Abstände im Raum – Zusammenfassung

Abstände im Raum – Zusammenfassung Übung

• Berechne den Abstand des Punktes $P(4|4|1)$ von der Ebene $E:~2x+2y-z=9$.

  Tipps

  Du erhältst die Länge eines Vektors, indem du jede Koordinate quadrierst, die Quadrate addierst und aus der Summe die Wurzel ziehst.

  Achte darauf, negative Zahlen beim Quadrieren zu klammern.

  Die Koordinaten $n_1$, $n_2$ und $n_3$ kannst du aus der Koordinatengleichung ablesen. Dies sind die Koeffizienten der Koordinaten des Punktes.

  $C$ ist die rechte Seite der Koordinatengleichung.

  Lösung

  Die Formel zur Berechnung des Abstandes eines Punktes zu einer Ebene ist hier abgebildet.

  Dabei sind $n_1=2$, $n_2=2$ und $n_3=-1$ die Koordinaten des Normalenvektors oder die Koeffizienten von $x$, $y$ und $z$ aus der Koordinatengleichung und $C=9$ die rechte Seite der Koordinatengleichung.

  Nun können die Koordinaten von $P$ in diese Gleichung eingesetzt werden:

  $d(P;E)=\left|\frac{2\cdot 4+2\cdot 4+(-1)\cdot 1-9}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}\right|=\frac{8+8-1-9}{\sqrt{4+4+1}}=\frac63=2$ [LE].

• Ergänze die Erklärung zum Lotfußpunktverfahren.

  Tipps

  Der Richtungsvektor der Geraden ist ein Normalenvektor der Hilfsebene.

  Die Koordinatengleichung einer Ebene ist gegeben durch

  $E:n_1x+n_2y+n_3z=C$,

  wobei $C=\vec n\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}$ ist.

  Seien $P(p_1|p_2|p_3)$ sowie $Q(q_1|q_2|q_3)$ zwei beliebige Punkte. Dann kann deren Abstand mit der Formel

  $d(P;Q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2+(p_3-q_3)^2}$

  berechnet werden.

  Lösung

  Hier in dem Bild ist zu erkennen, dass die rote Hilfsebene $H$ senkrecht zu der Geraden $g$ verläuft und den Punkt $P$ beinhaltet.

  Damit kann eine Normalengleichung der Ebene $H$ und auch eine Koordinatengleichung aufgestellt werden. Der Normalenvektor der Ebene $H$ ist der Richtungsvektor der Geraden $g$.

  $H:x+3y+z=7$

  Die rechte Seite ergibt sich als das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und dem Ortsvektor des Punktes $P$.

  $C=\begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}=1+3+3=7$

  Nun kann die Gerade koordinatenweise in diese Koordinatengleichung eingesetzt werden:

  $-1+r+3(-1+3r)+r=7$

  Nun wird diese Gleichung nach $r$ umgeformt:

  $\begin{array}{rclll} -1+r+3(-1+3r)+r&=&~7\\ -1+r-3+9r+r&=&~7&|&+4\\ 11r&=&~11&|&:11\\ r&=&~1 \end{array}$

  Damit kann der Lotfußpunkt $F$ bestimmt werden. Es wird $r=1$ in die Geradengleichung eingesetzt: $F(0|2|1)$.

  Zuletzt wird der Abstand der beiden Punkte $P$ und $F$ zueinander berechnet. Dies ist der gesuchte Abstand des Punktes $P$ zu der Geraden $g$.

  $d(P;g)=d(P;F)=\sqrt{(1-0)^2+(1-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$ [LE].

• Prüfe, welcher der Punkte den kleinsten Abstand zu $P(1|3|7)$ hat.

  Tipps

  Seien $P(p_1|p_2|p_3)$ sowie $Q(q_1|q_2|q_3)$ zwei beliebige Punkte. Dann kann deren Abstand mit dieser Formel berechnet werden.

  Achte bei der Verwendung auf die Vorzeichen.

  Denke daran, negative Zahlen zu klammern, wenn du sie quadrierst.

  Der kleinste Abstand ist $3$ und der größte $15$.

  Wenn du die Punkte richtig angeordnet hast, erhältst du den Namen deines Lieblingsschulfaches.

  Lösung

  Es wird jeweils die Formel

  $d(P;Q)=\sqrt{(1-q_1)^2+(3-q_2)^2+(7-q_3)^2}$

  verwendet. Hier sind die Koordinaten von $F$ bereits eingesetzt. Nun müssen noch die Koordinaten der einzelnen Punkte eingesetzt werden.

  1. $M(1|6|7)$ führt zu $d(P;M)=\sqrt{(1-1)^2+(3-6)^2+(7-7)^2}=\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3$.
  2. $A(4|7|7)$ führt zu $d(P;A)=\sqrt{(1-4)^2+(3-7)^2+(7-7)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
  3. $T(3|-3|4)$ führt zu $d(P;T)=\sqrt{(1-3)^2+(3-(-3))^2+(7-4)^2}=\sqrt{4+36+9}=\sqrt{49}=7$.
  4. $H(1|-3|-5)$ führt zu $d(P;H)=\sqrt{(1-1)^2+(3-(-3))^2+(7-(-5))^2}=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt5$.
  5. $E(6|-7|17)$ führt zu $d(P;E)=\sqrt{(1-6)^2+(3-(-7))^2+(7-17)^2}=\sqrt{25+100+100}=\sqrt{225}=15$.

• Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.

  Tipps

  Der Normalenvektor steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren.

  Das bedeutet, dass das Skalarprodukt des Normalenvektors mit dem jeweiligen Vektor $0$ sein muss.

  Du berechnest die Länge eines Vektors, indem du die einzelnen Koordinaten des Vektors quadrierst, die Quadrate addierst und zuletzt die Wurzel aus der Summe der Quadrate ziehst.

  In einer Geradengleichung $g:\vec x=\vec a+r\cdot \vec v$ sind

  • $\vec a$ der Stützvektor und
  • $\vec v$ der Richtungsvektor.

  Lösung

  Um den Abstand zweier windschiefer Geraden zu bestimmen, benötigt man erst einmal einen Vektor, welcher auf beiden Geraden senkrecht steht.

  $\vec n=\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$

  Die Länge dieses Vektors ist $|\vec n|=\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

  So kann der normierte Normalenvektor aufgeschrieben werden:

  $\vec n_0=\frac13\cdot \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$

  Die Formel zur Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden lautet

  $d(g;h)=|(\vec p - \vec q)\cdot \vec n_0|$.

  Dabei sind

  • $\vec p$ und $\vec q$ die Stützvektoren der beiden Geraden und
  • $\vec n_0$ der normierte Normalenvektor.

  Damit gilt

  $d(g;h)=\left|\frac13\left(\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\right|=\left|\frac13\begin{pmatrix} -3\\ -3\\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\right|=\left|\frac13(6-3)\right|=\frac33=1$

• Gib die Formel zur Berechnung des Abstandes zweier Punkte an und verwende diese zur Berechnung des Abstandes zweier Punkte.

  Tipps

  Die Abstandsformel kann mithilfe des Satzes von Pythagoras hergeleitet werden.

  Dieser muss hierfür zweimal verwendet werden.

  Mithilfe der Formel kannst du den Abstand von Punkten berechnen. Dieser ist eindeutig. Das bedeutet, dass insbesondere unter der Wurzel keine negative Zahl stehen kann.

  Lösung

  Mit der abgebildeten Formel kann der Abstand zweier Punkte berechnet werden.

  Diese Formel kann durch zweimaliges Anwenden des Satzes des Pythagoras' hergeleitet werden.

  Diese Formel kann verwendet werden, um den Abstand der beiden Punkte

  • $P(1|3|7)$ und
  • $Q(3|-3|4)$

  zu ermitteln:

  $d(P;Q)=\sqrt{(1-3)^2+(3+3)^2+(7-4)^2}=\sqrt{49}=7$ [LE].

• Ermittle die jeweiligen Abstände.

  Tipps

  Alle Abstände sind ganzzahlig.

  Für den Abstand zweier Punkte $P(p_1|p_2|p_3)$ sowie $Q(q_1|q_2|q_3)$ verwendest du diese Formel

  $d(P;Q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2+(p_3-q_3)^2}$.

  Zur Berechnung des Abstandes des Punktes $P$ zu der Ebene kann die Formel

  $d(P;E)=\left|\frac{n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z-C}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}\right|$

  verwendet werden.

  Die Formel zur Abstandsberechnung windschiefer Geraden lautet

  $d(g;h)=|(\vec p - \vec q)\cdot \vec n_0|$.

  Dabei sind

  • $\vec p$ und $\vec q$ die Stützvektoren der beiden Geraden und
  • $\vec n_0$ der normierte Normalenvektor.

  Der normierte Normalenvektor ist

  $\vec n_0=\frac17\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3\\ 6 \end{pmatrix}$

  Lösung

  Der Abstand der beiden Punkte $P(3|3|4)$ und $Q(1|7|0)$ wird mit dieser Formel berechnet:

  $d(P;Q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2+(p_3-q_3)^2}$.

  Damit ist $d(P;Q)=\sqrt{(3-1)^2+(3-7)^2+(4-0)^2}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6$.

  Auch für die Berechnung des Abstandes des Punktes $P(3|-1|-1)$ zu der Ebene $E:2x-6y+3z=-5$ kann eine Formel verwendet werden:

  $d(P;E)=\left|\frac{n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z-C}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}\right|$

  Somit gilt $d(P;E)=\left|\frac{2\cdot 3-6\cdot (-1)+3\cdot (-1)-(-5)}{\sqrt{2^2+(-6)^2+3^2}}\right|=\frac{6+6-3+5}{\sqrt{49}}=\frac{14}7=2$

  Zuletzt soll der Abstand zweier windschiefer Geraden berechnet werden. Hierfür wird zunächst der normierte Normalenvektor bestimmt.

  $\vec n_0=\frac17\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3\\ 6 \end{pmatrix}$

  Nun kann die Formel $d(g;h)=|(\vec p - \vec q)\cdot \vec n_0|$ angewendet werden. $\vec p$ und $\vec q$ sind die Ortsvektoren der beiden Geraden.

  $d(g;h)=\left|\frac17\left(\begin{pmatrix} -2\\ 2\\ -5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} -2\\ -3\\ 6 \end{pmatrix}\right|=\left|\frac17\begin{pmatrix} -1\\ 3\\ -7 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -2\\ -3\\ 6 \end{pmatrix}\right|=\left|\frac17(2-9-42)\right|=\frac{49}7=7$