Achsenspiegelung – Einführung
Die Achsenspiegelung bildet eine geometrische Figur auf der anderen Seite der Spiegelachse in gleichen Proportionen ab. Schritt für Schritt wird erklärt, wie man eine Achsenspiegelung mithilfe eines Zirkels durchführt. Du möchtest mehr über Achsenspiegelungen lernen? Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Achsenspiegelung – Einführung
Einführung: Wie funktioniert die Achsenspiegelung?
Du kennst die Achsenspiegelung vielleicht noch aus der Grundschule. Aber wie macht man eine Achsenspiegelung mit dem Zirkel? In diesem Text wird die Achsenspiegelung einfach erklärt. Wir schauen uns gemeinsam an, wie man eine Achsenspiegelung durchführen kann.
Achsenspiegelung mit dem Zirkel
Im Folgenden findest du eine Erklärung zur Durchführung der Achsenspiegelung. Aber was verstehen wir überhaupt unter dem Begriff Achsenspiegelung? Schauen wir uns die Definition der Achsenspiegelung an:
- Eine Achsenspiegelung bildet die Figur auf der anderen Seite der Achse in gleichen Proportionen ab.
Betrachten wir die Achsenspiegelung an dem folgenden Beispiel. Es handelt sich bei dieser Figur um ein Rechteck. Die Eckpunkte sind mit $A$, $B$, $C$ und $D$ beschriftet. Die Eckpunkte $C$ und $D$ liegen genau auf der Geraden, an der wir spiegeln wollen. Diese Gerade wird Spiegelachse genannt. Die Figur, die wir jetzt sehen, bezeichnen wir als Ursprungsfigur unserer Spiegelung.
Betrachten wir nun, wie man das Spiegelbild, ganz ohne zu messen, konstruieren kann. Dazu benötigen wir einen Zirkel und ein Lineal. Das Lineal benutzen wir nur, um damit gerade Linien zu zeichnen. Wir können auch ein Geodreieck nutzen. Diese Konstruktion ist viel genauer, als man mit dem Lineal messen könnte.
- Um eine geometrische Figur zu spiegeln, gehen wir punktweise vor. Bei einer Spiegelung soll das Spiegelbild immer so weit von der Achse entfernt sein wie die Ursprungsfigur. Zudem liegt es auf der anderen Seite der Spiegelachse.
Beginnen wir mit dem Ursprungspunkt $A$.
- Der erste Schritt ist es, ein Lot auf die Spiegelachse durch den Punkt $A$ zu fällen. Wir beginnen damit einen Kreisbogen um den Punkt $A$ zu zeichnen. Dafür stellen wir einen beliebigen Radius ein und stechen mit dem Zirkel in Punkt $A$. Der Kreisbogen muss die Spiegelachse zweimal schneiden, der Radius des Zirkels sollte also groß genug eingestellt werden.
- Um die beiden Schnittpunkte zwischen Kreisbogen und Spiegelachse zeichnen wir nun zwei gleich große Kreisbogen. Wir stellen den Zirkel auf einen Radius ein, der etwas größer ist als die Hälfte des Abstands der beiden Schnittpunkte. Somit stellen wir sicher, dass sich die beiden Kreisbogen schneiden. Der Radius wird nun nicht mehr verändert. Wir stechen in die Schnittpunkte und zeichnen jeweils einen Kreisbogen. Diese Kreisbogen schneiden sich zweimal.
- Mit dem Lineal oder Geodreieck zeichnen wir eine Gerade durch diese beiden neuen Schnittpunkte. Das ist das Lot auf die Spiegelachse. Die Lotgerade verläuft auch durch den ursprünglichen Punkt $A$. Auf dieser Geraden wird das Spiegelbild von $A$ liegen.
- Das Spiegelbild von $A$ liegt gleich weit von der Spiegelachse entfernt wie $A$. Um den genauen Abstand zu erhalten, nehmen wir den Zirkel zur Hilfe. Wir tragen den Abstand zwischen der Spiegelachse und $A$ auf der anderen Seite ab. Mit dem Zirkel stechen wir in den Schnittpunkt zwischen Lotgerade und Spiegelachse ein. Diesen Schnittpunkt nennt man auch Fußpunkt. Wir stellen die Zirkelspanne so ein, dass der Kreisbogen durch den Punkt $A$ verläuft. Mit diesem Radius zeichnen wir nun zwei kleine Kreisbogen. Der erste geht durch den Punkt $A$. Der andere Kreisbogen liegt auf der anderen Seite der Spiegelachse und schneidet ebenfalls die Lotgerade.
