Sinus, Cosinus und Tangens – Anwendungsaufgaben

Sinus, Cosinus und Tangens – Anwendungsaufgaben Übung

• Beschreibe die Zusammenhänge bei Sinus, Cosinus und Tangens.

  Tipps

  Für Sinus und Cosinus brauchen wir die Hypotenuse, die jeweils immer im Nenner des Bruches steht.

  Die drei sogenannten Winkelfunktionen setzen die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks in ein Verhältnis zueinander.

  Drei Aussagen sind korrekt.

  Lösung

  In einem rechtwinkligen Dreieck, also einem Dreieck, in dem einer der drei Innenwinkel $90^\circ$ beträgt, benennen wir die Seiten wie folgt:

  • Die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, wird Hypotenuse genannt.
  • Die Kathete, welche dem Ausgangswinkel anliegt, wird Ankathete genannt.
  • Die Kathete, welche diesem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete.

  Mit diesen drei sogenannten Winkelfunktionen werden die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks in ein Verhältnis zueinander gesetzt. Sie helfen uns, die Seiten und Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen.
  Es gibt drei verschiedene trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus und Tangens.

  Der Sinus wird durch das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse ausgedrückt. Mathematisch schreiben wir:

  $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Der Cosinus beschreibt das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse. Wir schreiben:

  $\cos( \alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Der Tangens wird ohne Hinzunahme der Hypotenuse ermittelt, denn er definiert sich durch das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete:

  $\tan( \alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

  Folgende Aussagen sind somit richtig:

  • Beim Cosinus wird in einem rechtwinkligen Dreieck die Ankathete mit der Hypotenuse in Beziehung gesetzt.
  • Nur beim Tangens wird nicht durch die Hypotenuse dividiert.
  • Der Sinus wird durch das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse ausgedrückt.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Sinus, Cosinus und Tangens stellen jeweils einen Winkel dar.

  Das ist nicht korrekt, weil Sinus, Cosinus und Tangens Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck sind.

• Gib an, welche Winkelfunktion zur Berechnung angewendet wird.

  Tipps

  Um zu entscheiden, welche der Winkelfunktionen angewendet wird, musst du jeweils schauen, welche Größen gegeben und welche gesucht sind. Wähle dann die Formel, die diese Größen miteinander in Beziehung setzt.

  Sinus und Cosinus verknüpfen einen Winkel im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten und der Hypotenuse.

  Lösung

  Du hast diese drei trigonometrischen Sätze kennengelernt:

  • Sinus: $\sin(\alpha)= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Cosinus: $\cos (\alpha)= \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Tangens: $\tan(\alpha)= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

  Um zu entscheiden, welche der Winkelfunktionen angewendet wird, schauen wir jeweils, welche Größen gegeben und welche gesucht sind:

  Aufgabe 1:

  Der Winkel $\alpha$ und die Seite $c$, welche die Hypotenuse ist, sind gegeben. Die Seite $b$, welche die Ankathete des Winkels $\alpha$ ist, ist gesucht.
  Wir müssen also den Winkel, die Ankathete und die Hypotenuse miteinander in Verbindung bringen: Diese Größen werden im Cosinus zueinander in Beziehung gesetzt.

  Aufgabe 2:

  Die Seite $a$, welche die Gegenkathete des Winkels $\alpha$ ist und die Seite $c$, welche die Hypotenuse ist, sind gegeben. Der Winkels $\alpha$ ist gesucht.
  Wir müssen also den Winkel, die Gegenkathete und die Hypotenuse miteinander in Verbindung bringen: Diese Größen werden im Sinus zueinander in Beziehung gesetzt.

  Aufgabe 3:

  Ein Winkel und dessen Ankathete sind gegeben. Die Gegenkathete des Winkels ist gesucht.
  Wir müssen also den Winkel, die Ankathete und die Gegenkathete miteinander in Verbindung bringen: Diese Größen werden im Tangens zueinander in Beziehung gesetzt.

• Ermittle, in welchem Winkel die Sonnenstrahlen auf den Boden treffen.

  Tipps

  Skizziere zunächst die Situation mit gegebenen und gesuchten Größen.

  Der Winkel $\alpha$, in welchem die Sonnenstrahlen auf den Boden treffen, ist gesucht. Der $5\,\text{m}$ hohe Baum ist die Gegenkathete dieses Winkels. Der $6\,\text{m}$ lange Schatten ist die Ankathete des Winkels.

  Du brauchst die Umkehrfunktion, um den gesuchten Winkel zu berechnen.

