Das dreidimensionale Koordinatensystem

Das dreidimensionale Koordinatensystem Übung

• Gib an, ob die Aussagen richtig sind.

  Tipps

  Die $x$-$z$-Ebene ist eine Ebene, welche durch die $x$- und die $z$-Achse aufgespannt wird.

  Die $x$-$z$-Ebene verläuft vertikal.

  Lösung

  Das ebene Koordinatensystem:
  Beim ebenen Koordinatensystem stehen die $x$- und die $y$-Achse senkrecht aufeinander. Beide haben einen positiven und einen negativen Abschnitt. Ein Punkt wird durch zwei Koordinaten eindeutig verortet.

  Erweiterung des ebenen zum dreidimensionalen Koordinatensystem:
  Im dreidimensionalen Koordinatensystem wird eine dritte Achse benötigt: Die $z$-Achse. Um die Räumlichkeit auf einem Blatt Papier zu visualisieren, wird die dritte Achse in einem $45^\circ$-Winkel gezeichnet. Sie verläuft tatsächlich aber senkrecht zu den anderen beiden Achsen. Da die Achsen senkrecht zueinander stehen, sprechen wir auch von einem kartesischen Koordinatensystem.
  Die $z$-Achse verläuft im $45^\circ$-Winkel zu den anderen beiden Achsen. Dies ist also falsch.

  Die Koordinatenebenen:
  Die Ebenen, die von den Achsen aufgespannt werden, nennen wir Koordinatenebenen.
  Die $x$-$y$-Ebene verläuft horizontal. Dies ist richtig. Die $y$-$z$-Ebene und die $x$-$z$-Ebene verlaufen hingegen vertikal. Auch diese Ebenen stehen, wie die Koordinatenachsen, senkrecht aufeinander.
  Die Koordinatenebenen stehen senkrecht aufeinander. Diese Aussage ist also richtig.

  Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem:
  Da wir nun drei Achsen haben, bilden die Koordinaten eines Punktes im Raum ein sogenanntes Zahlentripel.
  Die Angabe eines Punktes im Dreidimensionalen wird als Zahlentripel bezeichnet. Diese Aussage ist also richtig.
  Der Ursprung im dreidimensionalen Koordinatensystem ist gleich $(0|0)$. Diese Aussage ist falsch. Der Ursprung lautet im Dreidimensionalen: $(0|0|0)$.
  Die Koordinaten eines Punktes sind nicht eindeutig ablesbar und die genaue Lage können wir erst bestimmen, wenn wir den Koordinatenzug kennen.
  Ein Punkt kann im Dreidimensionalen nicht eindeutig angegeben werden. Dies ist falsch. Ein Punkt kann eindeutig angegeben werden, Nur aus der grafischen Darstellung lassen sich die Koordinaten nicht eindeutig ablesen.

• Bennenne die Koordinatenachsen und die Koordinatenebenen.

  Tipps

  Manchmal werden die Koordinatenachsen auch mit $x_1$, $x_2$ und $x_3$ beschriftet.

  Die $x$-$y$-Ebene verläuft horizontal.

  Die anderen beiden Ebenen verlaufen vertikal.

  Lösung

  Im dreidimensionalen Koordinatensystem stehen alle drei Achsen senkrecht zueinander. Wir sprechen daher auch von einem kartesischen Koordinatensystem.

  • Die Achse, die nach vorne zeigt, nennt man die $x$-Achse.
  • Die Achse, die nach rechts zeigt, nennt man die $y$-Achse.
  • Die Achse, die nach oben zeigt, nennt man die $z$-Achse.

  Die Ebenen, die von den Achsen aufgespannt werden, nennen wir Koordinatenebenen.
  Die $x$-$y$-Ebene verläuft horizontal. Die $y$-$z$-Ebene und die $x$-$z$-Ebene verlaufen hingegen vertikal. Auch diese Ebenen stehen, wie die Koordinatenachsen, senkrecht aufeinander.

• Bestimme die Koordinaten der Punkte.

  Tipps

  Allgemein wird ein Punkt wie folgt angegeben:

  $P(x|y|z)$

  Die Koordinaten der Punkte sind nicht eindeutig ablesbar. Du kannst sie ermitteln, indem du den Koordinatenzug verfolgst.

  Lösung

  Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem:
  Da wir im dreidimensionalen Koordinatensystem drei Achsen haben, bilden die Koordinaten eines Punktes im Raum ein sogenanntes Zahlentripel. Die Koordinaten eines Punktes sind nicht eindeutig ablesbar und die genaue Lage können wir erst bestimmen, wenn wir den Koordinatenzug kennen.

  Wir überlegen uns also zu jedem gegebenen Punkt, wie wir ihn vom Ursprung aus erreichen können. Dabei verwenden wir die Tatsache, dass es sich bei den Punkten um die Eckpunkte eines Quaders mit der Länge $4$, der Breite $5$ und der Höhe $3$ handelt.

