Cosinus und Tangens – Definition

Cosinus und Tangens – Definition Übung

• Vervollständige den Text zur Wiederholung der Trigonometrie.

  Tipps

  In der Trigonometrie werden Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln von Dreiecken untersucht.

  Gegenüber des rechten Winkels liegt die längste Seite des Dreiecks.

  Die Katheten werden nach ihrer Position zum dazugehörigen Winkel benannt.

  Lösung

  Die drei Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens heißen auch trigonometrische Funktionen. Es handelt sich dabei um Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck. Dadurch ist es möglich, fehlende Winkel- oder Seitengrößen einfach zu berechnen.

  Betrachten wir einen bestimmten Innenwinkel des Dreiecks, so ist die gegenüberliegende Seite dieses Winkels die Gegenkathete. Die an dem Winkel anliegende Seite nennt man Ankathete. Die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, nennen wir Hypotenuse. Sie ist stets die längste Seite im Dreieck.

• Bestimme Schritt für Schritt die Rechnung zum Tangens.

  Tipps

  Die Seite $h$ liegt dem Winkel $\alpha = 45^\circ$ gegenüber.

  Es gilt: $\tan (45^\circ) = 1$

  Lösung

  Bei trigonometrischen Funktionen betrachten wir stets rechtwinklige Dreiecke. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit $\alpha = 45^\circ$ und anliegend die Seite mit der Größe von $10 ~\text{m}$, welche die Ankathete darstellt. Dem Winkel gegenüber liegt die gesuchte Höhe $h$, welche der Gegenkathete des Winkels entspricht.

  Wir betrachten also das Seitenverhältnis der Gegenkathete zur Ankathete in Bezug zum Winkel $\alpha$ im rechtwinkligen Dreieck, um die Lösung für die Höhe $h$ herauszufinden. Dabei wird die Gleichung mithilfe des Tangens aufgestellt. Die gegebenen Werte können in die Gleichung eingesetzt und die Variable anschließend wie folgt berechnet werden:

  $\begin{array}{rlll} \tan (\alpha)& =& \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\ \\ \tan (45^\circ) &= &\frac{h}{10~\text{m}} &| \cdot 10 ~\text{m} \\ \\ \tan (45^\circ) \cdot 10~\text{m} &=& h \\ \\ 1 \cdot 10~\text{m} &=& h \\ \\ h & =&10~\text{m} \end{array}$

  Beachte dabei, dass gilt: $\tan(45^\circ) = 1$. Dies kannst du in deinem Taschenrechner nachrechnen.

• Berechne die fehlende Größe.

  Tipps

  Der Tangens lautet: $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

  Die Werte $\alpha = 45^\circ$ und $a=8~\text{cm}$ werden in die Formel eingesetzt und nach der Variablen aufgelöst.

  $\tan(45^\circ) = 1$

  Lösung

  Im Dreieck $ABC$ ist der Winkel $\alpha = 45^\circ$ und die Gegenkathete $a=8~\text{cm}$ gegeben. Um die Ankathete $b$ zu berechnen, nutzen wir eine trigonometrische Funktion. In diesem Fall den Tangens, da er das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Ankathete angibt. Wir stellen die Gleichung auf und lösen nach der Variablen auf:

  $\begin{array}{rlll} \tan (\alpha)& =& \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\ \\ \tan (45^\circ) &= &\frac{8~\text{cm}}{b} &| \cdot b \\ \\ \tan (45^\circ) \cdot b &=& 8~\text{cm} & | : \tan (45^\circ) \\ \\ b &=& \frac{8~\text{cm}}{\tan (45^\circ)} & \\ \\ b &=& \frac{8~\text{cm}}{1} & \\ \\ b& =& 8~\text{cm} & \\ \end{array}$

• Berechne die Länge der Leiter.

  Tipps

  Die Länge der Leiter entspricht exakt der Strecke zwischen dem Prinz und dem Fenster.

  Der Kosinus lautet: $\cos (\alpha)= \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Die Werte $\alpha = 45^\circ$ und $\text{Ankathete}=10~\text{m}$ werden in die Formel eingesetzt und nach der Variablen aufgelöst.

