Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

Ähnlichkeitssätze für Dreiecke Übung

• Gib die Kongruenzsätze bei Dreiecken wieder.

  Tipps

  „W“ steht für „Winkel“, „S“ steht für „Seite“.

  Es ist entscheidend, wo das S und das W stehen.

  Kongruent bedeutet deckungsgleich. Das bedeutet, dass man die Dreiecke genau aufeinander legen kann.

  Lösung

  Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie deckungsgleich sind. Das bedeutet, wenn zwei Dreiecke sich gegenseitig abdecken können, sind sie kongruent.

  1. SSS: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn alle ihre Seitenlängen miteinander übereinstimmen.
  2. SWS: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei Seitenlängen der beiden Dreiecke übereinstimmen und der Winkel, den die beiden Seiten einschließen, ebenfalls bei beiden Dreiecken übereinstimmt.
  3. WSW: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen und die Seite zwischen den Winkeln ebenfalls übereinstimmt.
  4. SsW Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei Seitenlängen übereinstimmen und der Winkel, der gegenüber der längsten Seite liegt, übereinstimmt.

• Beschreibe die Ähnlichkeitssätze.

  Tipps

  Diese beiden Dreiecke sind zueinander ähnlich. Welche Eigenschaften kannst du bei den entsprechenden Seitenlängen erkennen?

  Lösung

  1. Mit dem Hauptähnlichkeitssatz und dem Ähnlichkeitssatz SSS gibt es zwei Ähnlichkeitssätze bei Dreiecken.
  2. Der Hauptähnlichkeitssatz sagt aus, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn beide Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen. Beispiel: Ein Dreieck hat einen Winkel von $30^\circ$ und $70^\circ$. Ein anderes Dreieck hat auch die Winkel $30^\circ$ und $70^\circ$. Diese beiden Dreiecke sind zueinander ähnlich. Der dritte Winkel beträgt nach dem Innenwinkelsummensatz $80^\circ$.
  3. Der Ähnlichkeitssatz SSS sagt aus, dass, wenn die Längenverhältnisse der jeweiligen Seiten von zwei Dreiecken übereinstimmen, die Dreiecke zueinander ähnlich sind. Das SSS steht dabei für „Seite Seite Seite“.
  4. Wenn alle Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen, sind beide Dreiecke ähnlich zueinander.

  Ein Beispiel: Die Seitenlängen eines Dreiecks betragen $a = 4~cm$, $b = 5~cm$ und $c = 3~cm$. Ein anderes Dreieck besitzt die Seitenlängen $a' = 8~cm$, $b' = 10~cm$, $c' = 6~cm$. Es muss gelten: $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$

  Wenn wir nun die Zahlen in die Formel einsetzen, erhalten wir:

  $\frac{8~cm}{4~cm} = \frac{10~cm}{5~cm} = \frac{6~cm}{3~cm}$

  $\frac{8~cm}{4~cm} = 2$

  $\frac{10~cm}{5~cm} = 2$

  $\frac{6~cm}{3~cm} = 2$

  Das Seitenverhältnis ist überall gleich, nämlich $2:1$.

• Entscheide, welche Dreiecke zueinander ähnlich sind.

  Tipps

  Benutze den Innenwinkelsummensatz der besagt, dass die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck $180^\circ$ ergeben.

  Hier siehst du zwei Dreiecke, die zueinander ähnlich sind.

  Lösung

  Der Hauptähnlichkeitssatz besagt, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

  Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die drei Winkel in einem Dreieck immer zusammen $180^\circ$ ergeben. Das heißt, dass, wenn ein Dreieck in zwei Winkeln übereinstimmt, es dann nach dem Innenwinkelsummensatz auch in drei Winkeln übereinstimmen muss. Dabei ist es egal, welche Winkel benannt werden.

  Wenn wir das berücksichtigen, folgt daraus, dass die beiden Dreiecke mit den Winkeln:

  1. $51°$,$55°$ und $74°$ zueinander ähnlich sind, denn $ 51° + 55° + 74° = 180°$.
  2. $62°$,$55°$ und $63°$ zueinander ähnlich sind, denn $ 62° + 55° + 63° = 180°$.
  3. $63°$,$90°$ und $27°$ zueinander ähnlich sind, denn $ 63° + 90° + 27° = 180°$.
  4. $84°$,$84°$ und $12°$ zueinander ähnlich sind, denn $ 84° + 84° + 12° = 180°$.

• Bestimme, ob die folgenden Dreiecke zueinander ähnlich sind.

  Tipps

  Der Ähnlichkeitssatz SSS besagt, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn alle Seitenlängenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen.

  Bei zwei Dreiecken mit den Seitenlängen aus dem obigen Bild muss dann gelten:

  $\Large{\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}}$

  Lösung

  Da nur die Seitenlängen der Dreiecke angegeben sind, nutzen wir den Ähnlichkeitssatz SSS um zu überprüfen, ob die Dreiecke zueinander ähnlich sind.

  Der Ähnlichkeitssatz SSS sagt aus, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn die Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen. Möchte man das in einer Formel ausdrücken, sieht die Formel so aus: $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$.

