Ableitungen der Arkusfunktionen

Arkusfunktionen als Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen

Die Funktionen Arkussinus, Arkuscosinus und Arkustangens sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens.

Doch was bedeutet der Begriff Umkehrfunktion?

Für die Anwendung auf die trigonometrischen Funktionen bedeutet das, dass die Arkusfunktionen einem Verhältnis einen Winkel zuordnen. Ist beispielsweise $\cos(\alpha)=x$, folgt $\arccos(x)= \alpha$ durch Anwendung des Arkuscosinus. Dafür müssen die Sinus- und Cosinusfunktion sinnvoll eingeschränkt werden: Da diese beiden Funktionen einen Winkel auf das Intervall $[-1,1]$ abbilden, bilden die entsprechenden Arkusfunktionen einen Wert zwischen $-1$ und $1$ auf einen zugehörigen Winkel ab. Weil Sinus und Cosinus allerdings periodische Funktionen sind und es somit zu jedem Wert unendlich viele zughörige Winkel gibt, beschränkt man die Definitionsmenge der Umkehrfunktionen auf das Intervall, z. B. auf $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ bzw. $[0,\pi]$.Für diese Intervalle sind die Funktionen dann umkehrbar.

Ableitungen der Arkusfunktionen

Zunächst soll exemplarisch die Ableitung der Arkussinusfunktion hergeleitet werden. Davor benötigt man folgende Eigenschaft:

Weiterhin ist für das Verständnis der Herleitung das Wissen über den sogenannten trigonometrischen Pythagoras wichtig. Dieser besagt:

Ableitung der Arkussinusfunktion – Herleitung

Nun soll dir für das bessere Verständnis die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion von weiter oben hergeleitet werden.

Diese Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion kann man auch mithilfe der Kettenregel herleiten. Dafür nutzt man aus, dass gilt:

$x=f(f^{-1}(x))$

Wir können jetzt beide Seiten ableiten:

$(x)^\prime = (f(f^{-1}(x)))^\prime $

Mit der Kettenregel erhalten wir:

$1= f^\prime (f^{-1} (x)) \cdot (f^{-1})^\prime (x)$

Umstellen der Formel liefert:

$(f^{-1})^\prime (x) = \dfrac{1}{f^\prime (f^{-1} (x))}$

Diese Eigenschaft kann man nun auf die Arkussinusfunktion anwenden, die ja die Umkehrfunktion der Sinusfunktion darstellt:

$\begin{array}{rcll} \arcsin^\prime (x) & = & \dfrac{1}{\sin^\prime (\arcsin(x))} & \vert ~ \text{anwenden} ~ \sin^\prime (x) = \cos (x) \\ \\ \, & = & \dfrac{1}{\cos(\arcsin(x))} & \vert ~ \text{trigonometrischer Pythagoras} \\ \\ \, & = & \dfrac{1}{\sqrt{1- \sin^2 (\arcsin(x))}} &\, \\ \\ \, & = & \dfrac{1}{\sqrt{1- \sin (\arcsin(x)) \cdot \sin (\arcsin(x))}} &\, \\ \\ \, & = & \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} & \, \end{array}$

Ableitungen von Arkuscosinus- und Arkustangensfunktion

Möchte man die Ableitungen der beiden Funktionen $\arccos(x)$ und $\arctan(x)$ ebenfalls händisch herleiten, geht man nach dem gleichen Schema wie bei der Funktion $\arcsin(x)$ vor.

Für die beiden Ableitungen gilt:

$\begin{array}{rcl} \arccos^\prime (x) &=& - \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ \arctan^\prime (x) &=& \dfrac{1}{1+x^2} \end{array}$

Arkusfunktionen – Zusammenfassung