Cramersche Regel – Beispiele

Cramersche Regel – Beispiele Übung

• Bestimme die Lösung für x und y des linearen Gleichungssystems mit der Cramerschen Regel.

  Tipps

  Um die Cramersche Regel anwenden zu können, benötigen wir zunächst die Werte der Determinanten.

  Die Cramersche Regel lautet:

  $x=\frac{det~A_x}{det~A}$

  $y=\frac{det~A_y}{det~A}$

  Lösung

  1. Zunächst erstellen wir die $2~x~3$ Matrix B:

  $ \begin{pmatrix} 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 \end{pmatrix} $

  2. Dann berechnen wir die $det~A$:

  $det~A=det \begin{pmatrix} 8 & 9 \\ 11 & 12 \end{pmatrix}=8 \cdot 12 - 11 \cdot 9=96 - 99=-3$

  3. Als nächstes berechnen wir die Determinanten $det~A_x$ und $det~A_y$:

  $det~A_x= det \begin{pmatrix} 10 & 9 \\ 13 & 12 \end{pmatrix}=10 \cdot 12 - 13 \cdot 9=120 - 117=3$

  $det~A_x= det \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 11 & 13 \end{pmatrix}=8 \cdot 13 - 11 \cdot 10=104 - 110=-6$

  4. Anschließend setzen wir die Werte in die Cramersche Regel ein:

  $x=\frac{det~A_x}{det~A}=\frac{3}{-3}=-1$

  $y=\frac{det~A_y}{det~A}=\frac{-6}{-3}=2$

  $L=\{(-1;2)\}$

  5. Schlussendlich müssen wir noch überprüfen, ob wir richtig gerechnet haben. Wir machen die Probe:

  $\begin{align} &\text{I}& 8(-1)+9(2)&=10 \\ &\text{II}& 11(-1)+12(2)&=13 \\ \\ &\text{I}& -8+18&=10 \\ &\text{II}& -11+24&=13 \\ \\ &\text{I}& 10&=10 \\ &\text{II}& 13&=13 \\ \end{align}$

  Wir erhalten eine wahre Aussage! Also stimmt die angegebene Lösungsmenge.

• Berechne die Lösungsmenge für x und y mit der Cramerschen Regel.

  Tipps

  Um die Matrix $B$ zu bestimmen, lies einfach die Koeffizienten aus dem linearen Gleichungssystem ab und trage sie der Reihe nach in die Matrix ein.

  Den Wert einer Determinante errechnet man durch das Produkt der Hauptdiagonalelemente minus dem Produkt der Nebendiagonalelemente einer quadratischen $2$ x $2$ Matrix.

  Lösung

  1. Zunächst erstellen wir die $2~x~3$ Matrix $B$:

  $ \begin{pmatrix} 3 & 9 & 10 \\ 4 & 12 & 25 \end{pmatrix} $

  2. Dann berechnen wir die $det~A$:

  $det~A=det \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 4 & 12 \end{pmatrix}=3 \cdot 9 - 4 \cdot 9=36 - 36=0$

  Als Voraussetzung für die Cramersche Regel gilt allerdings, dass die $det~A \neq 0$ sein muss. Was auch Sinn macht, denn wäre die Determinante $A$ gleich $0$, würden wir durch $0$ teilen, was wir aber in der Mathematik niemals machen dürfen.

  Das lineare Gleichungssystem hat also keine Lösung.

  Demzufolge verlaufen die beiden Geraden parallel zueinander und haben keinen Schnittpunkt.

• Berechne die Werte der Determinanten.

  Tipps

  Die allgemeine Formel zur Berechnung des Wertes einer Determinanten lautet:

  $det~A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=a \cdot d - c \cdot b$

  Lösung

  Die allgemeine Formel zur Berechnung des Wertes einer Determinanten lautet:

  $det~A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=a \cdot d - c \cdot b$

  Bezogen auf die Aufgaben lassen sich die Determinanten wie folgt bestimmen:

  $det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}=4 - 4=0$

  $det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}=0 - 8=-8$

  $det \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}=28 - 30=-2$

  $det \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}=6 - 24=-18$

• Gib an, in welchem Diagramm die Determinante A des zugrunde liegenden linearen Gleichungssystems den Wert „0“ besitzt.

  Tipps

  Als Voraussetzung damit wir die Cramersche Regel anwenden können, darf die Determinante A nicht gleich „0“ sein.

  Gibt es für das lineare Gleichungssystem keine Lösung, sind die Geraden parallel zueinander.

  Lösung

  Mit der Cramerschen Regel können wir die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystem mit zwei Unbekannten bestimmen.

