Abstand Punkt-Ebene – Anwendung

Abstand Punkt-Ebene – Anwendung Übung

• Berechne den Abstand der Punkte $A(14|4|50)$ und $B(5|4|35)$ zu der Ebene.

  Tipps

  Setze die entsprechenden Werte in der oben angegebenen Formel ein.

  Beide Abstände sind ganzzahlig.

  Wenn du die Längeneinheiten in $m$ umrechnen möchtest, musst du mit $100$ multiplizieren.

  Lösung

  Es soll der Abstand der Punkte $A(14|4|50)$ und $B(5|4|35)$ zu dieser Ebene $E$ berechnet werden.

  $E:2x-6y+3z=14$.

  Hierfür verwendet man die Formel

  $d(P;E)=\left|\frac{n_1\cdot p_1+n_2\cdot p_2+n_3\cdot p_3-c}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}\right|$

  zur Berechnung des Abstandes eines Punktes $P(p_1|p_2|p_3)$ zu einer Ebene in Koordinatenform.

  In diesem Beispiel ist

  • $n_1=2$,
  • $n_2=-6$,
  • $n_3=3$ sowie
  • $c=14$.

  Nun können die Koordinaten jedes der beiden Punkte in dieser Formel eingesetzt werden:

  $\mathbf{A(14|4|50)}$

  $d(A;E)=\left|\frac{2\cdot 14-6\cdot 4+3\cdot 50-14}{\sqrt{2^2+(-6)^2+3^2}}\right|=\frac{140}{7}=20$

  Dies entspricht $20\cdot 100~m=2000~m$.

  $\mathbf{B(5|4|35)}$

  $d(B;E)=\left|\frac{2\cdot 5-6\cdot 4+3\cdot 35-14}{7}\right|=\frac{77}{7}=11$

  Dies entspricht $11\cdot 100~m=1100~m$.

• Gib an, welche Punkte der Geraden $g$ den Abstand $2$ [LE] zu der Ebene $E$ haben.

  Tipps

  Verwende diese Formel zur Abstandsberechnung

  $d(P;E)=\left|\frac{n_1\cdot p_1+n_2\cdot p_2+n_3\cdot p_3-c}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}\right|$.

  Du erhältst eine Betragsgleichung mit der Unbekannten $t$.

  Die Betragsgleichung hat zwei Lösungen. Setze diese in der Geradengleichung ein. So erhältst du die Ortsvektoren der beiden Punkte.

  Lösung

  Der Abstand eines Punktes zu dieser Ebene ist gegeben durch

  $d(P;E)=\left|\frac{2\cdot p_1-6\cdot p_2+3\cdot p_3-14}{7}\right|$.

  Dieser soll $2$ [LE] betragen.

  In der Formel werden die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Geraden eingesetzt:

  • $x=14-9t$,
  • $y=4$ sowie
  • $z=50-15t$.

  Dies führt zu der Gleichung

  $\left|\frac{2\cdot (14-9t)-6\cdot 4+3\cdot (50-15t)-14}{7}\right|=2$.

  • Zuerst werden die Klammern im Zähler aufgelöst: $\left|\frac{28-18t-24+150-45t-14}{7}\right|=2$.
  • Dann werden die Terme zusammen gefasst zu $\left|\frac{140-63t}{7}\right|=|20-9t|=2$.

  Es existieren zwei Fälle:

  • Entweder ist der Term zwischen den Betragsstrichen positiv ($20-9t>0$), dann können diese weggelassen werden: $20-9t=2$. Diese Gleichung wird wie folgt umgeformt:

  $\begin{array}{rclll} 20-9t&=&2&|&-2+9t\\ 18&=&9t&|&:9\\ 2&=&t \end{array}$

  • oder der Term zwischen den Betragsstrichen ist negativ ($20-9t<0$). Dies führt zu der Gleichung $-(20-9t)=2$. Diese Gleichung wird wie folgt umgeformt:

  $\begin{array}{rclll} -(20-9t)&=&2\\ -20+9t&=&2&|&+20\\ 9t&=&22&|&:9\\ t&=&\frac{22}9 \end{array}$.

