Punktspiegelung
Erfahre, wie man eine Figur an einem Punkt spiegelt und warum sie dann punktsymmetrisch wird. Was ist ein Spiegelzentrum und wie erkennt man eine Punktspiegelung? Schritt-für-Schritt-Anleitung mit Beispielen und Übungsaufgaben. Interesse geweckt? Entdecke hier noch mehr zur Punktspiegelung!
![Video abspielen](https://images.cdn.sofatutor.net/videos/pictures/23147/normal/frame_3499.jpg?1549878225)
in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Grundlagen zum Thema Punktspiegelung
Punktspiegelung – Mathe
Ein Bube im Kartenspiel ist schon ein paar Punkte wert. Eiskristalle gibt es am Gefrierpunkt. Mit dem Helikopter kommt man pünktlich überall hin. Und sein Rotor rotiert rasend um einen Mittelpunkt. Was haben die Spielkarte, der Eiskristall und der Rotor denn gemeinsam? Sie sind alle punktsymmetrisch. Was das genau heißt, lernen wir durch die Punktspiegelung. In diesem Text wird die Punktspiegelung Schritt für Schritt erklärt.
Was ist eine Punktspiegelung? – Definition
Schauen wir uns die Rotorblätter eines Hubschraubers genauer an. Von oben betrachtet können wir das Rotorblatt als geometrische Figur darstellen. Die vier Ecken werden dabei mit , , und bezeichnet. Nun wollen wir die Figur am Punkt spiegeln. Man nennt diesen Punkt dann Spiegelpunkt oder auch Spiegelzentrum.
Eine Punktspiegelung durchzuführen, ist das Gleiche, wie die Figur um um das Spiegelzentrum zu drehen. Also sieht unser Rotorblatt nach einer Punktspiegelung wie die blaue geometrische Figur links vom Spiegelzentrum aus. Die Figur, die wir spiegeln wollen, nennt sich dabei Ursprungsfigur und die fertig gespiegelte Figur wird Bildfigur genannt.
Punktspiegelung konstruieren
Wollen wir eine Figur an einem Punkt spiegeln, dann spiegeln wir nicht die gesamte Figur auf einmal, sondern wir gehen Punkt für Punkt vor. In der Geometrie führen wir die Punktspiegelung mit einem Zirkel durch.
Beginnen wir bei Punkt . Den ursprünglichen Punkt, den wir spiegeln wollen, nennt man Ursprungspunkt. Zuerst zeichnen wir einen Kreis um das Spiegelzentrum und durch . Wir nehmen dazu einen Zirkel zu Hilfe.
Wir stechen mit der Einstechspitze des Zirkels in den Punkt , stellen den Radius auf den Punkt ein und zeichnen einen Kreis. Das ist nur ein Hilfskreis, deshalb muss er nicht besonders fest gezeichnet werden.
Als Nächstes nehmen wir ein Lineal oder Geodreieck und zeichnen eine Hilfsgerade durch den Punkt und durch . Auch diese Gerade kann dünn gezeichnet werden. Dort, wo die Hilfsgerade den Hilfskreis schneidet, liegt der gespiegelte Punkt von . Er wird mit bezeichnet, man spricht das als Strich aus. Den gespiegelten Punkt nennt man Bildpunkt. Die Bildpunkte werden meistens mit den gleichen Buchstaben wie ihre Ursprungspunkte und mit einem Strich bezeichnet.
Konstruieren wir nun den Bildpunkt . Dafür zeichnen wir zunächst einen weiteren Hilfskreis um , diesmal durch den Ursprungspunkt . Als Nächstes wird eine Hilfsgerade durch und durch gezeichnet. Dort, wo sich Hilfskreis und Hilfsgerade schneiden, liegt dann der Bildpunkt . Für die übrigen beiden Punkte und gehen wir genau gleich vor.
Um die Figur fertig zu zeichnen, verbinden wir die Bildpunkte genauso, wie die Ursprungspunkte verbunden sind. Die fertig gespiegelte Figur sieht dann folgendermaßen aus:
Die fertig gespiegelte Figur nennt man Bildfigur.