- An dem Schnittpunkt zwischen Lotgerade und dem neu eingezeichneten Kreisbogen liegt der Spiegelpunkt $A^\prime$. Dieser wird auch Bildpunkt genannt.
Nun muss das Gleiche für den Punkt $B$ wiederholt werden. Fassen wir die Vorgehensweise bei der Achsenspiegelung kurz zusammen.
- Kreisbogen um $B$ zeichnen
- Festen Radius einstellen und um die beiden neu entstandenen Schnittpunkte mit der Spiegelachse zwei gleich große Kreisbogen zeichnen. Zwei Schnittpunkte der zuletzt gezeichneten Kreisbogen entstehen.
- Diese Schnittpunkte zur Lotgeraden verbinden. Die Lotgerade verläuft auch durch den Ursprungspunkt $B$.
- Abstand von $B$ zur Spiegelachse mit dem Zirkel abtragen
- Der Spiegelpunkt $B^\prime$ kann mit dem gemessenen Abstand auf der anderen Seite der Spiegelachse eingezeichnet werden.
Die Bildpunkte von $C$ und $D$ sind $C$ und $D$ selbst, da sie auf der Spiegelachse liegen. Diese müssen also nicht extra gespiegelt werden.
- Nun werden alle Bildpunkte so miteinander verbunden, wie sie auch in der Ursprungsfigur verbunden waren. Die dabei entstehende Figur wird Bildfigur genannt.
Achsenspiegelung Dreieck
Die Figur, die wir spiegeln wollen, muss nicht immer die Spiegelachse berühren. Betrachten wir die folgende Figur.
Die Konstruktion funktioniert bei dieser Figur genauso wie im Beispiel vorher. Die Konstruktion wird für jeden Punkt einzeln durchgeführt. Am Ende werden alle Bildpunkte entsprechend der Ursprungsfigur verbunden. So erhalten wir die Bildfigur.
Vergleicht man Ursprungsfigur und Bildfigur, so sieht man, dass die Seiten der Bildfigur immer vertauscht sind. Steht man vor einem Spiegel, so ist hinten und vorne vertauscht. Die Nase zeigt in Richtung des Spiegelbilds und die des Spiegelbilds zeigt in die Richtung des Betrachters.
Achsensymmetrie
Figuren, die durch eine Achsenspiegelung entstehen, nennt man achsensymmetrisch. Es kann eine Spiegelachse an die Figur angelegt werden, sodass das Spiegelbild wieder genau gleich aussieht wie die ursprüngliche Figur. Eine solche Spiegelachse wird auch Symmetrieachse genannt.
Manche Figuren haben mehrere Symmetrieachsen. So zum Beispiel das $\text{H}$. Es gibt auch Figuren, die gar nicht achsensymmetrisch sind.
Zusammenfassung: Wie spiegelt man Punkte an einer Achse?
Weißt du nun, wie man bei einer Achsenspiegelung vorgeht? Die folgenden Stichpunkte fassen die einzelnen Schritte einer Achsenspiegelung noch einmal zusammen.
- Um eine Figur an der Spiegelachse zu spiegeln, müssen alle ihre Punkte einzeln gespiegelt werden.
- Zuerst wird ein Kreisbogen um den Ursprungspunkt gezeichnet, der die Spiegelachse zweimal schneidet.
- Dann zeichnet man zwei gleich große Kreisbogen um die Schnittpunkte, die sich ebenfalls zweimal schneiden.
- Diese beiden Schnittpunkte werden zur Lotgeraden verbunden. Sie verläuft durch den zu spiegelnden Punkt und den Fußpunkt auf der Spiegelachse.
- Zuletzt muss der Abstand zwischen der Spiegelachse und dem Ursprungspunkt entlang der Lotgeraden abgetragen werden. Der so entstehende Schnittpunkt ist der Bildpunkt.
- Anschließend werden alle gespiegelten Punkte verbunden. So erhält man die Bildfigur.