  Lösung

  Um das Ergebnis zu berechnen, müssen wir eine trigonometrische Funktion im rechtwinkligen Dreieck aufstellen und berechnen. Wir suchen die längste Seite $c$ des Dreiecks. Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel und entspricht exakt der Strecke zwischen Prinz und dem Fenster. In der Trigonometrie nennen wir diese Seite die Hypotenuse. Diese Streckenlänge wird gesucht.

  Gegeben ist neben dem Winkel $45^\circ$ die Ankathete mit $10~\text{m}$. Der Kosinus beschreibt das Seitenverhältnis von Ankathete zu Hypotenuse und ist somit für unsere Berechnung notwendig. Wir stellen die Gleichung auf und lösen nach der Variablen auf:

  $\begin{array}{rlll} \cos (45^\circ)& =& \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}& \\ \\ \cos (45^\circ) &= & \frac{10~\text{m}}{c}& | \cdot c \\ \\ \cos (45^\circ) \cdot c &= & 10~\text{m} & | : \cos (45^\circ) \\ \\ c &= & \frac{10~\text{m}}{\cos (45^\circ)} \\ \\ c& \approx&14,14~\text{m} \end{array}$

  Die Berechnung mithilfe des Kosinus bringt uns das Ergebnis $c \approx 14,14~\text{m}$. Beachte beim Umformen der Gleichung, wie du Schritt für Schritt die Werte und Variablen umformst. Zunächst bringst du das $c$ auf die andere Seite, indem du beide Seiten mit $c$ multiplizierst. Anschließend teilst du die Gleichung durch $\cos (45^\circ)$.

• Vervollständige die Winkelfunktionen.

  Tipps

  Der Sinus beschreibt das Seitenverhältnis mit einer des Winkels gegenüberliegenden Seite und der längsten Seite des rechtwinkligen Dreiecks.

  Der Kosinus beinhaltet eine dem Winkel anliegende Seite.

  Die längste Seite des Dreiecks spielt beim Tangens keine Rolle.

  Lösung

  Die Winkelfunktionen $\sin$, $\cos$ und $\tan$ heißen auch trigonometrische Funktionen und ermöglichen das Berechnen von Seiten und Winkelgrößen im rechtwinkligen Dreieck. In unserem vorliegenden Dreieck $ABC$ können wir ganz einfach die jeweilige Winkelfunktion zum Winkel $\alpha$ bestimmen.

  
  

  • Betrachten wir die gegenüberliegende Seite des Winkels im Verhältnis zur Hypotenuse (gegenüber des rechten Winkels und längste Seite des Dreiecks), so können wir den Sinus bilden: $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  
  

  • Betrachten wir die anliegende Seite des Winkels im Verhältnis zur Hypotenuse (gegenüber des rechten Winkels und längste Seite des Dreiecks), so können wir den Kosinus bilden: $\cos (\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  
  

  • Betrachten wir die gegenüberliegende Seite des Winkels im Verhältnis zur anliegenden Seite, so können wir den Tangens bilden: $\tan (\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

• Überprüfe, welche der Angaben korrekt sind.

  Tipps

  Die Winkelfunktion des Kosinus wird aus der anliegenden Seite eines Winkels und der längsten Seite des rechtwinkligen Dreiecks gebildet.

  Die Kosinusfunktion im Koordinatensystem.

  Die Winkelfunktion des Kosinus wird durch den Quotient zweier Seiten dargestellt.

  Lösung

  Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens heißen auch trigonometrische Funktionen. Das Rechnen mit ihnen wird als Trigonometrie bezeichnet.

  Die drei richtigen Lösungen lauten:

  • Der Kosinus wird aus dem Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse gebildet: $\cos (\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$.
  • Der Wertebereich des Kosinus liegt zwischen $-1$ und $+1$. Dies kannst du ganz einfach mit deinem Taschenrechner nachrechnen. Füge verschiedene Winkelwerte für $\cos(\alpha)$ ein und berechne das Ergebnis. Du siehst im zweiten Tipp dazu den Verlauf des Kosinus im Koordinatensystem.
  • Der Kosinus beschreibt ein Seitenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck, da er den Quotienten zwischen Ankathete und Hypotenuse bildet.

  
  Nicht korrekt sind folgende Angaben:
  

  • Die Werte des Kosinus sind immer positiv.

  Gegenbeispiel: $\cos (120^\circ) = -0,5$
  

  • $\cos(\alpha) = \sin(\alpha) \cdot \tan(\alpha)$ gilt nicht.