Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Beispiele

Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Beispiele Übung

• Bestimme näherungsweise die Werte des Sinus, Kosinus und Tangens von $45^\circ$.

  Tipps

  Mache dir zunächst klar, was Sinus, Kosinus und Tangens sind.

  Wenn der eine Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck $45^\circ$ beträgt, so muss dies auch für den anderen spitzen Winkel gelten.

  Sowohl das kleine als auch das große Dreieck sind gleichschenklig.

  Lösung

  An dem Einheitskreis kann man die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens näherungsweise bestimmen:

  Der Sinus ist die Gegenkathete in dem kleinen Dreieck, blau eingezeichnet.

  Der Wert liegt zwischen $0,6$ und $0,8$, recht genau in der Mitte, also ist $\sin(45^\circ)\approx 0,7$. Der Taschenrechner liefert den genauen Wert

  $\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt2}2\approx0,707$.

  Kosinus: Da für $\alpha=45^\circ$ auch der fehlende andere spitze Winkel $45^\circ$ nach dem Winkelsummensatz betragen muss, ist das Dreieck gleichschenklig und somit $\cos(45^\circ)\approx 0,7$. Dies kann man auch in der Skizze ablesen. Der Taschenrechner liefert den genauen Wert

  $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt2}2\approx0,707$.

  Tangens Der Tangens ist recht gut zu erkennen $\tan(45^\circ)=1$.

  Übrigens: Es gilt $\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

• Bestimme Sinus, Kosinus und Tangens von $90^\circ$, sofern möglich.

  Tipps

  Der Kosinus des Winkels ist im Einheitskreis die Ankathete des Winkels. Überlege dir, wie sich die Ankathete verändert, wenn der Winkel immer größer und schließlich $90^\circ$ wird.

  Für jeden Punkt $P(x|y)$ auf dem Einheitskreis gilt $x^2+y^2=1$.

  Stelle dir vor, dass $\alpha$ immer größer wird und schließlich $90^\circ$ beträgt. Dann wird die Gegenkathete in dem großen Dreieck immer länger.

  Lösung

  Man kann mithilfe des Einheitskreises auch Sinus, Kosinus und Tangens von nicht spitzen Winkeln berechnen. Zum Beispiel für den Winkel $90^\circ$:

  $90^\circ$: Wenn der Winkel $\alpha$ immer größer und schließlich $90^\circ$ wird, wird die Gegenkathete immer größer und schließlich $1$. Das bedeutet, dass $\sin(90^\circ)=1$ ist. Umgekehrt wird die Ankathete immer kürzer und schließlich $0$. Also ist $\cos(90^\circ)=0$. Der Tangens, die Gegenkathete in dem größeren Dreieck, wird immer größer und geht gegen unendlich. Das bedeutet, dass der Tangens für $90^\circ$ nicht bestimmt werden kann.

• Vervollständige die Tabelle der Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte.

  Tipps

  Zeichne dir einen Einheitskreis und überlege, was mit der Gegen- und Ankathete geschieht, wenn der Winkel $\alpha$ immer näher gegen die beiden Winkel $180^\circ$ und $270^\circ$ geht.

  Beachte auch das Vorzeichen.

  Für jeden Punkt $P(x|y)$ auf dem Rand des Einheitskreises gilt

  $x^2+y^2=1$.

  Wenn der Sinus den Wert $0$ hat, hat auch der Tangens den Wert $0$.

  Wenn der Kosinus den Wert $0$ hat, ist der Tangens nicht definiert (n.d.).

  Lösung

  Ähnlich wie für die beiden Winkel $0^\circ$ sowie $90^\circ$ kann man bei $180^\circ$ und $270^\circ$ argumentieren. Die Werte für $360^\circ$ sind ja bereits eingetragen und ergeben sich daraus, dass $360^\circ$ dem Winkel $0^\circ$ entspricht, da der Winkel im gesamten Kreis $360^\circ$ beträgt.

  $180^\circ$: Wenn der Winkel $\alpha$ größer als $90^\circ$ wird und gegen $180^\circ$ läuft, wird die Gegenkathete immer kleiner und schließlich $0$. Das bedeutet, dass $\sin(180^\circ)=0$ ist. Umgekehrt wird die Ankathete immer länger, im negativen Bereich, und schließlich $-1$. Dies kann man sicher nicht mehr als Länge der Gegenkathete verstehen. Also ist $\cos(180^\circ)=-1$. Da der Tangens die Gegenkathete in dem größeren Dreieck ist, ist auch $\tan(180^\circ)=0$.