Willst du noch weitere Achsenspiegelungen konstruieren? Hier bei sofatutor findest du Übungen mit Aufgaben und Arbeitsblätter zum Thema Achsenspiegelung.
Transkript Achsenspiegelung – Einführung
Endlich ein freier Tag für das Geheimagentenpärchen Heiko und Heike. Heiko bekam gerade eine Nachricht von seiner Frau Heike – standesgemäß natürlich verschlüsselt! Hm... was könnte Heike ihm wohl mitteilen wollen? Hast du schon eine Idee? Wir benutzen die Achsenspiegelung, um die Nachricht zu entschlüsseln! Du kennst Spiegelungen bestimmt schon von deinem Spiegel! Kannst du dir vorstellen wie es aussieht, wenn du diese Figur an dieser Geraden hier spiegelst? Auf diese Art werden wir die Nachricht sicher auch entschlüsseln können– wir müssen nur die Konstruktion richtig hinbekommen. Fangen wir einfach mal beim ersten Buchstaben an. Das ist ein Rechteck, und wir nennen die Punkte an den Ecken A, B, C und D. C und D liegen genau auf der Geraden, an der wir spiegeln wollen. Diese Gerade nennt man Spiegelachse. Und wir merken uns gleich, dass das hier die Ursprungsfigur unserer Spiegelung ist. Um so eine geometrische Figur zu spiegeln, gehen wir punktweise vor. Legen wir mal mit dem Ursprungspunkt A los. Bei einer Spiegelung soll das Spiegelbild immer genau so weit von der Achse entfernt sein wie die Ursprungsfigur – und genau auf der anderen Seite. Wir lernen jetzt, wie du das Spiegelbild ganz ohne zu messen konstruieren kannst. Dazu brauchst du nur einen Zirkel und ein Lineal. nd das Lineal benutzen wir nur, um damit gerade Linien zu zeichnen – diese Konstruktion ist nämlich viel genauer, als man mit dem Lineal messen könnte. Wir beginnen damit, ein Lot auf die Spiegelachse durch den Punkt A zu fällen. Dafür zeichnen wir als erstes einen Kreisbogen um den Punkt A, der die Spiegelachse zweimal schneiden soll. Wir stechen also mit dem Zirkel in A ein und stellen einen ausreichend großen Radius ein – dann wird der Kreisbogen gezeichnet, etwa so. Siehst du die beiden Schnittpunkte hier? Um die müssen wir jetzt zwei gleich große Kreisbogen zeichnen. Also stellen wir den Zirkel auf einen Radius ein, der etwas größer ist als die Hälfte des Abstands dieser beiden Punkte – nicht zu klein, aber auch nicht zu groß. Den Radius verändern wir jetzt nicht mehr! Dann stechen wir in jeden der beiden neuen Schnittpunkte ein und zeichnen jeweils wieder einen großen Kreisbogen. Die beiden Kreisbogen sollen sich zweimal schneiden – so wie hier. Jetzt kommt endlich das Lineal ins Spiel! Mit ihm zeichnen wir eine Gerade durch diese beiden neuen Schnittpunkte, das ist das Lot. Schau mal, die Lotgerade verläuft auch durch den ursprünglichen Punkt A! Auf dieser Geraden wird dann sein Spiegelbild liegen, und zwar gleich weit von der Achse entfernt. Deshalb tragen wir jetzt nur noch mit dem Zirkel den Abstand zwischen der Spiegelachse und A auf der anderen Seite der Achse ab. Dazu stechen wir den Zirkel in diesem Schnittpunkt ein und zeichnen zwei kleine Kreisbogen: einen durch den Punkt A, den anderen mit dem gleichen Radius auf der anderen Seite durch die Lotgerade. Diesen Punkt hier, wo die Lotgerade die Spiegelachse schneidet, nennt man auch Fußpunkt. Und dieser Kreisbogen schneidet hier unsere Lotgerade. An dem Schnittpunkt liegt der gespiegelte Punkt A Strich. Den nennt man auch Bildpunkt oder kurz Bild. Okay - dann das gleiche nochmal für den Punkt B! Zuerst den Kreisbogen um B. Dann stellen wir einen festen Radius ein und zeichnen um diese beiden Schnittpunkte zwei Kreisbogen. Deren zwei