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17.02.2025

Punktspiegelung

Erfahre, wie man eine Figur an einem Punkt spiegelt und warum sie dann punktsymmetrisch wird. Was ist ein Spiegelzentrum und wie erkennt man eine Punktspiegelung? Schritt-für-Schritt-Anleitung mit Beispielen und Übungsaufgaben. Interesse geweckt? Entdecke hier noch mehr zur Punktspiegelung!

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Was ist eine Punktspiegelung?

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Punktspiegelung
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Grundlagen zum Thema Punktspiegelung

Punktspiegelung – Mathe

Ein Bube im Kartenspiel ist schon ein paar Punkte wert. Eiskristalle gibt es am Gefrierpunkt. Mit dem Helikopter kommt man pünktlich überall hin. Und sein Rotor rotiert rasend um einen Mittelpunkt. Was haben die Spielkarte, der Eiskristall und der Rotor denn gemeinsam? Sie sind alle punktsymmetrisch. Was das genau heißt, lernen wir durch die Punktspiegelung. In diesem Text wird die Punktspiegelung Schritt für Schritt erklärt.

Was ist eine Punktspiegelung? – Definition

Schauen wir uns die Rotorblätter eines Hubschraubers genauer an. Von oben betrachtet können wir das Rotorblatt als geometrische Figur darstellen. Die vier Ecken werden dabei mit AA, BB, CC und DD bezeichnet. Nun wollen wir die Figur am Punkt PP spiegeln. Man nennt diesen Punkt dann Spiegelpunkt oder auch Spiegelzentrum.

Punktspiegelung am Ursprung

Eine Punktspiegelung durchzuführen, ist das Gleiche, wie die Figur um 180180^\circ um das Spiegelzentrum zu drehen. Also sieht unser Rotorblatt nach einer Punktspiegelung wie die blaue geometrische Figur links vom Spiegelzentrum aus. Die Figur, die wir spiegeln wollen, nennt sich dabei Ursprungsfigur und die fertig gespiegelte Figur wird Bildfigur genannt.

Punktspiegelung konstruieren

Wollen wir eine Figur an einem Punkt spiegeln, dann spiegeln wir nicht die gesamte Figur auf einmal, sondern wir gehen Punkt für Punkt vor. In der Geometrie führen wir die Punktspiegelung mit einem Zirkel durch.

Beginnen wir bei Punkt AA. Den ursprünglichen Punkt, den wir spiegeln wollen, nennt man Ursprungspunkt. Zuerst zeichnen wir einen Kreis um das Spiegelzentrum PP und durch AA. Wir nehmen dazu einen Zirkel zu Hilfe.
Wir stechen mit der Einstechspitze des Zirkels in den Punkt PP, stellen den Radius auf den Punkt AA ein und zeichnen einen Kreis. Das ist nur ein Hilfskreis, deshalb muss er nicht besonders fest gezeichnet werden.

Als Nächstes nehmen wir ein Lineal oder Geodreieck und zeichnen eine Hilfsgerade durch den Punkt AA und durch PP. Auch diese Gerade kann dünn gezeichnet werden. Dort, wo die Hilfsgerade den Hilfskreis schneidet, liegt der gespiegelte Punkt von AA. Er wird mit AA^\prime bezeichnet, man spricht das als AA Strich aus. Den gespiegelten Punkt nennt man Bildpunkt. Die Bildpunkte werden meistens mit den gleichen Buchstaben wie ihre Ursprungspunkte und mit einem Strich bezeichnet.

Punktspiegelung konstruieren

Konstruieren wir nun den Bildpunkt BB^\prime. Dafür zeichnen wir zunächst einen weiteren Hilfskreis um PP, diesmal durch den Ursprungspunkt BB. Als Nächstes wird eine Hilfsgerade durch BB und durch PP gezeichnet. Dort, wo sich Hilfskreis und Hilfsgerade schneiden, liegt dann der Bildpunkt BB^\prime. Für die übrigen beiden Punkte CC und DD gehen wir genau gleich vor.

Punktspiegelung berechnen

Um die Figur fertig zu zeichnen, verbinden wir die Bildpunkte genauso, wie die Ursprungspunkte verbunden sind. Die fertig gespiegelte Figur sieht dann folgendermaßen aus:

Punktspiegelung Ursprungsfigur Bildfigur

Die fertig gespiegelte Figur nennt man Bildfigur.