  Lösung

  Gegeben und gesucht

  Um die Textaufgabe zu lösen, vergegenwärtigen wir uns in einer Skizze zunächst, welche Größen gegeben und welche gesucht sind. Der Winkel $\alpha$, in welchem die Sonnenstrahlen auf den Boden treffen, ist gesucht. Der $5\,\text{m}$ hohe Baum ist die Gegenkathete dieses Winkels. Der $6\,\text{m}$ lange Schatten ist die Ankathete des Winkels.

  Formel auswählen

  Wir suchen eine Formel, die einen Winkel und dessen Gegenkathete und Ankathete miteinander in Beziehung setzt. Die gesuchte Formel ist der Tangens:

  $\color{#99CC00}{\mathbf{\tan( \alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}}$

  Werte einsetzen und Gleichung lösen

  Wir setzen die gegebenen Werte ein:

  $\tan( \alpha) = \dfrac{5\,\text{m}}{6\,\text{m}} = \color{#99CC00}{\mathbf{\dfrac{5}{6}}}$

  Wir müssen nun die Umkehrfunktion des Tangens anwenden, um den gesuchten Winkel zu berechnen. Dazu nutzen wir auf dem Taschenrechner den Befehl $tan^{-1}$ und erhalten:

  $\alpha \approx \color{#99CC00}{\mathbf{39{,}8^\circ}}$

  Antwortsatz

  Die Sonnenstrahlen treffen in einem Winkel von $\color{#99CC00}{\mathbf{39{,}8^\circ}}$ auf den Boden.

• Ordne die Dreiecke nach der Länge der Seite $x$.

  Tipps

  Benenne in jedem Dreieck die gegebenen und gesuchten Größen und entscheide so, welche Winkelfunktion du verwendest.

  Beispiel:

  • Winkel: $30^\circ$
  • Gegenkathete des Winkels: $16$ (grüne Seite)
  • Hypotenuse: $x$ (rote Seite)

  Wir verwenden den Sinus:

  $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Einsetzen der Werte:

  $\sin(30^\circ) = \dfrac{16}{x} \quad \Leftrightarrow \quad x = \dfrac{16}{\sin(30^\circ) } = 32$

  Lösung

  In einem rechtwinkligen Dreieck, also einem Dreieck, in dem einer der drei Innenwinkel $90^\circ$ beträgt, gelten diese drei trigonometrischen Funktionen:

  • $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • $\cos( \alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • $\tan( \alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

  Wir benennen in jedem Dreieck die gegebenen und gesuchten Größen und entscheiden so, welche Winkelfunktion wir verwenden:

  Dreieck 1:

  • Winkel: $30^\circ$
  • Gegenkathete des Winkels: $x$ (grüne Seite)
  • Hypotenuse: $16$ (rote Seite)

  Wir verwenden den Sinus:

  $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Einsetzen der Werte:

  $\sin(30^\circ) = \dfrac{x}{16} \quad \Leftrightarrow \quad x = \sin(30^\circ) \cdot 16 = 8$

  Dreieck 2:

  • Winkel: $60^\circ$
  • Ankathete des Winkels: $x$ (grüne Seite)
  • Gegenkathete des Winkels: $32$ (blaue Seite)

  Wir verwenden den Tangens:

  $\tan( \alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

  Einsetzen der Werte:

  $\tan(60^\circ) = \dfrac{32}{x} \quad \Leftrightarrow \quad x = \dfrac{32}{\tan(60^\circ) } \approx 18{,}5$

  Dreieck 3:

  • Winkel: $60^\circ$
  • Gegenkathete des Winkels: $x$ (blaue Seite)
  • Hypotenuse: $32$ (rote Seite)

  Wir verwenden den Sinus:

  $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Einsetzen der Werte:

  $\sin(60^\circ) = \dfrac{x}{32} \quad \Leftrightarrow \quad x = \sin(60^\circ) \cdot 32 \approx 27{,}7$

  Dreieck 4:

  • Winkel: $60^\circ$
  • Ankathete des Winkels: $32$ (grüne Seite)
  • Hypotenuse: $x$ (rote Seite)

  Wir verwenden den Cosinus:

  $\cos( \alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Einsetzen der Werte:

  $\cos(60^\circ) = \dfrac{32}{x} \quad \Leftrightarrow \quad x = \dfrac{32}{\cos(60^\circ) } = 64$

  Die Dreiecke sind also so bereits in der richtigen Reihenfolge angeordnet.

• Benenne die Seiten im rechtwinkligen Dreieck mit den passenden Fachbegriffen.

  Tipps

  Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

  Die Benennung von Ankathete und Gegenkathete hängt vom jeweiligen Winkel ab, aus dessen Perspektive das Dreieck betrachtet wird.

