Satz des Cavalieri

Satz des Cavalieri Übung

• Ergänze den Satz von Cavalieri.

  Tipps

  Stell dir einen Stapel Druckerpapier vor:

  • Dieser Stapel hat ein Volumen.
  • Wenn du den Stapel so verschiebst, dass er schräg ist, hat er immer noch das gleiche Volumen.

  Woran liegt das?

  Du kannst dir den Satz des Cavalieri an geraden Körpern klarmachen.

  Ein gerader Körper ist zum Beispiel ein Prisma.

  Lösung

  Der Satz von Cavalieri enthält eine Aussage darüber, wann das Volumen zweier Körper identisch ist:

  Zwei Körper besitzen das gleiche Volumen, wenn ihre Schnittflächen in jeder Höhe den gleichen Flächeninhalt haben.

  Wissenswertes zu Cavalieri:

  • Bonaventura Francesco Cavalieri war ein italienischer Mathematiker und Astronom.
  • Er lebte von 1598 bis 1647.
  • Seine Berechnungen von Flächen und Volumina nehmen einiges vorweg, was in der Schule später im Bereich Integralrechnung behandelt wird.

• Stelle die Aussage des Satzes von Cavalieri am Beispiel eines Quaders dar.

  Tipps

  Quader sind gerade Körper.

  Jede Schnittfläche parallel zur Grundfläche eines geraden Körpers ist kongruent, das heißt deckungsgleich zu der Grundfläche.

  Dass die Volumina der beiden Körper übereinstimmen, kannst du auch wie folgt zeigen:

  • $V_{Q_1}=(4~cm)^2\cdot 10~cm=160~cm^3$ und
  • $V_{Q_2}=2~cm\cdot 8~cm\cdot 10~cm=160~cm^3$.

  Lösung

  Der Quader $Q_1$ hat die Grundfläche $(4~cm)^2=16~cm^2$ und der Quader $Q_2$ $2~cm\cdot 8~cm=16~cm^2$.

  Jeder Schnitt in beliebiger Höhe liefert bei beiden Quadern ein Flächenstück, welches kongruent, das heißt deckungsgleich, zu der Grundfläche ist.

  Daraus folgt, dass auch die entsprechenden Flächeninhalte übereinstimmen. Da die Grundflächen der beiden Quader den gleichen Flächeninhalt haben, gilt dies auch für jede Schnittfläche in beliebiger Höhe $h\le 10~cm$.

  Mit dem Satz von Cavalieri folgt, dass die beiden Quader das gleiche Volumen besitzen.

  Dies hätte auch mit der Volumenformel berechnet werden können:

  • $V_{Q_1}=(4~cm)^2\cdot 10~cm=160~cm^3$ und
  • $V_{Q_2}=2~cm\cdot 8~cm\cdot 10~cm=160~cm^3$.

• Entscheide, welche Körper das gleiche Volumen besitzen.

  Tipps

  Da alle Körper gerade sind, ist jede Schnittfläche in beliebiger Höhe kongruent zur Grundfläche und hat somit den gleichen Flächeninhalt.

  Es genügt also, von jedem Körper den Flächeninhalt der Grundfläche auszurechnen.

  Natürlich könntest du auch hier, es handelt sich ausschließlich um gerade Körper, die Volumenformel

  $V=A_G\cdot h$

  verwenden, wobei $A_G$ der Flächeninhalt der Grundfläche ist.

  Zwei der vier Körper besitzen das gleiche Volumen.

  Die Flächenformel für ein regelmäßiges Sechseck lautet:

  $A_G=\frac32\cdot a^2\cdot \sqrt3$.

  Lösung

  Da alle vier Körper gerade Körper sind, genügt es, den Flächeninhalt der Grundfläche zu berechnen. Jede Schnittfläche in beliebiger Höhe ist kongruent zur entsprechenden Grundfläche und hat damit auch den gleichen Flächeninhalt.

  • Zylinder: $A_G=\pi\cdot r^2=\pi\cdot (4~cm)^2\approx50,3~cm^2$
  • Prisma mit dreieckiger Grundfläche: $A_G=\frac{6~cm\cdot 6~cm}2=18~cm^2$
  • Prisma mit sechseckiger Grundfläche: $A_G=\frac32\cdot a^2\cdot \sqrt3=\frac32\cdot (5~cm)^2\cdot \sqrt3\approx 65~cm^2$
  • Quader: $A_G=a\cdot b=4,5~cm\cdot 4~cm=18~cm^2$

  Das bedeutet, dass nur das Prisma mit dreieckiger Grundfläche und der Quader im Flächeninhalt ihrer Grundflächen übereinstimmen. Diese beiden haben als einzige Körper den gleichen Flächeninhalt.

• Begründe, dass die Voraussetzungen des Satzes von Cavalieri erfüllt sind.