  Somit erhält man

  • für $t=2$ den Punkt $Q_1(-4|4|20)$ und
  • für $t=\frac{22}9$ den Punkt $Q_2\left(-8\big\vert4\big\vert\frac{40}3\right)$.

  Übrigens: Nur der Punkt $Q_1$ ist für die Fragestellung im Anwendungskontext sinnvoll. Der Punkt $Q_2$ hat zwar auch den Abstand $2$ [LE] $\hat =200~m$ zu der Ebene, jedoch liegt er von $A(14|4|50)$ und $B(5|4|35)$ aus gesehen auf der anderen Seite der Ebene (Bergwand).

• Bestimme zu jedem der Punkte den Abstand zu der Ebene $E$.

  Tipps

  Setze die Koordinaten der gegebenen Punkte in der obigen Formel ein.

  Achte auf das Vorzeichen.

  Beachte, dass ein Abstand immer positiv ist.

  Lösung

  Für jeden der folgenden Punkte geht man wie folgt vor: Man setzt die Koordinaten der Punkte in der angegebenen Formel ein. Dann vereinfacht man die Terme und berechnet so den Abstand.

  $\mathbf{P(3|2|2)}$

  $\begin{array}{rcl} d(P;E)&=&\left|\frac{2\cdot 3-2\cdot 2+2-6}{3}\right|\\ &=&\frac{|-2|}3\\ &=&\frac23 \end{array}$

  $\mathbf{Q(1|1|1)}$

  $\begin{array}{rcl} d(Q;E)&=&\left|\frac{2\cdot 1-2\cdot 1+1-6}{3}\right|\\ &=&\frac{|-5|}3\\ &=&\frac53 \end{array}$

  $\mathbf{R(5|1|2)}$

  $\begin{array}{rcl} d(R;E)&=&\left|\frac{2\cdot 5-2\cdot 1+2-6}{3}\right|\\ &=&\frac43 \end{array}$

  $\mathbf{S(-1|2|3)}$

  $\begin{array}{rcl} d(S;E)&=&\left|\frac{2\cdot (-1)-2\cdot 2+3-6}{3}\right|\\ &=&\frac{|-9|}3\\ &=&3 \end{array}$

• Ermittle die Punkte der Geraden mit dem Abstand $d=5$ zu der Ebene.

  Tipps

  Schreibe jede Koordinate eines beliebigen Punktes $P$ der Geraden auf

  • $x=2+3t$
  • $y=1$
  • $z=3+4t$

  Du kommst zu der Gleichung $\left|\frac{-1+10t}{3}\right|=5$.

  Die Punkte müssen auf jeden Fall auf der Geraden liegen.

  Es sind zwei Punkte.

  Lösung

  Ein beliebiger Punkt dieser Geraden hat die Koordinaten

  • $x=2+3t$
  • $y=1$
  • $z=3+4t$

  Diese werden in der Gleichung

  $\left|\frac{2\cdot p_1-2\cdot p_2+p_3-6}{3}\right|=5$

  eingesetzt. Man erhält somit

  $\left|\frac{2\cdot (2+3t)-2\cdot 1+(3+4t)-6}{3}\right|=5$.

  Auflösen der Klammern führt zu

  $\left|\frac{4+6t-2+3+4t-6}{3}\right|=5$.

  Nun wird zusammen gefasst und umgeformt zu

  $\begin{array}{ccclll} &\left|\frac{-1+10t}{3}\right|&=&5\\ \Leftrightarrow&\frac{|-1+10t|}3&=&5&|&\cdot 3\\ \Leftrightarrow&\frac{|-1+10t|}3&=&15 \end{array}$.

  • Entweder ist $-1+10t>0$, dann führt dies zu der Gleichung $-1+10t=15$. Addition von $1$ und Division durch $10$ führt zu $t=1,6$. Dies führt zu dem Punkt $P(6,8|1|9,4)$.
  • Oder es ist $-1+10t<0$. Dann erhält man die Gleichung $-(-1+10t)=15$ oder, äquivalent dazu $1-10t=15$. Nun wird $10t$ addiert und $15$ subtrahiert zu $10t=-14$. Division durch $10$ liefert $t=-1,4$. Dies führt zu dem Punkt $S(-2,2|1|-2,6)$.