  Hierzu brauchen wir allerdings die Determinante A. Als Voraussetzung damit wir die Cramersche Regel anwenden können, darf die Determinante A nicht gleich „0“ sein.

  Falls doch, gibt es für das lineare Gleichungssystem keine Lösung und die Geraden sind parallel zueinander.

  Genau diese Erkenntnis hilft uns bei der Lösung dieser Aufgabe.

  • Die Diagramme, die zwei parallele Geraden darstellen, können wir einem Gleichungssystem mit der Determinante $det~A=0$ zuordnen.

  • Andersherum können wir die Diagramme, die zwei Geraden mit einem Schnittpunkt, bzw. einem Schnittpunkt außerhalb des Blickfensters, einem Gleichungssystem mit der Determinante $det~A \neq 0$ zuordnen.

• Gib an, welche Merksätze richtig oder falsch sind.

  Tipps

  Überlege dir, welche Voraussetzung die Cramersche Regel hat.

  Den Wert $x$ der Lösungsmenge berechnet man mit Hilfe der Cramerschen Regel wie folgt:

  $x=\frac{det~A_x}{det~A}$

  Wenn wir den Wert für $det~A$ berechnen und dieser Wert $0$ beträgt, was bedeutet das dann für die Berechnung von $x$?

  Lösung

  Die Cramersche Regel lautet:

  $x=\frac{det~A_x}{det~A}~~~y=\frac{det~A_y}{det~A}$

  Voraussetzung: $det~A \neq 0$

  Mit Hilfe von Determinanten können wir also feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.

  Ist die $det~A \neq 0$, kann man die Lösung für $x$ und $y$ mit der Cramerschen Regel ausrechnen und die Lösung ist eindeutig.

  Falls die $det~A=0$, hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Die Geraden verlaufen parallel zueinander und haben keinen Schnittpunkt.

  Mit der Probe kannst du lediglich überprüfen, ob deine Lösungsmenge richtig ist. Du bestimmst mit der Probe allerdings keine Werte für x und y.

  Die Cramersche Regel ist nicht die einzige Methode um ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Neben der Cramerschen Regel gibt es noch das Additions-, Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren, sowie graphisches Lösen.

• Berechne den Schnittpunkt zweier Geraden mit der Cramerschen Regel.

  Tipps

  $f(x)$ bzw. $g(x)$ steht in linearen Funktionen für $y$.

  Zunächst müssen wir die beiden Geraden in ein lineares Gleichungssystem schreiben. Wir achten darauf, dass die Variablen x und y auf der einen Seite und der Wert der Konstanten auf der anderen Seite der Gleichung stehen.

  Um die linearen Funktionen in ein lineares Gleichungssystem umzuformen, ersetzt man zunächst $f(x)$ und $g(x)$ durch y und stellt die Gleichungen so um, dass $x$ und $y$ auf der linken Seite der Gleichung stehen.

  Ein Beispiel:

  $\begin{array}{rcll} f(x) &=& 2\cdot x + 1 & \vert& f(x) \text{ durch } y \text{ ersetzen}\\ y &=& 2\cdot x + 1 & \vert& -2\cdot x\\ -2\cdot x + y &=& 1 & \vert& \cdot (-1)\\ 2\cdot x - y &=& -1 \end{array}$

  Die Lösungsmenge für x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes $S(x\vert y)$.

  Lösung

  Wir haben zwei Geraden gegeben:

  $y=2x+1$

  $y=3x$

  Daraus können wir zunächst ein lineares Gleichungssystem bestimmen: (Achte hierbei darauf, dass die Variablen x und y auf der einen Seite und der Wert der Konstante auf der anderen Seite des Gleichung stehen.)

  $\begin{align} &\text{I}& 2x-1y&=-1 \\ &\text{II}& 3x-1y&=0 \\ \end{align}$

  Wir wollen nun mit der Cramerschen Regel die Lösungsmenge $L=\{(x;y)\}$ bestimmen. Hierzu erstellen wir zunächst die Matrix B:

  $B= \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

  Nun bestimmen wir die Determinanten:

  $det~A=det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}=2 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1)=-2 - (-3)=1$

  $det~A_x=det \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=-1 \cdot (-1) - 0 \cdot (-1)=1$

  $det~A_y=det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1)=0 - (-3)=3$

  Jetzt müssen wir nur noch unsere Werte in die Cramersche Regel einsetzen und wir erhalten die x und y Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden.

  $x=\frac{1}{1}=1$

  $y=\frac{3}{1}=3$

  Somit lautet der Schnittpunkt $S(1|3)$.