Schnittpunkte verbinden wir zu der Lotgeraden, die auch durch B verläuft. Jetzt noch den Abstand von B zur Spiegelachse mit dem Zirkel abtragen. An diesem Schnittpunkt liegt der Bildpunkt B Strich. Die Bildpunkte von C und D sind C und D selbst – sie liegen ja auf der Spiegelachse. Du musst sie also nicht auch noch spiegeln. Nun verbindest du noch alle Bildpunkte so miteinander, wie sie in der Ursprungsfigur verbunden waren. Die Figur, die dabei entsteht, ist die Bildfigur. Fertig! Aber natürlich muss die Figur, die wir spiegeln wollen, die Spiegelachse nicht immer berühren. So wie hier! Aber die Konstruktion funktioniert ganz genauso. Noch einmal ganz schnell für den Punkt A. Kreisbogen um A. Kreisbogen um die Schnittpunkte. Lotgerade durch die neuen beiden Schnittpunkte. Mit dem Zirkel den Abstand von A zur Achse auf der Lotgeraden abtragen. An diesem Schnittpunkt liegt A Strich. Bei den übrigen Punkten geht das genauso. Dann verbinden wir sie noch entsprechend der Ursprungsfigur und erhalten die Bildfigur. Die Seiten der Bildfigur sind immer vertauscht, wenn man sie mit der Ursprungsfigur vergleicht. Wenn du vor einem Spiegel stehst, ist auch vorne und hinten vertauscht – deine Nase zeigt in Richtung Spiegelbild, die deines Spiegelbilds zeigt auf dich. Heiko hat inzwischen schon ein paar Buchstaben entziffert – gerade ist das 'H' fertig geworden. Eine solche Figur nennt man Achsensymmetrisch. Du kannst nämlich eine Spiegelachse an die Figur anlegen, sodass das Spiegelbild wieder genau gleich aussieht, wie die ursprüngliche Figur. So eine Spiegelachse nennt man dann auch Symmetrieachse. Findest du noch eine andere Symmetrieachse für das H? Sie könnte auch hier verlaufen. Manche Figuren haben mehrere Symmetrieachsen, manche nur eine – und es gibt natürlich auch Figuren, die gar nicht achsensymmetrisch sind. Lass uns noch schnell zusammenfassen. Um eine Figur an einer Spiegelachse zu spiegeln, musst du alle ihre Punkte spiegeln. Dabei gehst du so vor: Zuerst zeichnest du einen Kreisbogen um den Ursprungspunkt, der die Spiegelachse zweimal schneidet. Um diese Schnittpunkte zeichnest du gleich große Kreisbogen, die sich wiederum zweimal schneiden. Diese beiden Schnittpunkte verbindest du zu der Lotgeraden. Die verläuft durch den zu spiegelnden Punkt und den Fußpunkt auf der Spiegelachse. Zuletzt trägst du noch mit dem Zirkel den Abstand zwischen der Spiegelachse und dem Ursprungspunkt entlang der Lotgeraden ab. Der so entstehende Schnittpunkt ist der gesuchte Bildpunkt. Anschließend verbindest du noch alle gespiegelten Punkte und erhältst so die Bildfigur. Mit Zirkel und Lineal dauert das Spiegeln ganz schön lang. Ah, endlich fertig! "Ich bekoche dich" – da freut sich Heiko aber. Nur...wann hat Heike diese Nachricht geschrieben? Das ist ja ewig her! Tja, Heiko – zu langsam konstruiert!
Achsenspiegelung – Einführung Übung
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Gib die Eigenschaften der Achselspiegelung an.
TippsBei der Konstruktion von Spiegelbildern wird jeder Eckpunkt einzeln gespiegelt. Die Bildpunkte werden dann entsprechend der Ursprungsfigur miteinander verbunden.
Liegt ein Punkt auf der Spiegelachse, sind Ursprungspunkt und Bildpunkt identisch.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- Bei der Konstruktion einer Punktspiegelung spiegelt man die komplette Figur auf einmal.
- Mindestens ein Punkt der Ursprungsfigur muss auf der Spiegelachse liegen.
Diese Aussagen sind wahr:
- Ein durch Spiegelung gefundener Punkt heißt Bildpunkt.