  • $A(4|0|0)$

  $4$ Einheiten nach vorne.

  • $B(4|5|0)$

  $4$ Einheiten nach vorne und $5$ Einheiten nach rechts.

  • $C(0|5|0)$

  $5$ Einheiten nach rechts.

  • $D(0|0|0)$

  Dies ist der Koordinatenursprung.

  • $E(4|0|3)$

  $4$ Einheiten nach vorne und $3$ Einheiten nach oben.

  • $F(4|5|3)$

  $4$ Einheiten nach vorne, $5$ Einheiten nach rechts und $3$ Einheiten nach oben.

  • $G(0|5|3)$

  $5$ Einheiten nach rechts und $3$ Einheiten nach oben.

  • $H(0|0|3)$

  $3$ Einheiten nach oben.

• Ordne die Punkte nach ihrer Position. Beginne mit dem vordersten Punkt.

  Tipps

  Überlege zunächst, welche Koordinate für die Position vorne – hinten verantwortlich ist.

  Beispiel:

  Der Punkt $(4|2|1)$ liegt weiter vorne als der Punkt $(-2|0|3)$

  Die $x$-Koordinate ist für die Position vorne – hinten verantwortlich.

  Lösung

  Die Lage der Punkte wird durch ihre Koordinaten bestimmt. Dabei gilt:

  • $x$-Koordinate: Je größer die Koordinate, umso weiter vorne liegt der Punkt.
  • $y$-Koordinate: Je größer die Koordinate, umso weiter rechts liegt der Punkt.
  • $z$-Koordinate: Je größer die Koordinate, umso weiter oben liegt der Punkt.

  Wir sortieren die Punkte also entsprechend ihrer $x$-Koordinate:

  $(6|4|-1{,}5) \quad (3|-2|12) \quad (2{,}5|-4|0) \quad (0|3|-7) \quad (-1|11|8{,}2)$

• Zeige Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem auf.

  Tipps

  Die Koordinaten eines Punktes im Raum bilden ein sogenanntes Zahlentripel.

  Im zweidimensionalen Koordinatensystem wird ein Punkt durch zwei Koordinaten beschrieben. Im dreidimensionalen Koordinatensystem wird es durch drei Koordinaten beschrieben.

  Lösung

  Da das dreidimensionale Koordinatensystem drei Achsen hat, bilden die Koordinaten eines Punktes im Raum ein sogenanntes Zahlentripel. Wir schreiben sie ähnlich wie die Punkte im zweidimensionalen Koordinatensystem in Klammern und trennen die einzelnen Koordinaten durch Striche.

  Folgende Angaben sind also Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem:

  • $(0|0|0) \quad$
  • $(-1|2|9) \quad$

  Der erste Punkt ist dabei der Ursprung.

  Folgende Angaben sind keine Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem:

  • $(3|4) \quad$
  • $(0|-6) \quad$

  Hierbei handelt es sich um Punkte im ebenen Koordinatensystem.

• Ordne jedem Punkt einen anderen Punkt zu, der 3 Einheiten bezüglich einer Koordinate entfernt ist.

  Tipps

  Beispiel:

  Die Punkte $P(3|4|5)$ und $Q(3|4|0)$ sind $5$ Einheiten bezüglich der $z$-Koordinate voneinander entfernt.

  Zeichne die einzelnen Punkte in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein und untersuche ihre Lage zueinander.

  Lösung

  Im dreidimensionalen Koordinatensystem bilden die Koordinaten eines Punktes im Raum ein sogenanntes Zahlentripel. Ein Punkt wird also durch drei Koordinaten beschrieben:

  $P(x|y|z)$

  Von zwei Punkten, welche sich nur in einer der drei Koordinaten unterscheiden, können wir den Abstand ermitteln, indem wir die Differenz der entsprechenden Koordinate bilden.

  Wir suchen uns also jeweils einen zugehörigen Punkt, der sich nur in einer Koordinate um genau $3$ Einheiten unterscheidet:

  • $(3|4|{-}2)$ und $(0|4|{-}2)$

  Die beiden Punkte unterscheiden sich um genau $3$ Einheiten in der $x$-Koordinate.

  • $(0|4|0)$ und $(0|4|3)$

  Die beiden Punkte unterscheiden sich um genau $3$ Einheiten in der $z$-Koordinate.

  • $(0|4|{-}5)$ und $(0|4|{-}2)$

  Die beiden Punkte unterscheiden sich um genau $3$ Einheiten in der $z$-Koordinate.

  • $({-}3|1|{-}2)$ und $({-}3|{-}2|{-}2)$

  Die beiden Punkte unterscheiden sich um genau $3$ Einheiten in der $y$-Koordinate.