  $270^\circ$: Wenn der Winkel $\alpha$ noch größer und schließlich $270^\circ$ wird, wird die Ankathete wieder kleiner und schließlich $0$. Das bedeutet, dass $\cos(270^\circ)=0$ ist. Umgekehrt wird die Gegenkathete immer länger, im negativen Bereich, und schließlich $-1$. Auch dies ist wiederum nicht als Länge der Gegenkathete zu verstehen. Also ist $\sin(270^\circ)=-1$. Der Tangens, die Gegenkathete in dem größeren Dreieck, wird immer größer, im negativen Bereich, und geht gegen negativ unendlich. Das bedeutet, dass der Tangens für $270^\circ$ nicht bestimmt werden kann.

• Arbeite die näherungsweisen Werte für Sinus, Kosinus und Tangens von $60^\circ$ heraus.

  Tipps

  Der Sinus ist die Gegenkathete und der Kosinus die Ankathete.

  Du kannst überprüfen, ob das Quadrat des Sinuswertes und das des Kosinuswertes addiert (ungefähr) $1$ ergeben, da der Punkt, der diese Koordinaten besitzt, auf dem Einheitskreis liegt.

  Der Tangens kann auch wie folgt bestimmt werden:

  $\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

  Lösung

  Zunächst macht man sich klar, welche der Seiten in welchem Dreieck dem Sinus, welche dem Kosinus und welche dem Tangens entsprechen:

  Sinus: Dies ist die Gegenkathete in dem kleinen Dreieck, blau eingezeichnet.

  Der Wert liegt knapp unter $0,9$, also zwischen $0,8$ und $1$. Somit ist $\sin(60^\circ)\approx 0,9$. Der Taschenrechner liefert den genauen Wert

  $\sin(60^\circ)=0,866$.

  Kosinus: Auch dieser kann abgelesen werden mit $\cos(60^\circ)\approx 0,5$.

  Dies ist auch der exakte Wert, welchen der Taschenrechner ausgibt.

  Tangens: Der Tangens ist die Gegenkathete in dem großen Dreieck: Diese kann ebenfalls abgelesen werden mit $\tan(60^\circ)\approx 1,7$.

  Der Taschenrechner gibt hier den exakten Wert $\tan(\alpha)=1,732$ aus.

  Übrigens: Es gilt $\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

• Gib an, wie Sinus, Kosinus und Tangens definiert sind.

  Tipps

  Merke dir: Sowohl in der Definition des Sinus als auch des Kosinus kommt die Hypotenuse vor.

  In der Definition des Tangens kommen die beiden Katheten vor.

  Lösung

  In einem rechtwinkligen Dreieck sind für einen spitzen Winkel $\alpha$ der Sinus, der Kosinus und der Tangens wie folgt definiert:

  1. $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
  2. $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
  3. $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$

  Ebenso können diese Funktionen für den Winkel $\beta$ definiert werden.

• Untersuche die folgenden Zusammenhänge zwischen Sinus und Kosinus.

  Tipps

  Für jeden der Punkte $P(x|y)$ auf dem Einheitskreis gilt nach dem Satz des Pythagoras $x^2+y^2=1$.

  Der Tangens wird immer größer, je größer der Winkel $\alpha$ wird.

  Das rechtwinklige Dreieck, dessen Katheten der Sinus und der Kosinus sind, befindet sich komplett innerhalb des Einheitskreises. Dabei ist ein Eckpunkt des Dreiecks der Mittelpunkt des Einheitskreises.

  Lösung

  Da der Sinus und der Kosinus des Winkels $\alpha$ die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse $r=1$ sind, gilt nach dem Satz des Pythagoras:

  $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$.

  Dies ist der sogenannte „trigonometrische Pythagoras“.

  Da sowohl der Sinus als auch der Kosinus Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind (wie in dem Bild zu erkennen), welches komplett innerhalb des Einheitskreises liegt, kann man folgern,

  • dass sowohl der Sinus
  • als auch der Kosinus immer kleiner oder gleich $1$ sind.
  • Dies gilt für den Tangens nicht.

  Ganz allgemein kann man die Wertebereiche der Funktionen wie folgt angeben:

  • $\mathbb W_{\sin}=[-1;1]$
  • $\mathbb W_{\cos}=[-1;1]$
  • $\mathbb W_{\tan}=[-\infty;\infty]$