Eigenschaften ähnlicher Dreiecke

Eigenschaften ähnlicher Dreiecke Übung

• Gib an, welche Gleichungen für die ähnlichen Dreiecke $\Delta ABC$ und $\Delta DEC$ gelten.

  Tipps

  Stelle die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten der Dreiecke auf. Sich entsprechende Seiten sind:

  • $\overline{AB}$ und $\overline{DE}$
  • $\overline{AC}$ und $\overline{DC}$
  • $\overline{BC}$ und $\overline{EC}$

  Teilst du auf der einen Seite der Gleichung die längere durch die kürzere Seite, musst du auf der anderen Seite der Gleichung genauso vorgehen.

  Lösung

  Bei den Dreiecken $\Delta ABC$ und $\Delta DEC$ handelt es sich um ähnliche Dreiecke. Das bedeutet, dass alle Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten zweier Dreiecke gleich sind.

  Demnach gelten für diese beiden Dreiecke folgende Beziehungen:

  • $\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{DC}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{EC}}{\overline{BC}}$.

  Eine Eigenschaft ähnlicher Dreiecke ist die Symmetrie. Demzufolge können die Verhältnisse auch umgekehrt werden zu:

  • $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{DC}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{EC}}$

• Berechne die Länge der Strecke $\overline{FG}$.

  Tipps

  Stelle die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten der ähnlichen Dreiecke auf. Einige mögliche Seitenverhältnisse sind:

  • $\dfrac{\overline{BC}}{\overline{EC}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}}$
  • $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{FG}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{CG}}$

  Achte auf die Reihenfolge der Division: Teilst du auf der einen Seite der Gleichung die längere durch die kürzere Strecke, musst du auf der anderen Seite der Gleichung genauso vorgehen.

  Lösung

  Um die Länge der Strecke $\overline{FG}$ zu bestimmen, stellen wir zunächst eine Gleichung auf. Diese erhalten wir, indem wir die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten der ähnlichen Dreiecke aufstellen. Dabei müssen wir beachten, dass wir auf beiden Seiten der Gleichung die Reihenfolge der Division beibehalten: Teilen wir auf der linken Seite der Gleichung die längere durch die kürzere Strecke, müssen wir auf der rechten Seite der Gleichung genauso vorgehen.

  Aufstellen einer Gleichung für die Berechnung der Länge der Strecke $\overline{FG}$

  Da die Dreiecke $\Delta ABC$, $\Delta DEC$ und $\Delta FGC$ ähnliche Dreiecke sind, können wir folgende Beziehung aufstellen:

  • $\dfrac{\overline{FG}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{CF}}{\overline{AC}}$

  Einsetzen der Zahlenwerte und Berechnung der Länge der Strecke $\overline{FG}$

  Die obige Gleichung stellen wir nun nach der Strecke $\overline{FG}$ um und setzen die entsprechenden Zahlenwerte in die Gleichung ein, um $\overline{FG}$ zu berechnen:

  • $\overline{FG}=\dfrac{\overline{CF}\cdot \overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{18\cdot 6}{9}=12$

  Der See hat somit eine Breite von $12$ Kilometern. Die Reichweite der Walkie-Talkies genügt demnach gerade noch so!

• Ermittle die ähnlichen Dreiecke.

  Tipps

  Hier haben die ähnlichen Dreiecke je eine zueinander parallele Seite.

  In ähnlichen Dreiecken sind die sich entsprechenden Winkel gleich groß.

  Lösung

  Wir erkennen die ähnlichen Dreiecke zum einen an den zueinander parallelen Seiten

  • $\overline{AB}\parallel\overline{FM}\parallel\overline{DE}$ und
  • $\overline{IJ}\parallel\overline{GH}\parallel\overline{KL}$

  und zum anderen an den gleich großen Winkeln.

  Somit folgt:

  • $\Delta CBA\sim\Delta CMF\sim\Delta DEC$ und $\Delta IJC\sim\Delta GHC\sim\Delta CLK$

• Entscheide, welche Seitenverhältnisse und Winkel der ähnlichen Dreiecke sich jeweils entsprechen.

  Tipps

  In dieser Abbildung sind alle sich entsprechenden Seiten der ähnlichen Dreiecke $\Delta ABE$ und $\Delta CDE$ farblich gekennzeichnet.

  Der Winkel $\measuredangle ABE$ wird von den Schenkeln $\overline{AB}$ und $\overline{BE}$ eingeschlossen.