  Tipps

  Der blaue Körper ist ein gerader Körper.

  Hier ist ein Schnitt angedeutet. Was fällt dir auf?

  Wenn du frontal auf den grünen Körper schaust, siehst du ein Parallelogramm. Das bedeutet, dass die untere Kante, welche mit einer Seite der Grundfläche des blauen Körpers übereinstimmt, ebenso lang ist wie die obere.

  Lösung

  Bei dem blauen Körper handelt es sich um einen Quader, also einen geraden Körper, bei dem grünen um ein Parallelepiped.

  Die beiden Körper müssen die gleiche Höhe haben, sonst ist der Satz des Cavalieri nicht anwendbar.

  Bei dem Quader ist die Schnittfläche, der Schnitt ist angedeutet durch die rote gestrichelte Linie, eine zur Grundfläche kongruente Fläche.

  Wenn gezeigt werden kann, dass auch die Schnittfläche des grünen Körpers kongruent zu dessen Grundfläche ist, so ist die Identität der Flächeninhalte der Schnittfläche bewiesen, da die Grundflächen übereinstimmen.

  Die Seitenlängen der Schnittfläche des grünen Körpers sind, am Beispiel der Frontalansicht, Seiten eines Parallelogramms. Somit sind sie parallel zu der entsprechenden Seite der Grundfläche und auch gleich lang. Daraus folgt, dass die Schnittfläche kongruent zu der Grundfläche ist.

  Nach dem Satz des Cavalieri haben die beiden Körper den gleichen Flächeninhalt.

• Beschreibe, was eine Schnittfläche ist.

  Tipps

  Stell dir ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche vor:

  Wie schneidest du da?

  • Parallel zur Grundfläche oder
  • senkrecht zur Grundfläche oder
  • beliebig?

  Lösung

  Was ist die Schnittfläche eines Körpers?

  Unter der Schnittfläche versteht man eine Fläche, die den Körper parallel zur Grundfläche in einer Höhe $h$ zerschneidet.

  Bei einem geraden Körper, zum Beispiel einem Prisma mit dreieckiger Grundfläche, kommt dabei immer eine Fläche heraus, die kongruent zur Grundfläche ist.

• Weise nach, dass ein Kegel und eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche das gleiche Volumen haben.

  Tipps

  Berechne die Flächeninhalte der Grundflächen der beiden Körper. Diese sind identisch. Diese Identität benötigst du.

  Wenn du beide Körper in der gleichen Höhe schneidest, hast du die Situation eines Strahlensatzes.

  Es gilt $a=\frac{r}{r'}\cdot a'$.

  Benutze die Identität der Flächeninhalte der Grundflächen sowie die obige Gleichung.

  Lösung

  Die Flächeninhalte der Grundflächen stimmen überein:

  $\pi \cdot r^2=a^2$.

  Die Flächeninhalte an der Spitze stimmen ebenfalls überein. Sie sind jeweils $0$. Nun muss gezeigt werden, dass die Flächeninhalte für alle Schnittflächen in beliebiger Höhe $h$ mit $0<h<H$ bei beiden Körpern identisch sind. Der Radius der Schnittfläche des Kegels sei $r'$ und die Seitenlänge der Schnittfläche der Pyramide $a'$.

  Hierfür wird ein Strahlensatz verwendet, welcher in dem Bild zu erkennen ist.

  Es gilt:

  • $\frac{a'}{a}=\frac{h}{H}$ bei der Pyramide sowie
  • $\frac{r'}{r}=\frac{h}{H}$.

  Daraus kann gefolgert werden, dass $\frac{a'}{a}=\frac{r'}{r}$ gilt. Dies ist äquivalent zu $a=\frac{r}{r'}\cdot a'$.

  Nun kann die Identität der Flächeninhalte der Grundflächen verwendet werden:

  $\begin{align*} \pi\cdot r^2&=a^2&|&~a=\frac{r}{r'}\cdot a'\\ \pi \cdot r^2&=\left(\frac{r}{r'}\cdot a'\right)^2\\ \pi \cdot r^2&=\frac{r^2}{r'^2}\cdot a'^2&|&\cdot \frac{r'^2}{r^2}\\ \pi \cdot r^2\cdot \frac{r'^2}{r^2}&=a'^2\\ \pi \cdot r'^2&=a'^2. \end{align*}$

  Also ist $\pi \cdot r'^2=a'^2$. Das ist gerade die Identität der Flächeninhalte der Schnittfläche in beliebiger Höhe.

  Nach dem Satz des Cavalieri haben der Kegel und die Pyramide das gleiche Volumen.

  Man hätte diese Aussage auch nachweisen können ohne die Einschränkung, dass die Pyramide eine quadratische Grundfläche besitzt.