• Stelle die Gleichung der Ebene $E$, welche durch die drei Punkte $F$, $G$ und $H$ verläuft, in Parameter- sowie Koordinatenform auf.

  Tipps

  Für die Parameterform wählst du den Ortsvektor eines der drei Punkte als Stützvektor und die Verbindungsvektoren zu den beiden anderen Punkten als Richtungsvektor.

  So sieht allgemein eine Ebene in Parameterform aus. Die beiden Vektoren, die mit den Parametern $r$ und $s$ multipliziert werden, sind die Richtungsvektoren. Der Vektor links auf der rechten Seite der Gleichung ist der Stützvektor.

  Zur Koordinatenform einer Ebene gelangst du, indem du einen Vektor bestimmst, der senkrecht auf beide Richtungsvektoren der Ebene steht. Dieser sei

  $\vec n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$.

  Die Koordinatenform lautet dann

  $n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=\vec n\cdot \vec a$,

  wobei $\vec a$ der Stützvektor der Ebene ist.

  Lösung

  Zunächst bestimmt man die Ebenengleichung in Parameterform:

  • Der Ortsvektor $\vec f$ sei der Stützvektor und
  • die Verbindungsvektoren $\vec{FG}$ sowie $\vec{FH}$ die Richtungsvektoren.

  $E:\vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\6\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\-2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\-4\end{pmatrix}$.

  Um zu einer Koordinatenform der Ebene zu gelangen, wird das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren gebildet:

  $\begin{pmatrix}0\\-1\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}3\\-1\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(-1)\cdot (-4)-(-1)\cdot(-2)\\(-2)\cdot3-0\cdot (-4) \\0\cdot (-1)-(-1)\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-6\\3\end{pmatrix}$.

  Die Koordinaten des Normalenvektors sind die Koffizienten von $x$, $y$ und $z$ in der Koordinatenform. Auf der rechten Seite der Gleichung steht das Skalarprodukt $\vec n\cdot \vec f$.

  $E:2x-6y+3z=14$.

• Berechne das Volumen der Pyramide mit den Eckpunkten $A$, $B$, $C$ und $S$.

  Tipps

  Die Höhe der Pyramide ist der Abstand von $S$ zu der von $A$, $B$ und $C$ aufgespannten Ebene.

  Eine Parameterform der Ebene $E$ durch die Punkte $A$, $B$ und $C$ ist gegeben durch

  $E:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1\\2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1\\2 \end{pmatrix}$.

  Finde einen Vektor $\vec n$, der auf beide Richtungsvektoren senkrecht steht.

  Sei $E$ in Koordinatenform gegeben:

  $E:n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=c$.

  Dann kannst du mit dieser Formel den Abstand des Punktes $P(p_1|p_2|p_3)$ zu dieser Ebene berechnen.

  Lösung

  Eine Parameterform der Ebene, welche durch diese drei Punkte verläuft, ist gegeben durch

  $E:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1\\2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 1\\2 \end{pmatrix}$.

  Nun wird das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren bestimmt:

  $\begin{pmatrix} 0 \\ -1\\2 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -6 \\ 1\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 \\ -12\\-6 \end{pmatrix}$.

  Dieser Vektor kann vereinfacht werden, Division durch $-2$, zu

  $\vec n=\begin{pmatrix} 2 \\ 6\\3 \end{pmatrix}$

  Damit lautet die Koordinatenform

  $E:2x+6y+3z=15$.

  Nun kann diese Formel verwendet werden:

  $d(S;E)=\left|\frac{2\cdot 0+6\cdot 1+3\cdot 2-15}{\sqrt{2^2+6^2+3^2}}\right|=\left|\frac{6+6-15}{7}\right|=\frac37$.

  Dieser Abstand ist die Höhe der Pyramide. Das Volumen dieser Pyramide kann nun berechnet werden:

  $V=\frac13\cdot A_G\cdot h=\frac13\cdot 7\cdot\frac37=1$.