Ähnlichkeitsabbildungen – Beispiele

Ähnlichkeitsabbildungen – Beispiele Übung

• Ergänze die Erklärung zur Ähnlichkeitsabbildung.

  Tipps

  Ein anderer Begriff für kongruent ist deckungsgleich.

  Du kannst dir die Kongruenz wie folgt vorstellen: Wenn du zwei kongruente Figuren ausschneidest und diese übereinander legst, so decken diese sich komplett ab.

  Bei Ähnlichkeit stimmen die Winkel der Ausgangsfigur und der Bildfigur überein.

  Jede Kongruenzabbildung ist auch eine Ähnlichkeitsabbildung.

  Umgekehrt ist dies nicht richtig.

  Lösung

  Bei einer Kongruenzabbildung werden geometrische Figuren auf kongruente (deckungsgleiche) Figuren abgebildet.

  Deckungsgleichheit kann man sich so vorstellen: Wenn man zwei Figuren ausschneidet und diese aufeinander legt, decken diese sich komplett gegenseitig ab.

  Kongruenzabbildungen sind

  • Verschiebungen,
  • Drehungen
  • Spiegelungen an einer Achse oder an einem Punkt

  Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Für eine zentrische Streckung benötigt man:

  • ein Streckzentrum (einen Punkt) $Z$ sowie
  • einen Streckfaktor $k$.

  Es gilt der folgende Merksatz:

  Wenn man zentrische Streckung und kongruente Abbildungen hintereinander ausführt, so erhält man eine Figur, die ähnlich zu der Ausgangsfigur ist. Eine solche Abbildung heißt Ähnlichkeitsabbildung.

• Beschreibe, wie das Drachenviereck auf ein ähnliches Drachenviereck abgebildet wird.

  Tipps

  Beachte, dass eine Ähnlichkeitsabbildung durch das Hintereinanderausführen von zentrischer Streckung und Kongruenzabbildung entsteht.

  Die Reihenfolge könnte auch vertauscht werden.

  Bei Kongruenz- sowie Ähnlichkeitsabbildungen werden Ausgangsfiguren auf Bildfiguren abgebildet.

  Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen sind Kongruenzabbildungen.

  Lösung

  Um von dem Ausgangs-Drachenviereck oben links zu dem ähnlichen Bild-Drachenviereck unten rechts zu gelangen, geht man wie folgt vor - entsprechend der obigen Bilder von oben nach unten:

  1. Das Drachenviereck wird an dem Streckzentrum, dem eingezeichneten Punkt, um einen Streckfaktor $k$ gestreckt.
  2. In diesem Beispiel ist der Streckfaktor negativ und kleiner als $-1$, weswegen das erste Bild-Drachenviereck zum einen gespiegelt wird an dem Streckzentrum und zum anderen vergrößert. Diese Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.
  3. Dieses erste Bild-Drachenviereck wird nun an der horizontalen Achse gespiegelt. Dies ist eine Kongruenzabbildung.

• Erkläre die Bedeutung des Streckfaktors $k$ bei einer zentrischen Streckung.

  Tipps

  Betrachte die obigen Strecken.

  Führe die zentrischen Streckungen auf einem Blatt selbst durch.

  Hier siehst du als Beispiel die zentrische Streckung eines Parallelogramms.

  Bei einer zentrischen Streckung gehst du wie folgt vor:

  • Du zeichnest eine Halbgerade von $Z$ zu jedem Eckpunkt der Figur, welche du strecken möchtest.
  • Nun misst du die Länge der Strecke von $Z$ zu jedem Eckpunkt.
  • Diese Länge multiplizierst du mit dem Streckfaktor.

  Was passiert zum Beispiel bei $k=1$?

  Lösung

  Für eine zentrische Streckung benötigt man ein Streckzentrum $Z$. Dieses Zentrum kann ein Eckpunkt der Figur sein oder außerhalb beziehungsweise innerhalb der Figur liegen.

  Welche Bedeutung hat der Streckfaktor $k$? Hier kann man die folgenden Fälle überprüfen:

  • $k>1$: Die Ausgangsfigur wird zur Bildfigur vergrößert. Dies entspricht in der Abbildung der roten Strecke mit $k=3$.
  • $k=1$: Die Ausgangsfigur und Bildfigur sind gleich. Dies ist die grüne Strecke.
  • $0<k<1$: Die Ausgangsfigur wird zur Bildfigur verkleinert. Dies entspricht beispielsweise der blauen Strecke mit $k=0,5$.
  • $-1<k<0$: Die Ausgangsfigur wird zur Bildfigur an $Z$ gespiegelt und verkleinert.
  • $k=-1$: Die Ausgangsfigur wird an dem Streckzentrum $Z$ gespiegelt. Dies ist bei der gelben Strecke zu sehen.
  • $k<-1$: Die Ausgangsfigur wird zur Bildfigur an $Z$ gespiegelt und vergrößert.

  Eigentlich ist eine Streckung für $k=0$ nicht erklärt. Wenn man diese Streckung durchführen würde, wäre die Bildfigur das Streckzentrum $Z$. Dies ist nicht wirklich sinnvoll.

• Entscheide, welche der Figuren ähnlich zu der Ausgangsfigur sind.

  Tipps

  Beachte, dass bei Ausgang- und Bildfigur alle Winkel gleich groß sein müssen.

  Die Seitenverhältnisse in den Dreiecken stimmen überein.

  Das rote Dreieck ist gleichschenklig.

  Prüfe die jeweilige Länge der Grundseite und der zugehörigen Höhe. Diese sind gleich groß.