  Lösung

  Wir betrachten im Folgenden die hier abgebildeten Dreiecke $\Delta ABE$ und $\Delta CDE$. Es handelt sich dabei um ähnliche Dreiecke. Folgende Beziehungen treffen auf diese Dreiecke zu:

  Seitenverhältnisse

  Wenn alle Seitenverhältnisse zugehöriger Seiten zweier Dreiecke gleich sind, so sind die Dreiecke ähnlich zueinander. Die sich entsprechenden Seiten sind in der Abbildung farblich gekennzeichnet:

  • $\dfrac{\overline{BE}}{\overline{DE}}=\dfrac{\overline{AE}}{\overline{CE}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CD}}$

  Aufgrund der Symmetrie ähnlicher Dreiecke können wir diese Verhältnisse auch umkehren zu:

  • $\dfrac{\overline{DE}}{\overline{BE}}=\dfrac{\overline{CE}}{\overline{AE}}=\dfrac{\overline{CD}}{\overline{AB}}$

  Winkel

  Sich entsprechende Winkel zweier ähnlicher Dreiecke sind gleich groß. Diese sind in der Abbildung farblich gekennzeichnet:

  • $\measuredangle ABE=\measuredangle CDE~\rightarrow$ blaue Winkel
  • $\measuredangle BEA=\measuredangle DEC~\rightarrow$ orange Winkel
  • $\measuredangle EAB=\measuredangle ECD~\rightarrow$ grüne Winkel

• Gib die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke an.

  Tipps

  Die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten ähnlicher Dreiecke sind gleich groß.

  Streckst du ein gegebenes Dreieck um einen gegebenen Streckungsfaktor, so erhältst du ein Dreieck, welches ähnlich zu dem Ausgangsdreieck ist. Die sich entsprechenden Winkel beider Dreiecke sind gleich groß.

  Lösung

  Ähnliche Dreiecke haben einige besondere Eigenschaften, welche sehr vorteilhaft bei der Berechnung unbekannter Seiten sind. Diese sind im Folgenden aufgelistet:

  • Wenn alle Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten zweier Dreiecke gleich sind, so sind diese Dreiecke ähnlich zueinander.
  • Ist beispielsweise das Dreieck $\Delta ABE$ ähnlich zu dem Dreieck $\Delta ACD$, ist auch das Dreieck $\Delta ACD$ ähnlich zu dem Dreieck $\Delta ABE$. Diese Eigenschaft heißt Symmetrie.
  • Wenn zwei von drei Dreiecken jeweils paarweise ähnlich sind, sind alle drei Dreiecke ähnlich zueinander. Diese Eigenschaft heißt Transitivität.
  • Zudem sind alle sich entsprechenden Winkel der Dreiecke $\Delta ABE$ und $\Delta ACD$ gleich groß.
  • Aber die Seiten zweier ähnlicher Dreiecke müssen nicht gleich lang sein!

• Bestimme die Länge der Strecken $\overline{BC}$ und $\overline{CE}$.

  Tipps

  Du musst die Seitenverhältnisse sich entsprechender Seiten aufstellen. Hier sind die sich entsprechenden Seiten farblich gekennzeichnet.

  Es ist zum Beispiel:

  • $\dfrac{\overline{ED}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{CE}}{\overline{AC}}$

  Lösung

  Berechnung der Strecke $\overline{BC}$

  Wir stellen zunächst die Gleichung der Seitenverhältnisse auf:

  $\begin{array}{lll} \dfrac{\overline{BC}}{\overline{CD}} &=& \dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}} \end{array}$

  Diese stellen wir nun nach der gesuchten Strecke $\overline{BC}$ um:

  $\begin{array}{lll} \overline{BC} &=& \dfrac{\overline{AB}}{\overline{DE}} \cdot \overline{CD} \end{array}$

  Jetzt können wir die bekannten Werte einsetzen und die Länge der Strecke $\overline{BC}$ berechnen:

  $\begin{array}{lllll} \overline{BC} &=& \dfrac{21}{12} \cdot 16 &=& 28 \end{array}$

  Berechnung der Strecke $\overline{CE}$

  Auch hier stellen wir zunächst die Gleichung der Seitenverhältnisse auf:

  $\begin{array}{lll} \dfrac{\overline{CE}}{\overline{AC}} &=& \dfrac{\overline{CD}}{\overline{BC}} \end{array}$

  Umgestellt nach der gesuchten Strecke $\overline{CE}$ folgt:

  $\begin{array}{lll} \overline{CE} &=& \dfrac{\overline{CD}}{\overline{BC}} \cdot \overline{AC} \end{array}$

  Wieder setzen wir die bekannten Werte ein und berechnen die Länder der Strecke $\overline{CE}$:

  $\begin{array}{lllll} \overline{BC} &=& \dfrac{16}{28} \cdot 35 &=& 20 \end{array}$