Punktspiegelung Erklärung

Aber wieso funktioniert diese Art der Spiegelung eigentlich? Da eine Punktspiegelung dasselbe ist wie eine Drehung um 180180^\circ, ist jeder Punkt genauso weit von PP entfernt wie sein Bildpunkt. Ursprungspunkt und Bildpunkt liegen nämlich auf dem gleichen Kreis um PP. Da der Ursprungspunkt, der Bildpunkt und das Spiegelzentrum PP alle auf einer Geraden liegen, befindet sich der Bildpunkt genau auf der gegenüberliegenden Seite von PP. Das entspricht der Drehung um 180180^\circ um das Spiegelzentrum.

Wie erkenne ich eine Punktspiegelung?

Was bedeutet es, wenn man sagt, dass etwas punktsymmetrisch ist? Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn ein Spiegelzentrum PP vorhanden ist, für das die Bildfigur und die Ursprungsfigur genau gleich sind.

Bei einer Spielkarte aus einem Skatblatt liegt das Spiegelzentrum genau in der Mitte der Karte. Drehen wir die Karte um diesen Punkt um 180180^\circ, dann sieht die gedrehte Karte genauso aus wie die ungedrehte. Somit sind die meisten Skatkarten Beispiele für punktsymmetrische Figuren.

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Spiegelung an einem Punkt – Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen das Wichtigste zum Thema Punktspiegelung noch einmal zusammen.

  • Eine Punktspiegelung entspricht einer Drehung um 180180^\circ um das Spiegelzentrum.
  • Für die Punktspiegelung einer Figur muss jeder Punkt der Figur einzeln an dem Spiegelzentrum gespiegelt werden.
  • Der originale Punkt heißt Ursprungspunkt und der gespiegelte Punkt Bildpunkt.
  • Die Spiegelung erfolgt in zwei Schritten:
    1. Es wird ein Hilfskreis um das Spiegelzentrum und durch den Ursprungspunkt gezeichnet.
    2. Es wird eine Hilfsgerade durch das Spiegelzentrum und den Ursprungspunkt gezeichnet.
  • Der Schnittpunkt zwischen Hilfskreis und Hilfsgerade ist der Bildpunkt.
  • Beide Schritte werden für jeden einzelnen Punkt der Figur wiederholt.
  • Zuletzt werden alle Bildpunkte genau wie in der Ursprungsfigur zur Bildfigur verbunden.

Willst du nun selber noch Aufgaben zur Punktspiegelung lösen? Zusätzlich zum Video oder dem Text findest du hier auf der Seite noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Punktspiegelung.

