Hypotenuse berechnen
Die Hypotenuse berechnen ist ganz einfach! Sie ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Du kannst die Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras, der Sinus-Formel oder der Cosinus-Formel berechnen. Interessiert? Finde alle Methoden und Beispiele im folgenden Text!
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Lerntext zum Thema Hypotenuse berechnen
Hypotenuse berechnen – drei verschiedene Möglichkeiten
Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt immer dem rechten Winkel gegenüber.
Du kannst die Hypotenuse auf drei verschiedene Arten berechnen, abhängig davon welche Seiten und/oder Winkel in einem Dreieck du kennst.
Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras berechnen
Bei der ersten Variante, die Hypotenuse zu berechnen, nutzt du den Satz des Pythagoras. Dieser lautet: $a^2+b^2=c^2$
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in rechtwinkligen Dreiecken der Flächeninhalt der beiden Kathetenquadrate zusammen genauso groß ist wie der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.
Du kannst den Satz des Pythagoras nutzen, um die Länge der Hypotenuse zu berechnen, wenn du die beiden Kathetenlängen (also die beiden anderen Seitenlängen im Dreieck) kennst.
Beispiel: Berechnung der Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras
Die beiden Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck haben die Längen $a=3~\text{cm}$ und ${b=4~\text{cm}}$.
Wie lang ist die Hypotenuse $c$?
Setze die Werte zunächst in die Formel sein:
$c^2=\left(3~\text{cm}\right)^2+\left(4~\text{cm}\right)^2$
Berechne danach die Quadrate.
$c^2=9~\text{cm}^2+16~\text{cm}^2$
Im nächsten Schritt summierst du die Quadrate.
$c^2=25~\text{cm}^2$
Ziehe anschließend auf beiden Seiten die Wurzel.
$\sqrt{c^2}=\sqrt{25~\text{cm}^2}$
Die Länge der Hypotenuse ist $c=5~\text{cm}$.
Die Lösung $c=-5$ beim Ziehen der Quadratwurzel kann vernachlässigt werden, da es sich um Längen handelt.
Hypotenuse mit der Formel für den Sinus berechnen
Der Sinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von der Gegenkathete zur Hypotenuse:
$\text{Sinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Um die Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, kannst du also auch eine Winkelgröße und die Länge der entsprechenden Gegenkathete nutzen, wenn diese bekannt sind.
Beispiel: Berechnung der Hypotenuse mit dem Sinus
Wir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $\alpha=45^\circ$. Die Gegenkathete ist $4~\text{cm}$ lang.
Setze für die Berechnung der Hypotenuse zunächst die Werte in die Formel ein und stelle sie anschließend um.
$\sin(45^\circ) = \dfrac{4~\text{cm}}{\text{Hypotenuse}}$
$\text{Hypotenuse} = 4~\text{cm} : \sin(45^\circ)$
Jetzt kannst du die Hypotenuse berechnen.
$\text{Hypotenuse} \approx 4~\text{cm} : 0,71$
$\text{Hypotenuse} \approx 5,66~\text{cm}$
Hypotenuse mit der Formel für den Cosinus berechnen
Der Cosinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von der Ankathete zur Hypotenuse.
$\text{Cosinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Um die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, musst du die Größe eines Winkels und die dazugehörige Ankathete kennen.
Beispiel: Berechnung der Hypotenuse mit dem Cosinus
Wir betrachten ein weiteres rechtwinkliges Dreieck. Bei diesem Dreieck beträgt der Winkel ${\alpha=30^\circ}$. Die Ankathete des Dreiecks ist $6~\text{cm}$ lang.
Setze die Werte zunächst in die Formel ein und stelle sie anschließend um.
$\cos(30^\circ) = \dfrac{6~\text{cm}}{\text{Hypotenuse}}$
$\text{Hypotenuse} = 6~\text{cm} : \cos(30^\circ)$
Jetzt kannst du die Hypotenuse berechnen.
$\text{Hypotenuse} \approx 6~\text{cm} : 0,87$
$\text{Hypotenuse} \approx 6,94~\text{cm}$
Hypotenuse berechnen – Zusammenfassung
Du kannst die Hypotenuse, die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, auf drei Arten bestimmen.
Wenn du die Länge der beiden Katheten kennst, kannst du sie mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$a^2+b^2=c^2$
Für die Hypotenuse $c$ gilt dann: $c=\sqrt{a^2+b^2}$
Wenn du einen Winkel und die Gegenkathete kennst, kannst du die Formel für den Sinus umformen, um sie zu berechnen.
$\text{Sinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Wenn du einen Winkel und die Ankathete kennst, kannst du die Formel für den Cosinus umformen, um sie zu berechnen.
