Wurzelgleichungen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist eine Wurzel?
• Schreibweisen verschiedene Wurzelexponenten
• Was ist eine Wurzelgleichung?
• Wie werden Wurzelgleichungen gelöst?
• Beispiel 1: Potenzieren
• Beispiel 2: Wurzel isolieren
• Beispiel 3: Mehrere Wurzeln
• Beispiel 4: Scheinlösungen: Warum die Probe wichtig ist!

Was ist eine Wurzel?

Zunächst einmal schauen wir uns an, was eine Wurzel ist. In der Mathematik wird unter dem Ziehen einer Wurzel (auch dem Radizieren) die Bestimmung der Unbekannten $x$ in der Gleichung $a=x^n$ verstanden. Die Lösung dieser Gleichung ist:

$x=\sqrt[n]{a}$ .

Dabei sind:

• $n\in\mathbb{N}$ der Wurzelexponent und
• $a\in\mathbb{R}^+_0$ der Radikand.

Schreibweisen verschiedene Wurzelexponenten

• Du kannst eine Wurzel wie folgt als Potenz schreiben:

$ \qquad \sqrt[n]{a}=a^{\frac1n}$.

• Der Wurzelexponent $2$ wird nicht aufgeschrieben. So ist $\sqrt{25}=\sqrt[2]{25}$ die Quadratwurzel von $25$. Das Ziehen der Quadratwurzel ist die Umkehroperation zum Quadrieren.
• Die Kubikwurzel ist die Wurzel mit dem Wurzelexponenten $3$. Die Kubikwurzel kehrt das Potenzieren mit dem Exponenten $3$ um.

Was ist eine Wurzelgleichung?

Wurzelgleichungen sind Gleichungen, in welchen die Unbekannte mindestens einmal unter einer Wurzel steht. Meistens wird diese Unbekannte mit $x$ bezeichnet.

Wir schauen uns einmal Beispiele für eine Wurzelgleichung an:

• $\sqrt{3x+4}=7$
• $\sqrt x=8$
• $\sqrt{8x-5}=5x$

Achtung: Nicht jede Gleichung, in welcher eine Wurzel vorkommt, ist auch eine Wurzelgleichung. Zum Beispiel ist $\sqrt4=x$ keine Wurzelgleichung. Die Unbekannte muss unter der Wurzel stehen. In diesem Beispiel steht nur die Zahl $4$ unter der Wurzel.

Wie werden Wurzelgleichungen gelöst?

Welche Lösungsverfahren für Wurzelgleichungen gibt es? Hiefür schauen wir uns einige Beispiele an:

Beispiel 1: Potenzieren

Es soll die Gleichung $\sqrt x=8$ gelöst werden. Du quadrierst auf beiden Seiten der Gleichung und erhältst $x=64$.

Vorsicht, Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Führe eine Probe durch: $\sqrt{64}=8$ ✓

Ebenso kannst die folgende Gleichung lösen: $\sqrt{3x+4}=7$.

• Quadrieren führt zu: $3x+4=49$.
• Subtrahiere nun $4$. So erhältst du: $3x=45$.
• Zuletzt dividierst du durch $3$ und kommst zu dem Ergebnis $x=15$.
• Vergiss die Probe nicht: $\sqrt{3\cdot 15+4}=\sqrt{49}=7$ ✓

Beispiel 2: Wurzel isolieren

Dieses Mal soll die Wurzelgleichung $\sqrt{x+1}-2=1$ gelöst werden.

• Zunächst isolierst du die Wurzel, indem zu $2$ addierst: $\sqrt{x+1}=3$.
• Du quadrierst und erhältst $x+1=9$.
• Subtrahiere $1$. So kommst du zu $x=8$.
• Probe: $\sqrt{8+1}-2=\sqrt{9}-2=3-2=1$ ✓

Es können auch mehrere Wurzeln in einer Gleichung vorkommen.

Beispiel 3: Mehrere Wurzeln

In dieser Aufgabe zu Wurzelgleichungen kommen mehrere Wurzeln vor: $\sqrt{x+5}-\sqrt{x-2}=1$.

1. Isoliere die Wurzel durch Addition von $\sqrt{x+5}$. Dies führt zu: $\sqrt{x+5}=1+\sqrt{x-2}$.
2. Quadrieren führt zu der Gleichung:

   $ x+5= (1+ \sqrt{x-2})^{2} $.

3. Mit Hilfe der 1. binomischen Formel kannst du die rechte Seite umformen: $x+5=1+2\sqrt{x-2}+x-2$.
4. Fasse auf der rechten Seite zusammen: $x+5=x-1+2\sqrt{x-2}$.
5. Isoliere nun die Wurzel auf der rechten Seite. Subtrahiere $x$ und addiere $1$. Dies führt zu:$ 6=2\sqrt{x-2}$.
6. Division durch $2$ führt zu der Gleichung: $3=\sqrt{x-2}$.
7. Nun kannst du wieder quadrieren: $9=x-2$.
8. Addiere schließlich $2$. So erhältst du $x=11$.
9. Probe: $\sqrt{11+5}-\sqrt{11-2}=\sqrt{16}-\sqrt{9}=4-3=1$ ✓

Beispiel 4: Scheinlösungen: Warum die Probe wichtig ist!

Abschließend schauen wir uns ein Beispiel an, in welchem du eine sogenannte Scheinlösung erhältst. Bei der Probe stellst du fest, dass diese gefundene Lösung die Wurzelgleichung tatsächlich nicht löst.

Es soll die Gleichung $\sqrt{x+\sqrt{ 2x}}=2$ gelöst werden. Das Vorgehen kennst du bereits.

1. Quadriere die Gleichung: $x+\sqrt{2x}=4$.
2. Isoliere die Wurzel durch Subtraktion von $x$: $\sqrt{2x}=4-x$.
3. Quadriere die Gleichung noch einmal: $2x=(4-x)^2$.
4. Forme die rechte Seite mit der 2. binomischen Formel um: $2x=16-8x+x^2$.
5. Subtrahiere nun $2x$. So erhältst du die quadratische Gleichung: $x^2-10x+16=0$.

Diese kannst du mit Hilfe der p-q-Formel lösen:

$\begin{array}{rclll} x_{1,2} &=&-\frac{-10}2\pm\sqrt{\left(\frac{-10}2\right)^2-16}\\ &=&5\pm\sqrt{25-16}\\ x_1&=&5+\sqrt9=5+3=8\\ x_2&=&5-\sqrt9=5-3=2 \end{array}$

Zum Schluss führen wir mit beiden Lösungen eine Probe durch:

• $\sqrt{8+\sqrt{ 2\cdot 8}}=\sqrt{8+\sqrt{16}}=\sqrt{12}\neq 2$: Dies ist eine Scheinlösung.
• $\sqrt{2+\sqrt{ 2\cdot 2}}=\sqrt{2+\sqrt{4}}=\sqrt{4}= 2$: Dies ist die gesuchte Lösung.