Cramersche Regel – Beweis

Cramersche Regel – Beweis Übung

• Gib die Cramersche Regel an.

  Tipps

  Mit der Cramerschen Regel kann man die Lösungsmenge $L=\{(x;y)\}$ berechnen.

  $x$ ist der Quotient auf der Determinanten $\large A_x$ und der Determinanten $\large A$. Analog kann $y$ berechnet werden.

  Lösung

  Die Cramersche Regel gibt die Lösungsmenge $L=\{(x;y)\}$ eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten an.

  Dabei kann x als der Quotient aus $det~A_x$ und $det~A$ berechnet werden und y analog als der Quotient aus $det~A_y$ und $det~A$.

• Bestimme die $2~$x$~3$ Matrix zu folgendem linearen Gleichungssystem.

  Tipps

  Eine allgemeine $n~\text{x}~m$ Matrix hat $n$ Zeilen und $m$ Spalten und insgesamt $n \cdot m$ Elemente.

  Zu einem allgemeinen linearen Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, bestehend aus zwei Gleichungen, wird folgende allgemeine $2~$x$~3$ Matrix bestimmt.

  $\begin{align} ax+by&=e \\ cx+dy&=f \\ \end{align}$

  $\begin{pmatrix} a & b & e \\ c & d & f \end{pmatrix}$

  Lösung

  Wir haben folgendes lineares Gleichungssystem gegeben:

  $\begin{align} 2x+3y&=5 \\ -4x-y&=10 \\ \end{align}$

  Um die Cramersche Regel anzuwenden, müssen wir zunächst die zugehörige $2~$x$~3$ Matrix B bestimmen.

  Zu einem allgemeinen linearen Gleichungssystem mit zwei Unbekannten bestehend aus zwei Gleichungen wird folgende allgemeine $2~$x$~3$ Matrix bestimmt.

  $\begin{align} ax+by&=e \\ cx+dy&=f \\ \end{align}$

  $\begin{pmatrix} a & b & e \\ c & d & f \end{pmatrix}$

  Die Matrix besteht aus zwei Zeilen und drei Spalten, wobei die ersten beiden Spalten aus den Koeffizienten der Variablen x und y gebildet werden.

  Die $2~$x$~3$ Matrix zu unserem Beispiel wird dementsprechend folgendermaßen gebildet:

  $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ -4 & -1 & 10 \end{pmatrix}$

  Merke: Eine allgemeine $n~$x$~m$ Matrix hat $n$ Zeilen und $m$ Spalten und insgesamt $n \cdot m$ Elemente.

• Gib die $2~$x$~3$ Matrix $B$ an und bestimme die zugehörigen quadratischen $2$ x $2$ Matrizen $A_y$, $A_x$ und $A$.

  Tipps

  Die Matrix $A$ erhalten wir durch die Einträge von a und c in der ersten Spalte und b und d in der zweiten Spalte.

  Um die $2~$x$~2$ Matrix $A_x$ zu erhalten, müssen wir die erste Spalte mit der dritten Spalte der Matrix $B$ vertauschen.

  Um die $2~$x$~2$ Matrix $A_y$ zu erhalten, müssen wir die zweite Spalte mit der dritten Spalte der Matrix $B$ vertauschen.

  Lösung

  Die allgemeine $2~$x$~3$ Matrix B ist gegeben durch:

  $B=\begin{pmatrix} a & b & e \\ c & d & f \end{pmatrix}$

  Die quadratischen $2~$x$~2$ Matrizen $A$, $A_x$ und $A_y$ sollen nun bestimmt werden, um in einem nächsten Schritt die Determinanten zu bilden und damit die Cramersche Regel zu beweisen.

  Die Matrix $A$ erhalten wir durch die Einträge von a und c in der ersten Spalte und b und d in der zweiten Spalte.

  $A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

  Um die $2~$x$~2$ Matrix $A_x$ zu erhalten, müssen wir die erste Spalte mit der dritten Spalte der Matrix $B$ vertauschen. Wir erhalten die quadratische Matrix mit e und f in der ersten Spalte und b und d in der zweiten Spalte.

  $A_x= \begin{pmatrix} e & b \\ f & d \end{pmatrix}$

  Um die $2~$x$~2$ Matrix $A_y$ zu erhalten, müssen wir die zweite Spalte mit der dritten Spalte der Matrix $B$ vertauschen. Wir erhalten die quadratische Matrix mit a und c in der ersten Spalte und e und f in der zweiten Spalte.