  Tragen wir nun die Seitenlängen der Dreiecke in die obige Formel ein, erhalten wir:

  1. Dreiecke 1 und 2

  $\frac{12~cm}{6~cm} = 2$
  $\frac{18~cm}{9~cm} = 2$
  $\frac{14~cm}{7~cm} = 2$

  Die Längenverhältnisse aller entsprechender Seiten sind gleich, nämlich $2:1$. Damit sind die Dreiecke 1 und 2 ähnlich zueinander .

  2. Dreiecke 3 und 4

  $\frac{21~cm}{7~cm} = 3$
  $\frac{33~cm}{11~cm} = 3$
  $\frac{27~cm}{10~cm} = 2,7$

  Die Längenverhältnisse aller entsprechender Seiten sind nicht gleich. Damit sind die Dreiecke 3 und 4 nicht ähnlich zueinander .

  3. Dreiecke 5 und 6

  $\frac{56~cm}{8~cm} = 7$
  $\frac{49~cm}{7~cm} = 7$
  $\frac{63~cm}{9~cm} = 7$

  Die Längenverhältnisse aller entsprechender Seiten sind gleich, nämlich $7:1$. Damit sind die Dreiecke 5 und 6 ähnlich zueinander .

  4. Dreiecke 7 und 8

  $\frac{20~cm}{2~cm} = 10$
  $\frac{30~cm}{3,3~cm} = 9,09$

  Nach der zweiten Berechnung sehen wir schon, dass die Längenverhältnisse nicht übereinstimmen. Damit sind die Dreiecke 7 und 8 nicht ähnlich zueinander .

• Benenne die Ähnlichkeitssätze.

  Tipps

  Schau dir das Bild zu dem zweiten Ähnlichkeitssatz an. Vergleiche die Seitenlängen zueinander. Dividiere die entsprechenden Seiten miteinander. Was fällt dir auf?

  Schau dir das Bild zum ersten Satz an. Die Dreiecke sind ähnlich. Was fällt dir an den Winkeln auf?

  Lösung

  1. Der Hauptähnlichkeitssatz sagt aus, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. In dem Bild dazu kannst du erkennen, dass die Dreiecke zueinander ähnlich sind, da die Dreiecke zwei gleich große Winkel 90° und 47° besitzen. Der dritte Winkel ist dann nach dem Innenwinkelsummensatz bei beiden Dreiecken 43° groß.
  2. Der Ähnlichkeitssatz SSS sagt aus, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn alle Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen. In dem Bild kann man das gut erkennen. Wenn du die entsprechenden Längen der Seiten dividierst, dann erhältst du immer das gleiche Verhältnis. In diesem Fall 1:2.

• Prüfe, ob die folgenden Dreiecke zueinander ähnlich bzw. kongruent sind.

  Tipps

  Der Hauptähnlichkeitssatz besagt, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

  Der Ähnlichkeitssatz SSS besagt, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn alle Längenverhältnisse aller einander entsprechenden Seiten übereinstimmen.

  Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe aller drei Winkel in einem Dreieck immer zusammen $180°$ ergibt.

  Lösung

  Der Hauptähnlichkeitssatz besagt, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Nach dem Innenwinkelsummensatz ergibt die Summe aller drei Winkel in einem Dreieck immer $180°$. Das heißt, wenn zwei Winkel übereinstimmen, muss auch der dritte Winkel übereinstimmen.

  1. Ein Dreieck mit den Seitenlängen $3~cm$, $4~cm$ und $5~cm$ ist nicht ähnlich zu einem Dreieck mit einer Seitenlänge von $2~cm$ oder mit einem Dreieck mit den Längen $1~cm$, $2~cm$ und $5~cm$, da ihre Längenverhältnisse nicht übereinstimmen. Allerdings ist es ähnlich zu einem Dreieck den Seitenlängen $1,5~cm$, $2~cm$ und $2,5~cm$. Das Verhältnis beträgt $2:1$.
  2. Ein Dreieck mit den Seitenlängen $1~cm$, $2~cm$ und $5~cm$ ist ähnlich zu dem Dreieck mit den Seitenlängen $3~cm$, $6~cm$ und $15~cm$. Das Verhältnis beträgt $3:1$.
  3. Ein Dreieck mit den Winkeln $30°$ und $55°$ muss nach dem Innenwinkelsummensatz einen dritten Winkel von $95°$ haben. Es gilt: $180° - 30° - 55° = 95°$. Es ist also ähnlich zu einem Dreieck mit den Winkeln $95°$ und $30°$.
  4. Ein Dreieck mit den Winkeln $95°$ und $20°$ muss nach dem Innenwinkelsummensatz einen dritten Winkel von $65°$ haben. Es gilt: $180° - 95° - 20° = 65°$. Es ist also ähnlich zu dem Dreieck mit den Winkeln $65°$ und $20°$.
  5. Einer der Kongruenzsätze besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn alle Seiten beider Dreiecke übereinstimmen. Demnach sind zwei Dreiecke kongruent, wenn sie die identischen Seitenlängen $5~cm$, $5~cm$ und $6~cm$ besitzen. Hinweis: Kongruente Dreiecke sind auch ähnlich.
  6. Ein Dreieck mit den Winkeln $170°$ und $5°$ muss nach dem Innenwinkelsummensatz einen weiteren Winkel von $5°$ haben. Es gilt: $180° - 170° - 5° = 5°$. Dementsprechend ist es ähnlich zu dem Dreieck mit den beiden Winkeln von $5°$.