersten Ursprungspunkt $A$. Danach misst sie den Abstand der beiden Punkte zu:

  $ \overline{AZ}\approx 4,47$.

  • Das Streckzentrum, der Ursprungs- und sein zugehöriger Bildpunkt müssen immer auf einer Geraden liegen.

  Um die Lage des Bildpunktes $A'$ zu bestimmen, berechnet sie dessen Abstand zum Streckzentrum $Z$.

  $\overline{A'Z}=m \cdot \overline{AZ}= \frac{1}{2} \cdot 4,47 \approx 2,24$

  Diese Länge misst sie auf der Geraden durch $A$ und $Z$ ab. Der Punkt $A'$ liegt also bei $(1 \vert 2)$.

  • Wenn du nur zwei Variablen der Formel $\overline{A'Z}=m \cdot \overline{AZ}$ gegeben hast, kannst du die fehlende mit der Formel bestimmen.

  Die anderen Bildpunkte bestimmt sie genauso. Damit erhält sie $B'(5\vert 1)$ und $C'(4 \vert 4)$. Im Anschluss verbindet sie die Punkte zur Bildfigur.

• Beschrifte die Zeichnung.

  Tipps

  Bildpunkte werden immer mit dem Buchstaben des zugehörigen Ursprungspunktes und einem Strich bezeichnet.

  Die einzelnen Punkte kannst du zu einer Figur verbinden.

  Lösung

  So kannst du die Zeichnung beschriften:

  • Alle Geraden durch Ursprungs- und Bildpunkte treffen sich in einem Punkt, dem Streckzentrum $Z$.

  • Bildpunkte werden immer mit dem Buchstaben des zugehörigen Ursprungspunktes und einem Strich bezeichnet.

  • Die verbundenen Bild- oder Ursprungspunkte bilden die Bild- oder Ursprungsfigur.

• Leite die richtigen Aussagen ab.

  Tipps

  Wird eine Ursprungsfigur gestaucht, ist die Bildfigur kleiner als die Ursprungsfigur.

  Vom Streckzentrum aus werden alle Entfernungen gleichermaßen gestreckt. So bleiben die Lagebeziehungen zum Streckzentrum erhalten.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch.

  „Ist die Ursprungsfigur größer als die Bildfigur, weißt du, dass der Streckfaktor größer als null ist.“

  • Ist die Ursprungsfigur größer als die Bildfigur, dann muss der Streckfaktor $m$ größer als eins sein.

  „Wird das Streckzentrum einer Streckung mit $m=1$ verschoben, so verschiebt sich auch die Bildfigur, wobei sie weiterhin genauso groß wie die Ursprungsfigur bleibt.“

  • Bei einer Streckung mit Streckfaktor $m=1$ sind Ursprungs- und Bildfigur identisch. Da ein verschobenes Streckzentrum nie die Ursprungsfigur verschiebt, kann so auch die Bildfigur nicht verschoben werden.

  Diese Aussagen sind wahr:

  „Entspricht das Streckzentrum dem Mittelpunkt einer Kante eines Quadrates, so entspricht es in der Bildfigur ebenfalls dem Mittelpunkt einer Kante.“

  • Vom Streckzentrum aus werden alle Entfernungen gleichermaßen gestreckt. So bleiben die Lagebeziehungen zum Streckzentrum erhalten.

  „Du kannst das Streckzentrum bestimmen, indem du Geraden durch die Ursprungs- und ihre zugehörigen Bildpunkte zeichnest.“

  • Das Streckzentrum, der Ursprungs- und sein zugehöriger Bildpunkt müssen immer auf einer Geraden liegen. Alle Geraden durch die verschiedenen Bild- und Ursprungspunkte verlaufen also durch das Streckzentrum.

  „Liegt das Streckzentrum auf der Mittelsenkrechten einer Strecke, so haben Ursprungs- und Bildstrecke dieselbe Mittelsenkrechte.“

  • Vom Streckzentrum aus werden alle Entfernungen gleichermaßen gestreckt. So bleiben die Lagebeziehungen zum Streckzentrum erhalten. Das gilt auch für die Mittelsenkrechten.