- Einen Bildpunkt bezeichnet man üblicherweise mit dem gleichen Buchstaben, mit dem man den Ursprungspunkt bezeichnet. Man fügt allerdings einen Strich an. Aus $A$ wird demnach $A'$.
- Der Bildpunkt muss den gleichen Abstand von der Spiegelachse haben wie der Ursprungspunkt.
-
Gib wieder, wie man Figuren an einer Achse spiegelt.
TippsUm eine Figur zu spiegeln, müssen zunächst alle Eckpunkte der Figur einzeln gespiegelt werden.
Der Bildpunkt muss genau im gleichen Abstand auf der gegenüberliegenden Seite der Spiegelachse liegen.
Nachdem du alle Eckpunkte gespiegelt hast, kannst du diese Punkte zur Bildfigur verbinden.
LösungEine Spiegelung an einer Achse funktioniert folgendermaßen:
- Bei der Bestimmung der Bildfigur gehst du punktweise vor. Zu Beginn wählst du also einen Eckpunkt $A$ der Figur aus.
- Dann fällst du das Lot durch $A$ auf die Spiegelachse.
- Im Anschluss zeichnest du einen Kreis um den Fußpunkt, der das Lot in $A$ und in einem weiteren Punkt schneidet. Der Radius dieses Kreises entspricht dem Abstand von $A$ zum Fußpunkt.
- Der zweite Schnittpunkt von dem Kreis und der Lotgeraden ist der Bildpunkt $A'$.
- Für alle weiteren Punkte gehst du analog vor.
- Zum Schluss verbindest du die Bildpunkte entsprechend der Ursprungsfigur zur Bildfigur.
-
Bilde mittels Spiegelung die Bildfigur des gegebenen Dreiecks.
TippsUm auf die Spiegelachse ein Lot durch den Ursprungspunkt zu fällen, benötigt man zunächst zwei Punkte auf der Spiegelachse, die den gleichen Abstand zum Ursprungspunkt haben.
Der Bildpunkt muss genau im gleichen Abstand auf der gegenüberliegenden Seite der Spiegelachse liegen.
LösungBei der Spiegelung des gegebenen Dreiecks an der Spiegelachse gehst du wie folgt vor:
- Du beginnst mit einem Eckpunkt der Figur und zeichnest um den Punkt einen Kreisbogen, der die Spiegelachse zweimal schneidet. Wir beginnen hier mit dem Eckpunkt $A$.
- Um die beiden Schnittpunkte des Kreisbogens mit der Spiegelachse zeichnest du jeweils einen Kreisbogen mit gleichem Radius. Dieser muss groß genug sein, so dass sich die Kreisbogen zweimal schneiden.
- Durch die Schnittpunkte zeichnest du eine Gerade, die durch den Punkt $A$ verläuft. Damit hast du das Lot auf die Spiegelachse durch den Punkt $A$ gefällt.
- Mit zwei Kreissegmenten um den Fußpunkt trägst du den Abstand zwischen Fußpunkt und $A$ ab. Der Schnittpunkt der Lotgeraden mit dem zweiten Kreissegment ist der Bildpunkt $A'$.
- Die restlichen Punkte der Figur werden genauso gespiegelt und im Anschluss zur Bildfigur verbunden.
-
Erkläre, wie man die Konstruktionsschritte durchführt.
TippsOb eine Figur achsensymmetrisch ist, kannnst du bestimmen, indem du die Figur auf Symmetrieachsen hin untersuchst.
LösungOb eine Figur achsensymmetrisch ist, kannst du bestimmen, indem du die Figur auf Symmetrieachsen hin untersuchst: Eine Symmetrieachse ist eine Spiegelachse, die die Figur in zwei Teile teilt, sodass ein Teil das Spiegelbild des anderen ist. Figuren können mehrere dieser Symmetrieachsen besitzen.
Folgende Figuren besitzen keine Achsensymmetrie:
- Figur $3$
- Figur $4$
- Figur $1$
- Figur $2$
- Figur $5$
-
Benenne die Bestandteile Figur und ihrer Spiegelung.
TippsBildpunkte werden mit einem Strich gekennzeichnet. Aus $A$ wird demnach $A'$.
Verbindest du alle Bildpunkte miteinander, erhältst du die Bildfigur.