  Die Kathete, welche dem Ausgangswinkel anliegt, wird Ankathete genannt.
  Die Kathete, welche diesem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete.

  Eine Tangente gibt es im Dreieck nicht.

  Lösung

  Rechtwinklige Dreiecke sind spezielle Dreiecke. Sie zeichnet aus, dass einer der drei Innenwinkel $90^\circ$ beträgt.

  Mithilfe der trigonometrischen Sätze lassen sich die verschiedenen Seiten und Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen. Um sich besser orientieren zu können, werden den Seiten so benannt:

  • Ankathete
  • Gegenkathete
  • Hypotenuse

  Dabei wird die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse genannt wird. Diese Seite ist in allen rechtwinkligen Dreiecken die längste.

  Die Benennung der Katheten hängt von dem betrachteten Winkel ab. Mit dem betrachteten Winkel kann einer der beiden Winkel außer dem rechten Winkel gemeint sein:

  • Die Kathete, welche dem betrachteten Winkel anliegt, wird Ankathete genannt.
  • Die Kathete, welche diesem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete.

  In dem abgebildeten Dreieck ist die Ankathete zu $\alpha$ grün, die Gegenkathete gelb und die Hypotenuse ist rot gekennzeichnet.

• Berechne den Steigungswinkel und die Steigung in Prozent.

  Tipps

  Fertige eine Skizze mit den gegebenen und gesuchten Größen an.

  In diesem rechtwinkligen Dreieck stellt die Seite $c$ die Fahrtstrecke dar und die Seite $a$ den überwundenen Höhenunterschied.

  Zur Berechnung des Steigungswinkels nutzen wir den Sinus, der Gegenkathete und Hypotenuse miteinander in Beziehung setzt.

  Die Steigung ist das Verhältnis des Höhenunterschiedes $a$ zur waagerechten Distanz $b$. Eine Angabe von $10\,\%$ Steigung bedeutet zum Beispiel, dass pro $100\,\text{m}$ in waagerechter Richtung ein Höhenunterschied von $10\,\text{m}$ vorliegt.

  Das Verhältnis des Höhenunterschiedes $a$ zur waagerechten Distanz $b$ wird durch den Tangens ausgedrückt:

  $\tan( \alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

  Lösung

  Wir vergegenwärtigen uns zunächst die gegebenen und gesuchten Größen in einer Skizze: In dem abgebildeten rechtwinkligen Dreieck stellt die Seite $c = 640\,\text{m}$ die Fahrtstrecke dar. Das ist die Strecke, die die Seilbahn zurücklegt. Die Seite $a = 78\,\text{m}$ bezeichnet den überwundenen Höhenunterschied. Der Winkel $\alpha$ ist der gesuchte Steigungswinkel.

  Berechnung des Steigungswinkels

  Die Seite $c$ ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, die Seite $a$ ist die Gegenkathete des gesuchten Winkels. Wir benötigen also eine Formel, die einen Winkel, dessen Gegenkathete und die Hypotenuse miteinander in Beziehung setzt. Die gesuchte Formel ist der Sinus:

  $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Wir setzen die gegebenen Werte ein:

  $\sin( \alpha) = \dfrac{78\,\text{m}}{640\,\text{m}} = \dfrac{39}{320}$

  Wir müssen nun die Umkehrfunktion des Sinus anwenden, um den gesuchten Winkel zu berechnen. Dazu nutzen wir auf dem Taschenrechner den Befehl $sin^{-1}$ und erhalten:

  $\alpha \approx \color{#99CC00}{\mathbf{7{,}0^\circ}}$

  Berechnung der Steigung in Prozent

  Wir ermitteln jetzt die Steigung in Prozent. Dazu vergegenwärtigen wir uns, dass die Steigung das Verhältnis des Höhenunterschiedes $a$ zur waagerechten Distanz $b$ ist. Eine Angabe von $10\,\%$ Steigung bedeutet zum Beispiel, dass pro $100\,\text{m}$ in waagerechter Richtung ein Höhenunterschied von $10\,\text{m}$ vorliegt.

  Das Verhältnis des Höhenunterschiedes $a$ zur waagerechten Distanz $b$ wird durch den Tangens ausgedrückt:

  $\tan( \alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

  Wir berechnen also den Tangens des Steigungswinkels:

  $\tan(7^\circ)=0{,}123$

  Da sich die Steigung in Prozent auf $100\,\text{m}$ waagerechte Distanz bezieht, multiplizieren wir mit $100$ und erhalten als Steigung in Prozent:

  $\color{#99CC00}{\mathbf{12{,}3\,\%}}$