  $A_y= \begin{pmatrix} a & e \\ c & f \end{pmatrix}$

• Bestimme die Determinanten der quadratischen $2~$x$~2$ Matrizen.

  Tipps

  Die Formel zur Berechnung der Determinanten einer quadratischen $2~$x$~2$ Matrix lautet: $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - c \cdot b$

  Lösung

  Die Formel zur Berechnung der Determinanten einer quadratischen $2~$x$~2$ Matrix lautet:

  $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - c \cdot b$

  Wenden wir die Formel in unseren Beispielen an:

  $det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}=2 \cdot 1- 5 \cdot 3=2 - 15=-13$

  $det \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 1 & -7 \end{pmatrix}=(-3) \cdot (-7) - 1 \cdot 6=21 - 6=15$

  $det \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ -9 & -1 \end{pmatrix}=8 \cdot (-1) - (-9) \cdot 3=(-8) - (-27)= (-8)+27=19$

  $det \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 7 & -10 \end{pmatrix}=2 \cdot (-10) - 7 \cdot (-5)=(-20) - (-35)=(-20)+35=15$

• Gib an, wozu man die Cramersche Regel benutzt.

  Tipps

  Die Formel zur Berechnung der Determinanten einer quadratischen $2~$x$~2$ Matrix lautet:

  $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - c \cdot b$

  Die Anzahl der Primzahlen konnte bisher noch nicht berechnet werden.

  Zum Umformen von Binomen benutzt man die Binomischen Formeln.

  Zum Lösen quadratischer Gleichungen benutzt man häufig die p-q-Formel. Es gibt aber auch noch andere Möglichkeiten. Die Cramersche Regel gehört nicht dazu.

  Der Satz des Pythagoras wurde von den Griechen zur Konstruktion von rechten Winkeln benutzt.

  Lösung

  Die Cramersche Regel ist ein Algorithmus um die Lösungsmenge $L=\{(x;y)\}$ eines linearen Gleichungssystems bestehend aus zwei Gleichungen zu berechnen.

  Wenn wir also ein lineares Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unkebannten haben, können wir mit Hilfe der Cramerschen Regel die Werte der beiden Unbekannten berechnen.

• Bestimme die Werte für x und y, damit das Gleichungssystem erfüllt ist.

  Tipps

  Die Cramersche Regel lautet:

  $x=\frac{det~A_x}{det~A}~~~~y=\frac{det~A_y}{det~A}$

  $det~A=det \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

  $det~A_x=det \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 9 & 8 \end{pmatrix}$

  $det~A_y=det \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}$

  $det~A=det \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}=4 \cdot 8 - 7 \cdot 5=32 - 35=-3$

  $det~A_x=det \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 9 & 8 \end{pmatrix}=6 \cdot 8 - 9 \cdot 5=48 - 45=3$

  $det~A_y=det \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}=4 \cdot 9 - 7 \cdot 6=36 - 42=-6$

  Lösung

  Gegeben ist folgendes lineares Gleichungssystem:

  $\begin{align} &\text{I}& 4x+5y&=6 \\ &\text{II}& 7x+8y&=9 \\ \end{align}$

  Wir wollen die Lösungsmenge $L=\{(x;y)\}$ mit der Cramerschen Regel berechnen. Die Cramersche Regel zum Lösen eines linearen Gleichungssystems lautet:

  $x=\frac{det~A_x}{det~A}~~~~y=\frac{det~A_y}{det~A}$

  Wir benötigen also die Werte der Determinanten $A$, $A_x$ und $A_y$. Aus dem linearen Gleichungssystem können wir die Determinanten bestimmen.

  $det~A=det \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}=4 \cdot 8 - 7 \cdot 5=32 - 35=-3$

  $det~A_x=det \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 9 & 8 \end{pmatrix}=6 \cdot 8 - 9 \cdot 5=48 - 45=3$

  $det~A_y=det \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}=4 \cdot 9 - 7 \cdot 6=36 - 42=-6$

  Nun müssen wir nur noch die Werte der Determinanten in die Cramersche Regel einsetzen und so erhalten wir die Lösungsmenge $L=\{(x;y)\}$.

  $\Rightarrow x=\frac{3}{-3}=-1$

  $\Rightarrow y=\frac{-6}{-3}=2$

  Die Lösungsmenge ist demnach $L=\{(-1;2)\}$.