Hypotenuse berechnen

Hypotenuse berechnen Übung

• Wie kannst du die Hypotenuse berechnen?

  Tipps

  Drei Antworten sind richtig.

  Lösung

  Du kannst die Hypotenuse, die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, auf drei Arten bestimmen.

  Wenn du die Länge der beiden Katheten kennst, kannst du sie mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

  $a^2+b^2=c^2$

  Wenn du einen Winkel und die Gegenkathete kennst, kannst du die Formel für den Sinus umformen, um sie zu berechnen.

  $\text{Sinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Wenn du einen Winkel und die Ankathete kennst, kannst du die Formel für den Cosinus umformen, um sie zu berechnen.

  $\text{Cosinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$.

• Welche Art der Berechnung der Hypotenuse kannst du nutzen?

  Tipps

  Jeweils zwei Elemente gehören zu einer Art der Berechnung.

  Lösung

  Du kannst den Satz des Pythagoras verwenden, wenn du die Länge der beiden Katheten kennst.

  $a^2+b^2=c^2$

  Du kannst die Formel für den Sinus verwenden, wenn du einen Winkel und die Gegenkathete kennst.

  $\text{Sinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Du kannst die Formel für den Cosinus verwenden, wenn du einen Winkel und die Ankathete kennst.

  $\text{Cosinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$.

• Wie gehst du bei der Berechnung der Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras vor?

  Tipps

  Berechne die Quadrate, bevor du die Wurzel ziehst.

  Lösung

  Setze die Werte zunächst in die Formel sein:

  $c^2=\left(3~\text{cm}\right)^2+\left(4~\text{cm}\right)^2$

  Berechne danach die Quadrate.

  $c^2=9~\text{cm}^2+16~\text{cm}^2$

  Im nächsten Schritt summierst du die Quadrate.

  $c^2=25~\text{cm}^2$

  Ziehe anschließend auf beiden Seiten die Wurzel.

  $\sqrt{c^2}=\sqrt{25~\text{cm}^2}$

  Die Länge der Hypotenuse ist $c=5~\text{cm}$.

  Das Ergebnis $-5$ beim Ziehen der Quadratwurzel kann vernachlässigt werden, da es sich um Längen handelt.

• Berechne die Hypotenuse mit den Sinus.

  Tipps

  Achte darauf, richtig zu runden.

  Lösung

  Wir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $\alpha=34^\circ$. Die Gegenkathete ist $5~\text{cm}$ lang.

  Setze für die Berechnung der Hypotenuse zunächst die Werte in die Formel ein und stelle sie anschließend um.

  $\sin(34^\circ) = \dfrac{5~\text{cm}}{\text{Hypotenuse}}$

  $\text{Hypotenuse} = 5~\text{cm} : \sin(34^\circ)$

  Jetzt kannst du die Hypotenuse berechnen.

  $\text{Hypotenuse} \approx 5~\text{cm} : 0,56$

  $\text{Hypotenuse} \approx 8,93~\text{cm}$

• Berechne die Hypotenuse mit dem Sinus, indem du die Elemente an die richtige Stelle ziehst.

  Tipps

  Achte darauf, die Größen des Winkels und der Gegenkathete auseinanderzuhalten.

  Lösung

  Wir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $\alpha=45^\circ$. Die Gegenkathete ist $4~\text{cm}$ lang.

  Setze für die Berechnung der Hypotenuse zunächst die Werte in die Formel ein und stelle sie anschließend um.

  $\sin(45^\circ) = \dfrac{4~\text{cm}}{\text{Hypotenuse}}$

  $\text{Hypotenuse} = 4~\text{cm} : \sin(45^\circ)$

  Jetzt kannst du die Hypotenuse berechnen.

  $\text{Hypotenuse} \approx 4~\text{cm} : 0,71$

  $\text{Hypotenuse} \approx 5,63~\text{cm}$

• Berechne die Hypotenuse mit der Formel für den Cosinus und wähle die richtigen Antworten aus.

  Tipps

  Vier Aussagen sind richtig.

  Lösung

  Die richtigen Aussagen sind:

  Für die Berechnung kannst du diese Formel nutzen:

  $\text{Cosinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$.

  Die Formel mit den eingesetzten Werten lautet:

  $\cos(30^\circ) = \dfrac{\text{16}}{\text{Hypotenuse}}$.

  Für die Berechnung kannst du die Formel wie folgt umstellen:

  $\text{Hypotenuse} = 16 : \cos(30^\circ)$

  Jetzt kannst du die Hypotenuse berechnen.

  $\text{Hypotenuse} \approx 16~\text{cm} : 0,87$

  $\text{Hypotenuse} \approx 18,39~\text{cm}$