  Eines der Dreiecke ist sogar kongruent zu dem roten Dreieck. Es ist gedreht.

  Lösung

  Wenn Figuren (in diesem Beispiel: Dreiecke) auf Ähnlichkeit untersucht werden sollen, kann man zunächst nach dem Ausschlusskriterium vorgehen:

  • Da das rote Dreieck gleichschenklig ist, muss auch jedes dazu ähnliche Dreieck gleichschenklig sein: Das violette Dreieck ist nicht gleichschenklig. Dies kann also nicht ähnlich zu dem roten sein.
  • Das rote Dreieck ist nicht rechtwinklig. Damit kann auch das grüne nicht ähnlich zu diesem Dreieck sein, da das grüne Dreieck einen rechten Winkel hat.
  • Bei den übrigen Dreiecken können die Seitenverhältnisse überprüft werden. Dabei genügt es, jeweils die Länge der Grundseite und die der entsprechenden Höhe zu betrachten. Diese beträgt bei dem roten Dreieck jeweils $4$ Kästchen.
  • Bei dem grauen Dreieck ist die Grundseite $5$ und die Höhe $6$ Kästchen lang. Dieses Dreieck ist nicht ähnlich zu dem roten.
  • Das blaue Dreieck hat ebenfalls $4$ Kästchen jeweils bei der Grundseite als auch bei der Höhe. Dieses Dreieck geht durch Drehung aus dem roten hervor. Es ist kongruent und damit insbesondere ähnlich zu dem roten Dreieck.
  • Das gelbe Dreieck hat sowohl bei der Grundseite als auch bei der Höhe $6$ Kästchen. Dieses Dreieck ist ähnlich zu dem roten Dreieck.

• Gib an, ob eine Ähnlichkeitsabbildung oder eine Kongruenzabbildung vorliegt.

  Tipps

  Übrigens: Jede Kongruenzabbildung ist auch eine Ähnlichkeitsabbildung.

  So ist zum Beispiel eine Verschiebung eine Kongruenzabbildung und damit eine Ähnlichkeitsabbildung.

  Kongruent bedeutet deckungsgleich.

  Sind zwei Figuren ähnlich, so ist die eine eine Vergrößerung oder Verkleinerung der anderen.

  Lösung

  Durch eine Kongruenzabbildung wird eine Figur auf eine kongruente, also deckungsgleiche, Figur abgebildet.

  Kongruenzabbildungen sind

  • Verschieben
  • Drehen
  • Spiegelung an einer Achse oder an einem Punkt

  Wird eine Figur zentrisch gestreckt, so entsteht eine ähnliche Figur.

  Eine zentrische Streckung entspricht einer Vergrößerung oder Verkleinerung dieser Figur, je nach Streckfaktor $k$. Dies ist im Allgemeinen eine Ähnlichkeitsabbildung.

• Prüfe die folgenden Aussagen zur Kongruenz und Ähnlichkeit von geometrischen Figuren.

  Tipps

  Bei ähnlichen Figuren stimmen die Winkel überein.

  Kongruent bedeutet, dass die Figuren ausgeschnitten werden können und sich gegenseitig komplett abdecken.

  Bei gleichseitigen Dreiecken sind alle Winkel gleich groß, nämlich $60^\circ$.

  Lösung

  Wie kann man Figuren auf Ähnlichkeit überprüfen?

  Zunächst einmal können nur Figuren ähnlich zueinander sein, welche die gleiche Anzahl an Eckpunkten haben.

  Das bedeutet, dass nur Vierecke ähnlich zu Vierecken und Dreiecke zu Dreiecken sein können.

  Auch hier kann wieder unterschieden werden:

  • Bei Dreiecken können nur Dreiecke, deren Winkel identisch sind, ähnlich zueinander sein.
  • Dies gilt ähnlich bei Vierecken: Ein Drachenviereck kann nicht ähnlich zu einem Trapez sein.

  Nun können verschiedene Spezialfälle betrachtet werden.

  • Quadrate sind immer ähnlich zueinander, allerdings nicht unbedingt kongruent.
  • Ebenso sind gleichseitige Dreiecke immer ähnlich zueinander, aber auch nicht zwingend kongruent. Bei gleichseitigen Dreiecken sind alle Winkel gleich groß, nämlich $60^\circ$.
  • Gleichschenklige Dreiecke müssen noch nicht einmal ähnlich sein, da hier nur zwei Winkel gleich groß sind.

  Merke: Bei ähnlichen Figuren sind die Winkel gleich groß.

  Es gibt bei Dreiecken verschiedene Kongruenzsätze:

  • SSS: Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.
  • SWS: Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen zweier Seiten sowie in der Größe des eingeschlossenen Winkels übereinstimmen.
  • WSW: Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in der Länge einer Seite sowie in der Größe der beiden anliegenden Winkel übereinstimmen.

  Ein Sonderfall ist ein Kreis. Dieser besitzt keine Ecken. Da Kreise immer einen Mittelpunkt und einen Radius haben, sind diese immer ähnlich zueinander. Dies kann man sich an der zentrischen Streckung eines Kreises klarmachen:

  • Der Mittelpunkt wird zentrisch gestreckt.
  • Um diesen Mittelpunkt zeichnet man einen Kreis mit dem $|k|$-fachen des Ausgangsradius.

  Wenn die Radien zweier Kreise übereinstimmen, sind die Kreise sicherlich kongruent. Man kann den Mittelpunkt des einen Kreises (und damit den gesamten Kreis) auf den Mittelpunkt des anderen Kreises verschieben. Die beiden Kreise decken sich komplett ab.