$\text{Cosinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Es gilt: $\text{Hypotenuse}= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\sin{(\alpha)}}= \dfrac{\text{Ankathete}}{\cos{(\alpha)}}$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Hypotenuse berechnen
Hypotenuse berechnen Übung
-
Wie kannst du die Hypotenuse berechnen?
TippsDrei Antworten sind richtig.
LösungDu kannst die Hypotenuse, die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, auf drei Arten bestimmen.
Wenn du die Länge der beiden Katheten kennst, kannst du sie mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$a^2+b^2=c^2$
Wenn du einen Winkel und die Gegenkathete kennst, kannst du die Formel für den Sinus umformen, um sie zu berechnen.
$\text{Sinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Wenn du einen Winkel und die Ankathete kennst, kannst du die Formel für den Cosinus umformen, um sie zu berechnen.
$\text{Cosinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$.
-
Welche Art der Berechnung der Hypotenuse kannst du nutzen?
TippsJeweils zwei Elemente gehören zu einer Art der Berechnung.
LösungDu kannst den Satz des Pythagoras verwenden, wenn du die Länge der beiden Katheten kennst.
$a^2+b^2=c^2$
Du kannst die Formel für den Sinus verwenden, wenn du einen Winkel und die Gegenkathete kennst.
$\text{Sinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Du kannst die Formel für den Cosinus verwenden, wenn du einen Winkel und die Ankathete kennst.
$\text{Cosinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$.
-
Wie gehst du bei der Berechnung der Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras vor?
TippsBerechne die Quadrate, bevor du die Wurzel ziehst.
LösungSetze die Werte zunächst in die Formel sein:
$c^2=\left(3~\text{cm}\right)^2+\left(4~\text{cm}\right)^2$
Berechne danach die Quadrate.
$c^2=9~\text{cm}^2+16~\text{cm}^2$
Im nächsten Schritt summierst du die Quadrate.
$c^2=25~\text{cm}^2$
Ziehe anschließend auf beiden Seiten die Wurzel.
$\sqrt{c^2}=\sqrt{25~\text{cm}^2}$
Die Länge der Hypotenuse ist $c=5~\text{cm}$.
Das Ergebnis $-5$ beim Ziehen der Quadratwurzel kann vernachlässigt werden, da es sich um Längen handelt.
-
Berechne die Hypotenuse mit den Sinus.
TippsAchte darauf, richtig zu runden.
LösungWir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $\alpha=34^\circ$. Die Gegenkathete ist $5~\text{cm}$ lang.
Setze für die Berechnung der Hypotenuse zunächst die Werte in die Formel ein und stelle sie anschließend um.
$\sin(34^\circ) = \dfrac{5~\text{cm}}{\text{Hypotenuse}}$
$\text{Hypotenuse} = 5~\text{cm} : \sin(34^\circ)$
Jetzt kannst du die Hypotenuse berechnen.
$\text{Hypotenuse} \approx 5~\text{cm} : 0,56$
$\text{Hypotenuse} \approx 8,93~\text{cm}$
-
Berechne die Hypotenuse mit dem Sinus, indem du die Elemente an die richtige Stelle ziehst.
TippsAchte darauf, die Größen des Winkels und der Gegenkathete auseinanderzuhalten.
LösungWir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $\alpha=45^\circ$. Die Gegenkathete ist $4~\text{cm}$ lang.
Setze für die Berechnung der Hypotenuse zunächst die Werte in die Formel ein und stelle sie anschließend um.
$\sin(45^\circ) = \dfrac{4~\text{cm}}{\text{Hypotenuse}}$
$\text{Hypotenuse} = 4~\text{cm} : \sin(45^\circ)$
Jetzt kannst du die Hypotenuse berechnen.
$\text{Hypotenuse} \approx 4~\text{cm} : 0,71$
$\text{Hypotenuse} \approx 5,63~\text{cm}$
-
Berechne die Hypotenuse mit der Formel für den Cosinus und wähle die richtigen Antworten aus.
TippsVier Aussagen sind richtig.
LösungDie richtigen Aussagen sind:
Für die Berechnung kannst du diese Formel nutzen:
$\text{Cosinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$.
Die Formel mit den eingesetzten Werten lautet:
$\cos(30^\circ) = \dfrac{\text{16}}{\text{Hypotenuse}}$.
Für die Berechnung kannst du die Formel wie folgt umstellen:
$\text{Hypotenuse} = 16 : \cos(30^\circ)$
Jetzt kannst du die Hypotenuse berechnen.
$\text{Hypotenuse} \approx 16~\text{cm} : 0,87$
$\text{Hypotenuse} \approx 18,39~\text{cm}$
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