Punktspiegelung Erklärung
Aber wieso funktioniert diese Art der Spiegelung eigentlich? Da eine Punktspiegelung dasselbe ist wie eine Drehung um , ist jeder Punkt genauso weit von entfernt wie sein Bildpunkt. Ursprungspunkt und Bildpunkt liegen nämlich auf dem gleichen Kreis um . Da der Ursprungspunkt, der Bildpunkt und das Spiegelzentrum alle auf einer Geraden liegen, befindet sich der Bildpunkt genau auf der gegenüberliegenden Seite von . Das entspricht der Drehung um um das Spiegelzentrum.
Wie erkenne ich eine Punktspiegelung?
Was bedeutet es, wenn man sagt, dass etwas punktsymmetrisch ist? Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn ein Spiegelzentrum vorhanden ist, für das die Bildfigur und die Ursprungsfigur genau gleich sind.
Bei einer Spielkarte aus einem Skatblatt liegt das Spiegelzentrum genau in der Mitte der Karte. Drehen wir die Karte um diesen Punkt um , dann sieht die gedrehte Karte genauso aus wie die ungedrehte. Somit sind die meisten Skatkarten Beispiele für punktsymmetrische Figuren.
Spiegelung an einem Punkt – Zusammenfassung
Die folgenden Stichpunkte fassen das Wichtigste zum Thema Punktspiegelung noch einmal zusammen.
- Eine Punktspiegelung entspricht einer Drehung um um das Spiegelzentrum.
- Für die Punktspiegelung einer Figur muss jeder Punkt der Figur einzeln an dem Spiegelzentrum gespiegelt werden.
- Der originale Punkt heißt Ursprungspunkt und der gespiegelte Punkt Bildpunkt.
- Die Spiegelung erfolgt in zwei Schritten:
- Es wird ein Hilfskreis um das Spiegelzentrum und durch den Ursprungspunkt gezeichnet.
- Es wird eine Hilfsgerade durch das Spiegelzentrum und den Ursprungspunkt gezeichnet.
- Der Schnittpunkt zwischen Hilfskreis und Hilfsgerade ist der Bildpunkt.
- Beide Schritte werden für jeden einzelnen Punkt der Figur wiederholt.
- Zuletzt werden alle Bildpunkte genau wie in der Ursprungsfigur zur Bildfigur verbunden.
Willst du nun selber noch Aufgaben zur Punktspiegelung lösen? Zusätzlich zum Video oder dem Text findest du hier auf der Seite noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Punktspiegelung.
Transkript Punktspiegelung
Ein Bube ist schon ein paar Punkte wert, Eiskristalle gibt es am Gefrierpunkt, mit dem Helikopter kommst du überall pünktlich hin und sein Rotor rotiert rasend um diesen Mittelpunkt. Was haben die Spielkarte, der Eiskristall und der Rotor also gemeinsam? Sie sind alle punktsymmetrisch! Und was das genau heißt, lernen wir durch die Punktspiegelung! Los geht's – schauen wir uns eines der Rotorblätter mal genauer an. Von oben betrachtet können wir das Rotorblatt als eine geometrische Figur darstellen. Die vier Ecken nennen wir A, B, C und D. Wir wollen die Figur an diesem Punkt, P, punktspiegeln. Man nennt diesen Punkt dann Spiegelpunkt oder Spiegelzentrum. Eine Punktspiegelung durchzuführen ist das gleiche, wie die Figur um 180° um das Spiegelzentrum zu drehen – also sieht unser Rotorblatt nach einer Punktspiegelung so aus. Wenn du eine Figur punktspiegeln willst, spiegelst du nicht die ganze Figur auf einmal – sondern Punkt für Punkt. Fangen wir mit dem Punkt A an. Den ursprünglichen Punkt, also den, den wir spiegeln, nennt man Ursprungspunkt oder auch Original. Zuerst zeichnest du einen Kreis um P und durch A. Dazu stichst du mit dem Zirkel in P ein, stellst den Radius auf den Punkt A und zeichnest den Kreis. Das ist nur ein Hilfskreis, du musst ihn also nicht sehr fest zeichnen. Als nächstes nimmst du dein Lineal oder Geodreieck und zeichnest eine Hilfsgerade durch A und durch P. Auch die kannst du ruhig dünn zeichnen. Schau mal: hier schneidet die Hilfsgerade den Hilfskreis. An diesem Schnittpunkt liegt der gespiegelte Punkt von A. Wir bezeichnen ihn mit A Strich. Den gespiegelten Punkt nennt man Bildpunkt oder kurz Bild. Bildpunkte bekommen meistens den gleichen Buchstaben wie ihre