Eulerscher Polyedersatz

Eulerscher Polyedersatz Übung

• Nenne den Eulerschen Polyedersatz.

  Tipps

  Schau dir einen Würfel an.

  • Zähle die Ecken,
  • die Flächen und
  • die Kanten.

  Beim Würfel ist $e=8$, $f=6$ und $k=12$.

  Hast du einen Karton, zum Beispiel einen Müslikarton, zur Hand? Zähle die Ecken, die Flächen und die Kanten.

  Lösung

  Der Eulersche Polyedersatz besagt, dass

  • $e+f-k=2$ oder äquivalent dazu
  • $e+f=k+2$ gilt,

  wobei

  • $e$ die Anzahl der Ecken,
  • $f$ die Anzahl der Flächen und
  • $k$ die Anzahl der Kanten des Polyeders sind.

  Also, in Worten, die Summe der Ecken- und Flächenzahl reduziert um die Kantenzahl ist immer $2$.

• Weise den Eulerschen Polyedersatz bei verschieden Körpern nach.

  Tipps

  Der Eulersche Polyedersatz besagt, dass bei jedem Polyeder die Summer der Ecken- und Flächenzahl reduziert um die Kantenzahl immer $2$ sein muss.

  Übertrage die Schrägbilder in dein Heft und markiere die bereits gezählten Ecken, Flächen oder Kanten.

  Lösung

  Dies sind zwei Beispiele zum Eulerschen Polyedersatz, welcher besagt, dass in einem beliebigen Polyeder die Summe der Ecken- und Flächenzahl verringert um die Kantenzahl immer gleich ist, nämlich $2$.

  1. Prisma mit sechseckiger Grundfläche:

  • die Grund- und Deckfläche haben jeweils sechs Ecken, also insgesamt $e=12$,
  • Grund- und Deckfläche sind zwei Flächen, hinzu kommen sechs Seitenflächen, das sind gesamt $k=8$ und
  • sowohl die Grund- als auch Deckfläche haben sechs Kanten, zwischen jeweils zwei Seitenflächen liegt eine Kante, also auch wieder sechs. Somit ist $k=18$.
  • Es gilt $e+f-k=12+8-18=2$ $\surd$.

  2. Pyramide mit quadratischer Grundfläche:

  • die Grundfläche hat vier Ecken, dazu kommt die Spitze, also insgesamt $e=5$,
  • eine Grundfläche und vier Seitenflächen sind insgesamt $k=5$ und
  • die Grundfläche hat vier Kanten, zwischen jeweils zwei Seitenflächen liegt eine Kante, also auch wieder vier. Somit ist $k=8$.
  • Es gilt $e+f-k=5+5-8=2$ $\surd$.

• Berechne die fehlende Anzahl an Kanten, Flächen oder Ecken.

  Tipps

  Du kannst den Eulerschen Polyedersatz nach jeder der drei Größen umstellen.

  Der Eulersche Polyedersatz besagt, dass $e+f-k=2$ gilt, wobei $e$ die Anzahl der Ecken, $f$ die Anzahl der Flächen und $k$ die Anzahl der Kanten sind.

  Lösung

  Manches Mal kann es einfacher sein,

  • die Ecken und Kanten oder
  • die Ecken und Flächen oder
  • die Flächen und Kanten zu zählen.

  Dann kann die fehlende Größe mit dem Eulerschen Polyedersatz berechnet werden, indem dieser umgestellt wird:

  Es gilt: $e+f-k=2$. Dies ist äquivalent zu

  • $e=k-f+2$ oder
  • $f=k-e+2$ oder
  • $k=e+f-2$.

  1. Ein Polyeder mit $5$ Flächen und $9$ Ecken muss demnach $k=9+5-2=12$ Kanten haben. Ein Beispiel für ein solches Polyeder ist ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche.
  2. Ein Polyeder mit $12$ Kanten und $6$ Flächen muss $f=12-6+2=8$ Ecken haben. Ein Beispiel hierfür wäre ein Quader oder ein Würfel.
  3. Ein Polyeder mit $4$ Ecken und $4$ Flächen muss $k=4+4-2=6$ Kanten haben. Ein Beispiel hierfür ist das Tetraeder, welches in dem Bild zu sehen ist.
  4. Ein Polyeder mit $10$ Ecken und $15$ Kanten hat $f=15-10+2=7$ Flächen. Ein Beispiel hierfür ist ein Prisma mit fünfeckiger Grundfläche.