LösungDie Zuordnung kann folgendermaßen erfolgen:
- Einzelne Punkte der ursprünglichen Figur heißen Ursprungspunkt. Also ist auch $A$ ein Ursprungspunkt.
- Die Figur, die sich aus den Ursprungspunkten zusammensetzt, heißt Ursprungsfigur. Hier ist das rosa Rechteck also die Ursprungsfigur.
- Die Spiegelungen der Ursprungspunkte heißen Bildpunkte. Also ist $A'$ ebenfalls ein Bildpunkt.
- Die Spiegelung der Ursprungsfigur heißt Bildfigur. Demnach ist das hellblaue Rechteck die Bildfigur.
- Die Gerade, an der gespiegelt wird, heißt Spiegelachse.
- Der Ursprungspunkt $D$ liegt genau auf der Spiegelachse. Er hat also den Abstand $0$ von dieser Achse. Deshalb ist er gleichzeitig sein Spiegelpunkt: der Bildpunkt $D'$.
-
Erkläre, wie die Konstruktion funktioniert.
TippsEin Lot steht immer senkrecht auf der Geraden, zu der es konstruiert wurde.
Möchte man Punkte finden, die den gleichen Abstand zu einem bestimmten Punkt haben, verwendet man oft einen Kreis.
Der Bildpunkt kann mit dem bekannten Konstruktionsverfahren gefunden werden.
LösungDas Vorgehen bei einer Achsenspiegelung erklärt sich folgendermaßen:
Bei einer Achsenspiegelung müssen Bildpunkt und Ursprungspunkt auf einer Geraden senkrecht zur Spiegelachsen liegen. Eine Lotgerade steht senkrecht auf der Spiegelachse. Deshalb muss man eine Lotgerade konstruieren, um einen Punkt an einer Achse zu spiegeln.
Bildpunkt und Ursprungspunkt müssen außerdem den gleichen Abstand zur Spiegelachse haben. Alle Punkte auf einem Kreis haben den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt. Darum zeichnet man einen Kreis um den Fußpunkt, um den Abstand abzutragen.
Will man also den Punkt $A(2\vert3)$ an der $y$-Achse spiegeln, muss man sicherstellen, dass der Bildpunkt $A'$ und $A$ auf einer Geraden senkrecht zur $y$-Achse liegen. Außerdem müssen die beiden Punkte den gleichen Abstand zu dieser Achse haben. Zeichnet man den Punkt in ein Koordinatensystem und führt die gelernte Konstruktion durch, erhält man den Bildpunkt $A'(-2\vert3)$.
Derselbe Punkt $A(2\vert3)$ kann auch an der $x$-Achse gespiegelt werden. Hier müssen Ursprungspunkt $A$ und Bildpunkt $A''$ auf einer Geraden senkrecht zur $y$-Achse liegen. Der Punkt, der den gleichen Abstand zu dieser Achse hat wie $A$, liegt bei $A''(2\vert-3)$.
In der Mathematik spiegelt man häufig Punkte oder Funktionen an Koordinatenachsen. Dabei gibt es einen einfachen Trick, wie du Punkte an diesen spiegelst: Willst du zum Beispiel den Punkt $A(2\vert3)$ an der $x$-Achse spiegeln, weißt du schon, welchen Abstand zur Spiegelachse dieser Punkt hat. Um den Punkt im Koordinatensystem einzuzeichnen, bist du zwei Schritte nach rechts entlang der $x$-Achse gegangen und im Anschluss drei Schritte senkrecht nach oben entlang der $y$-Achse. Der Abstand zur Koordinaten- und Spiegelachse beträgt also $3$ Längeneinheiten. Willst du den Punkt spiegeln, musst du folglich nur von der Koordinatenachse aus $3$ Längeneinheiten in die andere, also negative Richtung gehen. Der Bildpunkt liegt demnach bei $A''(2\vert-3)$.
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Wir schreiben morgen mahte Test da ist das sehr hilfreich danke
Ich finde es hilfreich. THK!
Ich habe die Möglichkeit mit dem Zirkel und Lineal noch nie so gesehen, aber gut erklärt! Coole Story. Wir machen das halt mit dem Geodreieck…
nee hilft nicht :<
kann kein Mathe;-;