Ursprungspunkte und eben einen Strich. Also konstruieren wir mal B Strich! Weißt du schon, was du tun musst? Zuerst mit dem Zirkel einen Kreis um P und durch B zeichnen. Dann mit dem Lineal eine Gerade durch B UND P. Und hier, wo sich Gerade und Kreis schneiden, liegt der Bildpunkt B Strich. Gar nicht so schwer, oder? Für die übrigen beiden Punkte C und D der Figur gehst du genauso vor – Kreise um P, Geraden, Schnittpunkte. Jetzt musst du nur noch die Figur fertig zeichnen. Dazu verbindest du die Bildpunkte genau so, wie die Ursprungspunkte verbunden sind, also so. Fertig! Die gespiegelte Figur nennt man Bildfigur, oder auch kurz Bild. Aber Vorsicht: mit Bild meint man also manchmal die Bildfigur oder einen Bildpunkt – sei also lieber ganz deutlich mit der Benennung. Aber wieso funktioniert das denn eigentlich? Jeder Punkt ist genausoweit von P entfernt wie sein Bildpunkt. Sie liegen nämlich beide auf dem gleichen Kreis um P. Und da der Ursprungspunkt, sein Bildpunkt und das Spiegelzentrum alle auf einer Geraden liegen, befindet sich der Bildpunkt genau auf der gegenüberliegenden Seite von P. Das entspricht genau einer Drehung um 180 Grad um das Spiegelzentrum. So, zurück zu der Spielkarte. Wir haben vorhin gesagt, dass die Spielkarte Punktsymmetrisch ist. Was heißt das? Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn du ein Spiegelzentrum P finden kannst, für das die Bildfigur und die Ursprungsfigur genau gleich sind. Bei der Karte liegt dieses P hier in der Mitte. Und wenn wir die Karte an diesem Punkt spiegeln – sie also um 180 Grad um P drehen – sieht sie wieder genau gleich aus! Also ist die Spielkarte punktsymmetrisch. Jetzt kommen wir endlich zum Punkt und fassen zusammen! Eine Punktspiegelung entspricht einer Drehung um 180 Grad um das Spiegelzentrum. Um eine Figur punktzuspiegeln, musst du jeden Punkt der Figur einzeln an dem Spiegelzentrum spiegeln. Du spiegelst einen Punkt, indem du zuerst einen Hilfskreis um das Spiegelzentrum zeichnest, der durch den Punkt verläuft. Dann ziehst du eine Hilfsgerade durch den Punkt und das Spiegelzentrum. Am gegenüberliegenden Schnittpunkt der Geraden und des Kreises liegt der gespiegelte Punkt. Denk dran, dass der originale Punkt Ursprungspunkt heißt und der gespiegelte – Bildpunkt. Das Ganze wiederholst du mit den übrigen Punkten der Ursprungsfigur. Dann verbindest du die noch genau wie in der Ursprungsfigur zur Bildfigur. Und fertig! Na, dann mal los mit dem Helikopter! Für so etwas gibt es aber nicht die volle Punktzahl...
Punktspiegelung Übung
9.025
sofaheld-Level
6.601
vorgefertigte
Vokabeln
7.581
Lernvideos
35.734
Übungen
32.493
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften
![laufender Yeti](https://assets.production.cdn.sofatutor.net/assets/application/characters/yeti-e81619c0ae94d5c18b832b3929d8f982c8e78dc51ed04635e04a8a35b9c17788.png)
Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Prozentrechnung - Übungen
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Zehnerzahlen vergleichen und ordnen – Übungen
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Zahlen bis 1000 ordnen – Übungen
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Terme mit Variablen aufstellen – Übungen
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Punkt-vor-Strich und Klammern-zuerst-Regel
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Satz Des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Termumformungen – Übungen
- Volumen Kugel
- Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken – Übungen
- Zahlen In Worten Schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich Multiplizieren
- Brüche gleichnamig machen
- Brüche Multiplizieren
- Brüche multiplizieren – Übungen
- Potenzgesetze
Besser als im Unterricht erklärt
Das arme Tier am ende
Teiler Musik
Sehr gut erklärt🤟🏻
Wo ist er sogar hingeflogen