• Weise den Eulerschen Polyedersatz an dem zusammengesetzten Polyeder nach.

  Tipps

  Du könntest auch nur die Ecken und Flächen zählen und die Anzahl der Flächen mit dem Eulerschen Polyedersatz bestimmen.

  Es gilt $e+f-k=2$.

  Zähle die Ecken von unten nach oben:

  • Wie viele Ecken hat die Grundfläche?

  Es handelt sich hier um einen zusammengesetzten Körper aus

  • Pyramidenstumpf und
  • Pyramide.

  Zähle die Anzahl deren Ecken. Die Pyramide hat eine Spitze.

  Die Deckfläche des Pyramidenstumpfs, die gleichzeitig Grundfläche der oberen Pyramide ist, ist keine Fläche des Körpers.

  Lösung

  Nach dem Eulerschen Polyedersatz gilt

  $e+f-k=2$ oder $e+f=k+2$.

  Bei diesem Polyeder ist

  • die Anzahl der Ecken $e=9$,
  • die Anzahl der Flächen $f=9$ und
  • die der Kanten $k=16$.

  Nun kann der Eulersche Polyedersatz überprüft werden:

  $e+f-k=9+9-16=2$ $\surd$.

• Bestimme die Polyeder.

  Tipps

  Polyeder werden auch Vielflächner genannt.

  Beim Polyeder sind alle begrenzenden Flächen eben und nicht gekrümmt.

  Lösung

  Der Name des Polyeders kommt aus dem Griechischen für Vielfläche. Es handelt sich also um einen geometrischen Körper, welcher nur von ebenen Flächen und nicht von gekrümmten Flächen begrenzt wird.

  Dies ist bei dem Würfel, der Pyramide und dem Prisma der Fall, allerdings nicht bei einem Kegel oder einem Zylinder.

• Bestimme die Anzahl der Flächen, Kanten und Ecken dem zusammengesetzten Körper.

  Tipps

  Mach dir eine dreidimensionale Skizze und zähle alle (!) Ecken und Flächen. Die Kanten sind schwierig zu erkennen.

  Verwende den Eulerschen Polyedersatz, nachdem du die Ecken und Flächen gezählt hast $e+f-k=2$.

  Eine Pyramide hat fünf Ecken und besteht aus fünf Flächen. Ein Quader hat acht Ecken und besteht aus sechs Flächen. Die Denkfläche des Quaders ist geteilt und besteht aus drei Flächen.

  Lösung

  Man kann den Eulerschen Polyedersatz verwenden. Hierfür kann man die Ecken und Flächen zählen, falls dies einfacher zu sein scheint als das Zählen der Kanten:

  Ecken:

  • jede Pyramide hat $5$ Ecken, das sind gesamt $10$ Ecken,
  • der Quader hat $8$ Ecken.
  • Da die Pyramiden und der Quader keine gemeinsamen Ecken haben, gilt $e=10+8=18$.

  Flächen:

  • Quader: Die Grundfläche und die Seitenflächen sind zusammen fünf Flächen. Die Deckfläche mit den Pyramiden ist etwas kniffliger.
  • Pyramide: Eine Pyramide besteht aus vier Seitenflächen. Damit sind es zusammen acht.
  • Die Deckfläche ist durch die zwei Pyramiden in drei Flächen unterteilt worden.
  • Zusammen ergibt das dann $f=5+8+3=16$ Flächen.

  Nun kann der Polyedersatz nach Euler angewendet werden:

  $e+f=k+2$:

  $\begin{align*} 18+16&=k+2&|&-2\\ 32&=k. \end{align*}$

  Wir erhalten also insgesamt $e=18$, $f=16$ und $k=32$.

  Du kannst du die Kanten auch zählen. Das ist möglich, aber auch schwieriger als die erste Methode.

  Kanten:

  • Jede Pyramide hat $8$ Kanten. Hinzu kommen
  • die $4$ Kanten der Grundfläche und $4$ der Seitenflächen des Quaders. Die Deckfläche ist etwas komplizierter: dort befinden sich zusätzlich zu den Kanten der Pyramiden noch $8$ Kanten.
  • Gesamt sind dies: $k=16+16=32$.