Transkript Punktspiegelung

Ein Bube ist schon ein paar Punkte wert, Eiskristalle gibt es am Gefrierpunkt, mit dem Helikopter kommst du überall pünktlich hin und sein Rotor rotiert rasend um diesen Mittelpunkt. Was haben die Spielkarte, der Eiskristall und der Rotor also gemeinsam? Sie sind alle punktsymmetrisch! Und was das genau heißt, lernen wir durch die Punktspiegelung! Los geht's – schauen wir uns eines der Rotorblätter mal genauer an. Von oben betrachtet können wir das Rotorblatt als eine geometrische Figur darstellen. Die vier Ecken nennen wir A, B, C und D. Wir wollen die Figur an diesem Punkt, P, punktspiegeln. Man nennt diesen Punkt dann Spiegelpunkt oder Spiegelzentrum. Eine Punktspiegelung durchzuführen ist das gleiche, wie die Figur um 180° um das Spiegelzentrum zu drehen – also sieht unser Rotorblatt nach einer Punktspiegelung so aus. Wenn du eine Figur punktspiegeln willst, spiegelst du nicht die ganze Figur auf einmal – sondern Punkt für Punkt. Fangen wir mit dem Punkt A an. Den ursprünglichen Punkt, also den, den wir spiegeln, nennt man Ursprungspunkt oder auch Original. Zuerst zeichnest du einen Kreis um P und durch A. Dazu stichst du mit dem Zirkel in P ein, stellst den Radius auf den Punkt A und zeichnest den Kreis. Das ist nur ein Hilfskreis, du musst ihn also nicht sehr fest zeichnen. Als nächstes nimmst du dein Lineal oder Geodreieck und zeichnest eine Hilfsgerade durch A und durch P. Auch die kannst du ruhig dünn zeichnen. Schau mal: hier schneidet die Hilfsgerade den Hilfskreis. An diesem Schnittpunkt liegt der gespiegelte Punkt von A. Wir bezeichnen ihn mit A Strich. Den gespiegelten Punkt nennt man Bildpunkt oder kurz Bild. Bildpunkte bekommen meistens den gleichen Buchstaben wie ihre Ursprungspunkte und eben einen Strich. Also konstruieren wir mal B Strich! Weißt du schon, was du tun musst? Zuerst mit dem Zirkel einen Kreis um P und durch B zeichnen. Dann mit dem Lineal eine Gerade durch B UND P. Und hier, wo sich Gerade und Kreis schneiden, liegt der Bildpunkt B Strich. Gar nicht so schwer, oder? Für die übrigen beiden Punkte C und D der Figur gehst du genauso vor – Kreise um P, Geraden, Schnittpunkte. Jetzt musst du nur noch die Figur fertig zeichnen. Dazu verbindest du die Bildpunkte genau so, wie die Ursprungspunkte verbunden sind, also so. Fertig! Die gespiegelte Figur nennt man Bildfigur, oder auch kurz Bild. Aber Vorsicht: mit Bild meint man also manchmal die Bildfigur oder einen Bildpunkt – sei also lieber ganz deutlich mit der Benennung. Aber wieso funktioniert das denn eigentlich? Jeder Punkt ist genausoweit von P entfernt wie sein Bildpunkt. Sie liegen nämlich beide auf dem gleichen Kreis um P. Und da der Ursprungspunkt, sein Bildpunkt und das Spiegelzentrum alle auf einer Geraden liegen, befindet sich der Bildpunkt genau auf der gegenüberliegenden Seite von P. Das entspricht genau einer Drehung um 180 Grad um das Spiegelzentrum. So, zurück zu der Spielkarte. Wir haben vorhin gesagt, dass die Spielkarte Punktsymmetrisch ist. Was heißt das? Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn du ein Spiegelzentrum P finden kannst, für das die Bildfigur und die Ursprungsfigur genau gleich sind. Bei der Karte liegt dieses P hier in der Mitte. Und wenn wir die Karte an diesem Punkt spiegeln – sie also um 180 Grad um P drehen – sieht sie wieder genau gleich aus! Also ist die Spielkarte punktsymmetrisch. Jetzt kommen wir endlich zum Punkt und fassen zusammen! Eine Punktspiegelung entspricht einer Drehung um 180 Grad um das Spiegelzentrum. Um eine Figur punktzuspiegeln, musst du jeden Punkt der Figur einzeln an dem Spiegelzentrum spiegeln. Du spiegelst einen Punkt, indem du zuerst einen Hilfskreis um das Spiegelzentrum zeichnest, der durch den Punkt verläuft. Dann ziehst du eine Hilfsgerade durch den Punkt und das Spiegelzentrum. Am gegenüberliegenden Schnittpunkt der Geraden und des Kreises liegt der gespiegelte Punkt. Denk dran, dass der originale Punkt Ursprungspunkt heißt und der gespiegelte – Bildpunkt. Das Ganze wiederholst du mit den übrigen Punkten der Ursprungsfigur. Dann verbindest du die noch genau wie in der Ursprungsfigur zur Bildfigur. Und fertig! Na, dann mal los mit dem Helikopter! Für so etwas gibt es aber nicht die volle Punktzahl...

41 Kommentare
  1. Besser als im Unterricht erklärt

    Von DTlLukaslChicken, vor 17 Tagen
  2. Das arme Tier am ende

    Von Dani, vor 3 Monaten
  3. Teiler Musik

    Von Dani, vor 3 Monaten
  4. Sehr gut erklärt🤟🏻

    Von Annika, vor 10 Monaten
  5. Wo ist er sogar hingeflogen

    Von Levent, vor 11 Monaten
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